2021학년도 대학수학능력시험 문제지

수학 영역(가형)

성명

수험번호

제 2교시                                      1

30. 최고차항의 계수가 양수인 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]에 대하여, [eqn: f(x)]는 삼차함수이고, [eqn: g(x)]는 일차함수이다. 다음과 같이 정의되는 함수 [eqn: h(x)]와 실수 [eqn: a]에 대하여,

[eqn: h(x)= {cases{sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ``````````&( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} LEQ sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} )#sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ```````````&( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} > sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} )}}]

세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: lim _{x rarrow a ^{-}} {{f(x)} over {g(x)} > lim _{x rarrow a ^{+}} {{f(x)} over {g(x)}}}]

(나) [eqn: {f(x)} over {g(x)}]의 극값의 개수와 변곡점의 개수는 1개이다.

(다) 함수 [eqn: h(x)]의 미분 불가능한 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: p]와 [eqn: a]뿐이다. (단 [eqn: p<a])

[eqn: {lim _{x rarrow p ^{+}} {``h prime (x)}} over {lim _{x rarrow p ^{-}} {``h prime (x)}} =q] 일 때. [eqn: q ^{3}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: q]는 유리수이다.) [eqn: LEFT [ 4점 RIGHT ]]

2

30번 문항 guide line)

1. 다항함수의 나머지정리

[eqn: f(x)=g(x)Q(x)+R] 꼴로 나타낸 후, (가) 조건과 연결해서 [eqn: R]의 부호를 알아낸다.

([eqn: {f(x)} over {g(x)}]를 다항함수의 분수식으로 판단하면 복잡하지만, [eqn: {R} over {g(x)}] 는 그래프 그리기나 식 추론에서

훨씬 편하다.)

2. (나) 조건을 통해 [eqn: x>a] 인 범위에서 [eqn: {f(x)} over {g(x)}] 의 그래프가 증가함수임을 알아낸다.

3. 복잡하게 주어진 함수조건을 단순화한다. ([eqn: h(x)]는 절댓값과 근호가 동시에 들어가 있어 그

형태를 판단하기 어렵다. 이때 조건을 단순화시킬 수 있다.) [eqn: sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} = sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} TIMES LEFT | g(x) RIGHT |] 형태로 변환

하면 [eqn: LEFT | g(x) RIGHT | =1] 이 [eqn: h(x)] 함수의 경계임을 알 수 있다.

4. 미분가능성과 다항함수 조건은 근의 개념이다. ([eqn: {f(x)} over {g(x)}]가 [eqn: x=b]에서 변곡점을 [eqn: x]축과 만나면서 변곡점을

갖는다는 것은 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축과 만나면서 변곡점을 갖는다는 것과 같다. 단,[eqn: g(x)]는 [eqn: g(b) != 0] 인

일차함수다. 미분을 해보면 쉽게 증명이 가능하다.)

5. 주어진 정보를 종합해 다항함수를 특정 형태의 꼴로 나타낼 수 있다. ([eqn: f(x)=k(x-b) ^{3}], [eqn: g(x)= {1} over {b-a} (x-a)] 꼴로 표현할 수 있다.)

6. 근호와 절댓값이 동시에 주어진 함수의 미분가능성을 판단해야한다. (해당 문항에서는 경계점과 [eqn: x]축과

그래프가 만나는 지점이 미분불가능 점의 후보임을 알 수 있다.)

30번 문항 상세 해설) (문항의 난이도가 높지는 않으나 문제풀이에 있어 필요한 모든 개념을 최대한 자세하게 서술하여 텍스트의 양이 많습니다. 실제 풀이에서 해당 문항의 난이도는 아래 해설과 같이 높지는 않음을 미리 말씀드립니다.)

만약, [eqn: f(x)=g(x)Q(x)] 꼴이라면, [eqn: {f(x)} over {g(x)} =Q(x)] (단, [eqn: g(x) != 0] 이고 [eqn: g(x)=0]을 만족하는 실수 [eqn: i]에 대해 [eqn: Q(x)]는 미분불가능하다.)의 형태로 표현되어 (가) 조건을 만족하는 [eqn: a]는 존재하지 않는다. 이에 나머지 정리를 통해 [eqn: f(x)=g(x)Q(x)+R]의 형태로 표현할 수 있고, 이때 [eqn: R]은 실수(0차함수)가 된다. [eqn: {f(x)} over {g(x)} =Q(x)+ {R} over {g(x)}]에서 [eqn: Q(x)]는 이차함수이므로 [eqn: {R} over {g(x)}]에서 (가)를 만족하려면 [eqn: R<0] 이어야 한다. ([eqn: BECAUSE][eqn: lim _{x rarrow a ^{-}} {{R} over {g(x)} > lim _{x rarrow a ^{+}} {{R} over {g(x)}}}]) 또한 [eqn: {R} over {g(x)}]가 [eqn: x=a]에서 불연속이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]의 근을 갖는다. 따라서 [eqn: g(x)=m(x-a)`(단,``m>0)] 로 표현할 수 있다. 그리고 [eqn: x>a]인 범위에 집중해서 그래프를 대략적으로 그려보면 다음과 같은 경우의 수를 생각해볼 수 있다.

그림 1)    그림 2) 그림 3)

여기서 2)의 경우는 (나)조건을 만족하지 않음을 알 수 있다. 1)과 3)의 경우를 분석해보자. 두 그림 모두 함수가 [eqn: x]축과 한번(만) 만나는 것을 확인할 수 있다. [eqn: {f(x)} over {g(x)}] 함수가 [eqn: x]축과 만나는 교점을 [eqn: (b,0)]라고 (단, [eqn: b>a])하자. 이는 곧 [eqn: f(b)=0]을 의미한다. 그리고 조금 더 분석을 하기에 앞서 [eqn: h(x)]를 알아보자. 상당히 복잡하게 주어진 함수이므로 그래프를 억지로 그리는 것을 올바른 선택처럼 보이지 않는다. 먼저 그래프의 경계인 범위를 분석하자. [eqn: sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} = sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} TIMES LEFT | g(x) RIGHT |]의 꼴로 바꿔낼 수 있다. 이때, [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} != 0] 인 [eqn: x]의 범위에서 [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} LEQ sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}]는 [eqn: 1 LEQ LEFT | g(x) RIGHT |]로, [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} GEQ sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}]는 [eqn: 1> LEFT | g(x) RIGHT |]로 변경할 수 있다. 그리고 [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} =0] 인 경우는 [eqn: f(x)=0]인 경우이므로 이때는 [eqn: h(x)=0]이 된다. 함수는 다시

[eqn: h(x)= {cases{sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}&```````(1 LEQ LEFT | g(x) RIGHT | )#sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}&```````(1> LEFT | g(x) RIGHT | )}}] (단, [eqn: f(x)=0]인 경우 [eqn: h(x)=0]) 으로 표현된다. 이때, [eqn: g(x)=1]을 만족하는 [eqn: x]를 [eqn: c]라고 하자. 당연하게도, [eqn: g(x)=m(x-a)] (단, [eqn: m>0])이므로 [eqn: c>a]이다. 이제 [eqn: b]와 [eqn: c]의 대소비교를 해보자. 이때 [eqn: b]는 먼저 [eqn: f(b)=0] 이며 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]와 [eqn: x]축이 만나는 점이었음을 기억하자.

(1) [eqn: a<c<b] 인 경우, ([eqn: a<x]인 범위에서)

[eqn: lim _{x rarrow c ^{-}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ) prime = lim _{x rarrow c ^{+}} {( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ) prime }}] 를 만족해야한다. ([eqn: BECAUSE g(c ^{-} )<1,`g(c ^{+} )>1] 이다. 해당 표현이 수학적으로 올바른 표현은 아니나 함수 [eqn: g(c)=1]에서 양의 기울기인 일차함수가 [eqn: x=c] 좌,우 극한값이 1보다 작고 큼을 나타내기 위해 사용하였습니다.)

해당 범위에서 [eqn: LEFT | f(c) RIGHT | =-f(c),``` LEFT | g(c) RIGHT | =1,`` LEFT | g(c) RIGHT | prime =m] 임을 알 수 있다. ([eqn: BECAUSE g(x)]는 [eqn: a<x]에서 항상 양수이기 때문이다. 그림 1), 그림 3) 참고)

[eqn: lim _{x rarrow c ^{-}} {`(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow c ^{-}} {eqalign{( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ^{{1} over {2}} )+ {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime ))# = {1} over {2} (-f(c)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(c) RIGHT | prime )+ {1} over {2} m(-f(c)) ^{{1} over {2}}}}}]

[eqn: lim _{x rarrow c ^{+}} {eqalign{``(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow c ^{+}} {} ( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} +(- {1} over {2} )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {3} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime )( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} )# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (-f(c)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(c) RIGHT | prime )- {1} over {2} m(-f(c)) ^{{1} over {2}}}}]

따라서, [eqn: lim _{x rarrow c ^{-}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ) prime = lim _{x rarrow c ^{+}} {( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ) prime }}] 를 만족하려면 [eqn: m=0] 이거나 혹은 [eqn: f(c)=0] 이어야 한다. 하지만 [eqn: m=0]의 경우는 [eqn: g(x)]가 일차함수임에 모순이 되고, [eqn: f(c)=0] 이라는 조건은 [eqn: a<x]인 범위에서 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]가 [eqn: x]축과 두 점에서 만나므로 추론한 그래프의 모형에 모순이 된다.

(2) [eqn: a<b<c] 인 경우, ([eqn: a<x]인 범위에서)

1)과 같은 방식으로 [eqn: lim _{x rarrow c ^{-}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ) prime = lim _{x rarrow c ^{+}} {( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ) prime }}] 를 만족해야한다. 해당 범위에서

[eqn: LEFT | f(c) RIGHT | =f(c),``` LEFT | g(c) RIGHT | =1,`` LEFT | g(c) RIGHT | prime =m] 임을 알 수 있다.

[eqn: lim _{x rarrow c ^{-}} {`(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow c ^{-}} {eqalign{( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ^{{1} over {2}} )+ {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime ))# = {1} over {2} (f(c)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(c) RIGHT | prime )+ {1} over {2} m(-f(c)) ^{{1} over {2}}}}}]

[eqn: lim _{x rarrow c ^{+}} {eqalign{``(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow c ^{+}} {} ( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} +(- {1} over {2} )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {3} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime )( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} )# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (f(c)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(c) RIGHT | prime )- {1} over {2} m(-f(c)) ^{{1} over {2}}}}]

(1) 과 같은 이유로 모순이 된다.

여기서 [eqn: b=c] 임을 알 수 있다. 즉, [eqn: g(b)=1] 이 성립한다. (여기서, [eqn: g(x)]의 기울기가 [eqn: {1} over {b-a}]라는 사실도 알 수 있다.)

[eqn: THEREFORE g(x)= {1} over {b-a} (x-a)]

이어서, (다) 조건에 의해 함수 [eqn: h(x)]는 역시 [eqn: x=b] 인 지점에서 미분가능해야 한다.

위의 식과 유사하게 진행하되, 주의할 점은 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]의 부호를 결정하는 것이다. 이때 [eqn: x=b] 의 좌극한에서 [eqn: f(x)]는 음의 값이므로 [eqn: lim _{x rarrow b ^{-}} {LEFT | f(x) RIGHT |} =-f(b)] 가 되고, [eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {LEFT | f(x) RIGHT |} =f(b)] 가 된다.

[eqn: x=b] 에서 [eqn: lim _{x rarrow b ^{-}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ) prime = lim _{x rarrow b ^{+}} {( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ) prime }}] (‘식1’이라고 정의하자)를 만족하므로 이를 정리해보면,

[eqn: lim _{x rarrow b ^{-}} {`(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow b ^{-}} {eqalign{( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ^{{1} over {2}} )+ {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime ))# = {1} over {2} (-f(b)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(b) RIGHT | prime )+ {1} over {2} {1} over {b-a} (-f(b)) ^{{1} over {2}}}}}]

[eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {eqalign{``(( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ) prime = lim _{x rarrow b ^{+}} {} ( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} +(- {1} over {2} )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {3} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime )( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} )# ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (f(b)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(b) RIGHT | prime )- {1} over {2} {1} over {b-a} (f(b)) ^{{1} over {2}}}}]

이때, [eqn: f(b)=0] 이었기 때문에, 또 주의해야 할 점을 여기서 ‘양변이 0이므로 같다’로 마무리해서는 안된다는 것이다. 엄밀히 말하면 위의 식은 잘못된 식인데 [eqn: f(b)=0]이면 [eqn: ( +- ) {1} over {2} {1} over {b-a} (f(b)) ^{{1} over {2}} =0] 임이 당연하지만 그 앞부분에는 [eqn: f(b) ^{- {1} over {2}}]를 포함하고 있어 분모가 [eqn: 0]이 되기 때문이다. 즉, [eqn: h(x)]가 [eqn: x=b] 에서 미분가능하려면 식의 [eqn: {1} over {2} (f(b)) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(b) RIGHT | ')]가 먼저 정의되어야 한다. 다시 말해, 위 식에서 [eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )}] 가 먼저 정의되어야 한다. ([eqn: x rarrow b ^{-}] 인 경우도 마찬가지이다.) [eqn: x rarrow b ^{+}] 인 경우에 [eqn: f(x)]는 양수이므로 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =f(x)],

[eqn: LEFT | f(x) RIGHT | '=f'(x)] 로 나타낼 수 있다.

이제 [eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )}] 식을 정리해보자.

[eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )} = lim _{x rarrow b ^{+}} {(f(x)) ^{- {1} over {2}} (f prime (x))= lim _{x rarrow b ^{+}} {{f prime (x)} over {sqrt {f(x)}}}}]에서 분모가 0에 수렴하므로 ([eqn: h(x)]의 미분계수가 정의되기 위해선 분자도 0으로 수렴해야하고, 이는 곧 [eqn: f'(b)=0]을 의미하며, 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: (x-b)]라는 인수를 2개 이상 가지고 있음을 의미한다. 따라서 [eqn: f(x)=k(x-b) ^{2} R(x)] 으로 표현할 수 있다(단, [eqn: R(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차함수다). 이를 식에 대입해서 더 정리하면 다음과 같다.

[eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {{k(2(x-b)R(x)+(x-b) ^{2} )} over {(x-b) sqrt {kR(x)}}} = lim _{x rarrow b ^{+}} {`` sqrt {k} (2 sqrt {R(x)} + {(x-b)} over {sqrt {R(x)}} )= lim _{x rarrow b ^{+}} {``2 sqrt {k} sqrt {R(x)}}}] ([eqn: BECAUSE R'(x)=1] 이고, [eqn: R(x)]가 [eqn: (x-b)]를 인수로 가지든, 안 가지든 [eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {{(x-b)} over {sqrt {R(x)}}} =0] 이 성립한다.

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{x rarrow b ^{+}} {{1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}}} = lim _{x rarrow b ^{+}} {{1} over {2} (f(x)) ^{- {1} over {2}} (f prime (x))= lim _{x rarrow b ^{+}} {sqrt {k} sqrt {R(x)}}}]

마찬가지로, [eqn: x rarrow b ^{-}] 인 경우에 [eqn: f(x)]는 음수( 그림1)과 그림3)을 참고하자)이므로

[eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =-f(x)], [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | '=-f'(x)]로 나타낼 수 있고, 정리하면

[eqn: lim _{x rarrow b ^{-}} {{1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}}} = lim _{x rarrow b ^{-}} {{1} over {2} (-f(x)) ^{- {1} over {2}} (-f prime (x))= lim _{x rarrow b ^{-}} {sqrt {k} sqrt {R(x)}}}] 가 된다. 이를 통해 ‘식1’을 정리하면, [eqn: lim _{x rarrow b ^{-}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} ) prime = lim _{x rarrow b ^{+}} {( sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |} ) prime }} = lim _{x rarrow b} {sqrt {k} sqrt {R(x)}} = sqrt {k} sqrt {R(b)}] 이므로 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 성립한다. (이때 미분계수는 좌우 모두 [eqn: sqrt {k} sqrt {R(b)}]가 된다.

이제부터는 함수 [eqn: f(x)]를 조금 더 파헤쳐보자. 함수 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]는 그림1) 과 그림3) 모두 [eqn: a<x]에서 증가함수이고 이때 [eqn: x]축과의 교점은 [eqn: (b,0)] 이므로, [eqn: a<x<b] 에서 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]가 음수이고, [eqn: b<x]에서 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]가 양수가 된다.

그런데 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: a<x]에서 항상 양수이므로 이는 함수 [eqn: {f(x)} over {g(x)}]의 부호에 영향을 주지 못한다. 따라서 [eqn: f(x)]가 [eqn: a<x<b] 에서 음수이고, [eqn: b<x] 에서는 양수여야 한다. 이는 함수 [eqn: f(x)=k(x-b) ^{2} R(x)] 로 나타냈을 때, [eqn: R(x)]는 [eqn: (x-b)]를 인수로 가져야 함을 의미한다. (그렇지 않으면 함수 [eqn: f(x)]의 [eqn: x=b]에서 좌우 극한값의 부호가 같아져 모순이 생긴다).

[eqn: THEREFORE f(x)=k(x-b) ^{3}]

지금까지의 내용을 정리하면 [eqn: f(x)=k(x-b) ^{3}], [eqn: g(x)= {1} over {b-a} (x-a)] 이다.

마지막으로 (다) 조건을 분석해보자.

[eqn: LEFT | g(x) RIGHT | =1]이 함수 [eqn: h(x)]의 경계였으므로 식에 대입해보면, [eqn: g(2a-b)=-1,``g(b)=1] 이므로 [eqn: h(x)]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: h(x)= {cases{sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}&```````(x LEQ 2a-b,`b LEQ x)#sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}&```````(2a-b<x<b)}}]

여기서 (다) 조건에 부합하는 [eqn: p]의 값은 [eqn: 2a-b]임을 알 수 있다. (후에 첨가내용으로 나머지부분에 미분이 가능함과 [eqn: x=a]에서 미분이 불가능함을 증명합니다.

구하고자 하는 식의 값을 쉽게 하기 위해 몇 가지 값을 미리 구해놓고 가자.

[eqn: lim _{x rarrow (2a-b) ^{}} {LEFT | f(x) RIGHT | =-f(2a-b)}], [eqn: lim _{x rarrow (2a-b)} {( LEFT | f(x) RIGHT | ) prime =-f prime (2a-b)}], [eqn: lim _{x rarrow (2a-b)} {LEFT | g(x) RIGHT | =1}], [eqn: lim _{x rarrow (2a-b)} {( LEFT | g(x) RIGHT | ) prime =- {1} over {b-a}}]

이제 주어진 값을 구해보자. (계산과정을 최대한 자세히 나타내었습니다.)

(이때, [eqn: f(x)=k(x-b) ^{3} ,```f'(x)=3k(x-b) ^{2}]에서 [eqn: 2a-b]를 대입하면 [eqn: f(2a-b)=8k(a-b) ^{3} ,```f'(2a-b)=12k(a-b) ^{2}])

[eqn: lim _{x rarrow (2a-b) ^{-}} {eqalign{h prime (x)= lim _{x rarrow (2a-b) ^{-}} {eqalign{sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}# = lim _{x rarrow (2a-b) ^{-}} {} ( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} +(- {1} over {2} )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {3} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime )( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}}}}# ````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (-f(2a-b)) ^{- {1} over {2}} (-f prime (2a-b))+(- {1} over {2} )(- {1} over {b-a} )(-f(2a-b)) ^{{1} over {2}}# ````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (-8k(a-b) ^{3} ) ^{- {1} over {2}} (-12k(a-b) ^{2} )+ {1} over {2} {1} over {b-a} (-8k(a-b) ^{3} ) ^{{1} over {2}}# ````````````````````````````````````````````````````````=- {1} over {sqrt {2}} sqrt {k} (b-a) ^{{1} over {2}}}}]

[eqn: lim _{x rarrow (2a-b) ^{+}} {h prime (x)} = lim _{x rarrow (2a-b) ^{+}} {( sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |} )}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= lim _{x rarrow (2a-b) ^{+}} {( {1} over {2} ( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | f(x) RIGHT | prime )( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} + {1} over {2} ( LEFT | g(x) RIGHT | ) ^{- {1} over {2}} ( LEFT | g(x) RIGHT | prime )( LEFT | f(x) RIGHT | ) ^{{1} over {2}} )}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (-f(2a-b)) ^{- {1} over {2}} (-f prime (2a-b))+ {1} over {2} (- {1} over {b-a} )(-f(2a-b)) ^{{1} over {2}}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````= {1} over {2} (-8k(a-b) ^{3} ) ^{- {1} over {2}} (-12k(a-b) ^{2} )- {1} over {2} {1} over {b-a} (-8k(a-b) ^{3} ) ^{{1} over {2}}# ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````=- {5} over {sqrt {2}} sqrt {k} (b-a) ^{{1} over {2}}]

(여기서, [eqn: (-8k(a-b) ^{3} ) ^{- {1} over {2}}]은 근호 안에 음수가 들어갈 수 없으므로 [eqn: (8k(b-a) ^{3} ) ^{- {1} over {2}}]로 바꾼 후 진행해야 합니다.)

[eqn: THEREFORE ` {lim _{x rarrow p ^{+}} {``h prime (x)}} over {lim _{x rarrow p ^{-}} {``h prime (x)}} = {lim _{x rarrow (2a-b) ^{+}} {h'(x)}} over {lim _{x rarrow (2a-b) ^{-}} {h'(x)}} = {- {5} over {sqrt {2}} sqrt {k} (b-a) ^{{1} over {2}}} over {- {1} over {sqrt {2}} sqrt {k} (b-a) ^{{1} over {2}}} =5]  [eqn: THEREFORE `q=5] 이므로 구하는 답([eqn: q ^{3}])은 [eqn: 125] 이다.

답 : [eqn: 125]

<추가 설명>

먼저, [eqn: h(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분이 불가능하다는 것에 대한 부분입니다. [eqn: x=a] 에서 [eqn: h(x)= sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}] 꼴로 나타낼 수 있는데, 이때 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-a]를 인수로 가지지 않고 오직 [eqn: g(x)]만 [eqn: x-a]를 인수로 갖습니다. 따라서 [eqn: f(x)g(x)] 역시 [eqn: x-a]라는 인수를 1개만 가집니다, [eqn: g(x)]가 1차 함수이기 때문입니다. 따라서 사차함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=a]에서 기울기(미분계수)가 [eqn: 0]이 아닙니다. 따라서 [eqn: LEFT | f(x)g(x) RIGHT |]는 [eqn: x=a]에서 미분 불가능하고, 이는 [eqn: sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}] 역시 미분 불가능함을 알 수 있습니다. 자세히는 좌극한과 우극한의 값을 비교해봄으로써 정확하게 알 수 있습니다. 따라서 함수 [eqn: h(x)]의 미분불가능 점은 [eqn: x=2a-b,```a] 입니다. 나머지 범위에서 미분이 가능함은 [eqn: sqrt {LEFT | f(x)g(x) RIGHT |}], [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}] 의 경계점인 [eqn: x=2a-b,``a,``b] 에서 미분 가능성(혹은 불가능성)을 보였기 때문에 충분하다고 생각합니다.(자세히는 함수의 미분가능성에 대한 고등교육 과정에서의 정의를 끌고와서 증명을 해야하지만 대부분의 학생들 모두 인지하고 있는 내용이며 이에 대한 설명은 본 문항의 출제의도를 벗어날 수 있다고 판단하여 생략하였습니다. 해당 과정이 고등과정을 넘기지는 않습니다. 본 문항은 철저하게 고등교육 과정에서 배우는 내용을 토대로 만들어졌습니다.)

그리고, 그림1) 혹은 그림3)에서 [eqn: `x<a] 인 경우 ('U'자 모양의) 곡선이 [eqn: x]축과 만나 [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}]의 그래프가 [eqn: x]축에 대하여 꺾이면서 미분 불가능점이 추가적으로 생길 수도 있다는 생각을 할 수 있습니다. 하지만 [eqn: x>a] 인 부분의 분석을 통해 우리는 [eqn: f(x)=k(x-b) {} LSUP {3}]의 꼴로 표현할 수 있음을 알았습니다. 이는 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=b] 라는 삼중근을 가짐을 의미하고, 만약 [eqn: x<a] 에서 [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}]의 그래프가 (‘U'자 모양 곡선이) 추가적인 교점을 가진다면 이는 해당 점의 [eqn: x]좌표 값을 [eqn: f(x)]에 대입했을 때에 [eqn: f(x)=0]을 만족함을 의미합니다. 이는 [eqn: f(x)]가 ([eqn: x=b] 삼중근 이외의 추가적인 1개 이상의)4개 이상의 근을 가진다는 것을 의미하므로 모순이 됩니다. 따라서 [eqn: sqrt {LEFT | {f(x)} over {g(x)} RIGHT |}]는 [eqn: x<a]인 범위에서 [eqn: x]축과 교점을 가지지 않습니다.

<예시 상황>

[eqn: k=1,```b=1.5,```a=1,```f(x)=(x-1.5) ^{3} ,```g(x)= {1} over {0.5} (x-1)]

이때 [eqn: h(x)]는 점선과 실선 그래프 중 작거나 같은 값을 취함.

<출제 의도, 출제자의 말>

본 문항 정말 심혈을 기울인 문항이며, 푸는 학생들에게 하고 싶은 말이 많은 문항입니다. 해당문항의 출제 바탕이 된 모문항은 평가원의 최악의 정답률을 보여주었던 2017학년도 수능 가형 30번 문항입니다. 당시 문항은 정답률이 약 0.3% 였을 정도로 엄청난 난이도 였으나, 실제 풀이는 다항함수의 성질만 알면 적을 내용이 많지는 않은, 계산식은 의외로 간단한 문항이었습니다(동해 출제된 6월 모의고사 30번과 비교를 해보면 더욱 두드러집니다.) 같은 30번이고 난이도(정답률을 기준으로) 역시 두 문항 모두 매우 높았으나 6월 30번 문항의 시사점은 거의 없다고 보여지며, 이에 반해 수능 30번은 난이도를 떠나 정말 잘 만들어진, 고등교육 과정(특히 다항함수 부분)을 한 문항에 담아낸 문항으로 아직도 회자됩니다. 그러나 정작 학생들은 해당 문항을 쉽게 ’접근조차‘하지 못했다고 합니다. 그 이유는 제가 직접 몇 학생들을 지도해본 결과 너무나 (하지만 의외로) 명백한 부분에 있었습니다. 당시 수능 30번 문항은 기존의 문항들과 다르게 주어진 ’수치‘조건이 턱없이 부족하고 실제로 대부분의 숫자(근, 계수 등)를 학생 ’스스로‘ 설정하고 풀어나가야 하는 문항이지만, 많은 학생들이 해당 부분에 정말 취약했습니다. 대부분의 미적분 문항(특히 30번)이라고 하면 계산이 엄청 많고, 말도 안되는 그래프를 정확하게 그려야하며, 식 추론 능력 또한 뛰어나야 한다고 생각합니다. (물론 30번 문항의 출제의도가 등급을 판가름하는 것도 있기에 해당 요소가 완전히 없다고 말할 수는 없습니다) 하지만 학생들에게 ’최악‘이라고 불렸던 해당 문항은 다항함수의 성질을 잘 숙지했다면 (실제 문항공모하는 본인도 m자 4차함수와 직선 하나, 계산식 약간으로 풀었던 것으로 기억합니다) 계산과정이 절대 많지 않았던 문항입니다. 제가 출제한 문항도 그런 이유에서 만들어졌습니다. 주어진 조건을 가지고 미지의 함수를 특정하기, 이는 미적분학에 있어서 정말 기본적인 부분입니다. 많은 학생들은 숫자가 복잡하게 많이 주어지고, 함수식도 주어져 있고, 그렇게 많이 갖춰진 문항들을 상대적으로 선호합니다. 문제를 곱씹어보기도 전에 주어진 식을 기본적으로 두 번 미분한 식까지 다 써보고, 기본 함수값 ([eqn: f(0)] 등)을 전부 다 적어놓고 시작합니다. 그런 행동을 해야 무언가 얻어걸리겠지 하는 생각, 적어도 본인이 문제를 풀고있다는 생각이 강하게 든다고 합니다. 정작 해당 행동들은 문제를 다 이해하고 나중에 계산해도 전혀 늦지 않는데 말입니다. 미적분학을 미적분학 답지 않게, 산수(계산)적으로 접근하려고 하는 학생들에게 본 문항이 경종을 울리는 계기가 되었으면 합니다.

(<출제 의도, 출제자의 말>의 일부 내용은 필자가 직접 학생을 지도해보면서 느낀 경험 등 주관적인 내용을 포함하고 있음을 밝힙니다.)