함수 [eqn: f(x)`=sin`kx] ([eqn: 0`<k`< piover2])에 대하여 닫힌구간 [eqn: left[t,``t+1 right]`]에서 [eqn: f(x)`]의 최댓값을 [eqn: g(t)`]로 정의할 때, 부등식

[eqn: g(1)`le g(3)`leg(2)]

를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: alpha`le k`lebeta`]이다. [eqn: alpha+beta`= q overp pi `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[21/08/03] 우주설님 이벤트 문항 해설 by YoonSol

함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2pi overk `]인 사인함수이다.

그런데 주기 [eqn: 2pi overk `>4 `]이므로 우리가 문제 풀이 과정에서 확인해야 하는 [eqn: x`]값의 범위인 [eqn: 1`lex`le2], [eqn: 2`lex`le3], [eqn: 3`lex`le4 `]가 모두 [eqn: f(x)`]의 양수인 부분에서의 첫 주기안에 다 들어간다.

[eqn: 0`lex`< 2pi overk `] 범위에서의 [eqn: y`=f(x)`]를 그리면 다음과 같다.

[eqn: g(t)`]가 닫힌구간 [eqn: left[t,``t+1 right] `]에서의 최댓값이므로 [eqn: x`=t`]와 [eqn: x`=t+1`]을 [eqn: t`]의 값을 [eqn: 0`]에서부터 늘려가면서 닫힌구간 [eqn: left[t,``t+1 right] `]에서의 최댓값을 빨간색으로 그리면 다음과 같다.

[eqn: g(t)`]의 식을 구간에 따라 나타내면 다음과 같다.

[eqn: g(t) `= cases{ `sin`k(t+1) ~&left( 0`let`< pi over2k `-1 right) #&#`1~&left( pi over2k -1 `let`< pi over2k right) #&#`sin`kt ~&left( pi over2k `let`< 3pi over2k `- 1over2 right) #&#`sin`k(t+1)~&left(3pi over2k `- 1over2 `let`< 2pi overk right)]

[eqn: pi over2k `>1`]이므로 [eqn: pi over2k `]의 값의 범위에 따라서 [eqn: g(1)], [eqn: g(2)], [eqn: g(3)`]의 위치가 각각 어찌될지를 판단해보자.

ⅰ) [eqn: 1`< pi over2k `le2] [eqn: ->] [eqn: pi over4 `le k`< pi over2]

[eqn: {pi } over {2k} -1` LEQ 1`< {pi } over {2k} `]이므로 [eqn: g(1)`=1`]이 된다. 이 상황에서 [eqn: g(2)`ge g(1)`]이 되기 위해선 [eqn: pi over2k `=2`]가 되어 [eqn: g(2)`=1`]이 되야하는데 이 경우 [eqn: g(3)`<1`]이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

ⅱ) [eqn: 2`< piover 2k `le3] [eqn: ->] [eqn: pi over6 `le k`< pi over4]

[eqn: 0`le1`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(1)`=sin2k`]가 되고

[eqn: {pi } over {2k} -1` LEQ 2`< {pi } over {2k} `]이므로 [eqn: g(2)`=1`]이 된다.

[eqn: g(3)`]의 경우 [eqn: pi over2k `=3`]일 경우 [eqn: g(3)`=1`]이 되고 [eqn: 2`< pi over2k `<3`]일 경우
[eqn: pi over2k `le3`< 3pi over2k `- 1over2 `]이므로 [eqn: g(3) `=sin3k`]가 된다.

이 상황에서 [eqn: g(1)`leg(2)`]도 성립하고 [eqn: g(3)`leg(2)`]도 항상 성립한다.

그러므로 문제 조건을 만족시키려면 [eqn: g(1)`leg(3)`]만 만족하면 된다.

[eqn: pi over2k `=3`]인 경우 [eqn: ->] [eqn: g(3)`=1`]이므로 [eqn: g(3)`ge g(1)`]이다.

[eqn: 2`< pi over2k `<3`]인 경우 [eqn: ->] [eqn: sin2k`lesin3k`]인 [eqn: k`]에서 조건을 만족시킨다.

[eqn: pi over6 `<k `< pi over4 `]인 구간에서 [eqn: pi over6 `<k`le pi over5 `]에서는 [eqn: sin2k `le sin3k `]이고 [eqn: pi over5 `< k`< pi over4 `]에서는 [eqn: sin2k `>sin3k`]이므로 위에서 구하고자 하는 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: pi over6 `<k`le pi over5 `]이다.

[eqn: therefore] [eqn: pi over6 `le k`le pi over5]

ⅲ) [eqn: 3`< piover 2k `le4] [eqn: ->] [eqn: piover8`lek `< pi over6]

[eqn: 0`le1`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(1)`=sin2k`]가 되고

[eqn: 0`le2`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(2)`=sin3k`]가 되고

[eqn: {pi } over {2k} -1` LEQ 3`< {pi } over {2k} `]이므로 [eqn: g(3)`=1`]이 된다.

조건 [eqn: g(3)`leg(2)`]을 만족시키지 못하므로 이 경우는 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

ⅳ) [eqn: pi over2k `>4] [eqn: ->] [eqn: k`< pi over8]

[eqn: 0`le1`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(1)`=sin2k`]가 되고

[eqn: 0`le2`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(2)`=sin3k`]가 되고

[eqn: 0`le3`< pi over2k `-1`]이므로 [eqn: g(3)`=sin4k`]가 된다.

[eqn: k`< pi over8 `]에서는 [eqn: sin2k`lesin3k`lesin4k`]이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: therefore] [eqn: g(1)`leg(3)`leg(2)`]를 만족시키는 [eqn: k`]의 범위는 [eqn: pi over6 `lek`le pi over5 `]이다.

[eqn: alpha `= pi over6], [eqn: beta `= pi over5] [eqn: ->] [eqn: alpha+beta `= 11over30 pi `= q overp pi]

[eqn: p`=30], [eqn: q`=11]

[eqn: therefore] [eqn: p+q`=41]