1. 삼차함수의 식 작성

삼차함수는 현재 수학 2에서 킬러문항 주제로 가장 많이 나오는 함수이다.

혹시 문제는 다 풀었는데, 식을 쓰느라 시간을 날려먹은 경험이 있지 않은가?

수학을 잘하는 친구가 점 몇 개만 보고 단 몇초만에 삼차함수의 식을 써내는 것을 본 경험이 있지는 않은가?

이 글에서는 몇가지 특별한 그리고 자주 나오는 정보를 알고 있을 때 빠르게 식을 쓰는 방법을 소개하겠다.

2. 삼차함수의 비율관계

삼차함수의 비율관계에 대하여 잠깐 짚고 넘어가자.

삼차함수의 아래의 그림과 같은 5개의 점의 [eqn: x]좌표가 등차수열을 이룬다.

여기서 중요한 것은

“5개의 점 중 [eqn: y]좌표의 값이 같지 않은 두 점의 좌표를 안다면, 삼차함수의 식을 결정할 수 있다.”

왜 그런지에 대하여 잠깐 생각해보자.

[eqn: y]좌표의 값이 같지 않은 두 점의 좌표를 안다면 나머지 5개의 점의 좌표를 모두 써낼 수 있게 되므로 함수를 결정할 수 있게 되는 것이다.

만약 [eqn: y]좌표의 값이 같은 두 점의 좌표를 안다면 나머지 5개 점의 [eqn: x]좌표밖에는 알 수 있는 것이 없다. 이 경우에는 최고차항의 계수같은 조건이 추가로 필요하다.

3. 삼차함수의 극대 극소의 [eqn: x]좌표 차와 [eqn: y]좌표 차의 관계

다음 그림을 보자.

위 그래프를 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수라고 생각하자.

그럼 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=alpha]에서 극댓값, [eqn: x=beta]에서 극솟값을 가질 것이다.

따라서, [eqn: f(alpha)-f(beta)= int _{alpha} ^{beta} {f'(x)dx}]이다.

[eqn: f'(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 이차함수이므로 이차함수의 넓이공식에 의해

[eqn: f( alpha )-f( beta )= int _{beta} ^{alpha} {f prime (x)dx} `= {3a} over {6} ( beta - alpha ) ^{3} = {a} over {2} ( beta - alpha ) ^{3}]

이 결과를 다음과 같이 기억하자.

최고차항의 계수가 1인 삼차함수에 대하여

“극대[eqn: `]·[eqn: `]극소의 [eqn: x]좌표 차”, “극대[eqn: `]·[eqn: `]극소의 [eqn: y]좌표 차”를 각각 [eqn: a],[eqn: `b]라 하면 [eqn: b= {a ^{3}} over {2}]

항상 최고차항의 계수가 1인 것을 기준으로 생각하자.

그리고 다음 몇 개의 특징적인 값은 꼭 외워두자.

[eqn: a=1` -> `b= {1} over {2}], [eqn: a=2` -> `b=4], [eqn: a=3` -> `b= {27} over {2}], [eqn: a=4` -> `b=32]

그런데 만약 문제에서 [eqn: a=1]인데, [eqn: b=2]인 상황이 제시되었다고 치자. 그렇다면 이는 최고차항의 계수가 1이 아닌 것이다. 원래의 [eqn: b]값에서 4배가 되었으니 최고차항의 계수는 4가 된다. 이런 방식으로 최고차항의 계수까지 파악할 수 있다.

4. 인수정리와 나머지 정리

고등학교 1학년 때 배운 수학에서 다음과 같은 정리를 배웠을 것이다.

· 다항식 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: f(a)=0]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-a]를 인수로 가진다.

· 다항식 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: f(a)=b]이면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-a]로 나눈 나머지는 [eqn: b]이다.

이는 조금 확장해 다음과 같이 다룰 수 있다.

1) 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 [eqn: n]중근을 가지면 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-a) ^{n}]을 인수로 가진다.

2) 다항함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: f(a)=b]이면 [eqn: f(x)-b]는 [eqn: x-a]을 인수로 가진다,

예를 들어 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대해

[eqn: f(x)=1]이 [eqn: x=1]에서 중근을 가지고 [eqn: x=3]에서 근을 가진다면

[eqn: f(x)-1=(x-1) ^{2} (x-3)]이므로 [eqn: f(x)=(x-1) ^{2} (x-3)+1]

5. 예제

2, 3, 4번의 내용이 조금 뜬구름잡는 이야기처럼 느껴졌다면 예제를 풀어보며 어떻게 활용해야하는지 알아보자.

다음 그림을 보고 삼차함수의 식을 구해보자.

[eqn: b=8]인데 [eqn: a=2]이다. 최고차항의 계수가 1일 때, [eqn: a=2`` -> ``b=4]이므로 최고차항의 계수는 2이다.

삼차함수의 비율관계에 의해 [eqn: f(x)=1]의 나머지 한 근의 좌표는 [eqn: (0,`1)]이다.

따라서 [eqn: f(x)=2x(x-3) ^{2} +1]

하나 더 해보자.

삼차함수의 비율관계에 의해 극댓점의 좌표는 [eqn: (-1,`32)]이다.

[eqn: b=32]인데, [eqn: a=4]이다. 이는 최고차항의 계수가 1임을 알려준다.

삼차함수의 비율관계에 의해 [eqn: f(x)=0]의 다른 한 근의 좌표는 [eqn: (-3,`0)]이다.

따라서, [eqn: f(x)=(x+3)(x-3) ^{2}]

이번에는 조금 다른 조건을 풀어보자.

(단, 최고차항의 계수는 1이다.)

[eqn: b=4]이고, 최고차항의 계수가 1이므로 [eqn: a=2]

따라서 극솟점의 좌표는 [eqn: (2,`1)]이고, [eqn: f(x)=1]의 나머지 한 교점은 [eqn: (-1,`1)]

[eqn: f(x)=(x+1)(x-2) ^{2} +1]

다음의 예제들은 여러분에게 맡기겠다.

예제를 풀어볼 때는 암산으로 최대한 빨리 할 수 있도록 노력해보자.

1.

2.

3.

(단, 최고차항의 계수는 2)

예제를 만드는 건 어렵지 않다. 직접 삼차함수를 그리고 적당히 점의 좌표를 설정하면 그게 곧 예제이다. 직접 해보고 손에 익히자.

정답

[eqn: {1} over {2} (x+1)(x-5) ^{2} +1]

[eqn: -(x-2) ^{2} (x-5)+3]

[eqn: 2(x+1)(x-2) ^{2} -5]