식사 후의 여유 주관 모의평가 문제지

성명

수험 번호					-

○ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

○ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호, 답을 정확히 표시하시오.

○ 서답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 작성하시오.

○ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

식사 후의 여유 주관

-1쪽-

(1-20) 각 문제를 잘 읽고, 해당하는 답을 고르거나 쓰시오.

1. 중심각의 크기가 [eqn: x(rad)]이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 부채꼴의 넓이는 [eqn: {1} over {2} xr ^{2}]이다. 이를 이용하여 [eqn: 0<x< {pi } over {2}]일 때, [eqn: x,sinx,tanx]의 대소를 바르게 비교한 것을 찾으면?

① [eqn: x<sinx<tanx] ② [eqn: x<tanx<sinx] ③ [eqn: sinx<x<tanx] ④ [eqn: sinx<tanx<x]

⑤ [eqn: tanx<x<sinx]

2. 실수 전체에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]는 <조건>을 모두 만족시키고, <그림 1>은 [eqn: f(x)]의 증감표의 일부이다. [eqn: (0,20)]에서 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt=0}]의 실근의 개수를 구하시오. (단, [eqn: 3.14< pi <3.15]이다.)

[eqn: x]	0	...	[eqn: {pi } over {2}]	...	[eqn: {3 pi } over {2}]	...	[eqn: 2 pi]
[eqn: f'(x)]		+		-		+

<조건> (1)[eqn: f(0)=f( pi )=f(2 pi )=0]

(2) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: |f(x)|=|f(x+ pi )|,`f(x)=f(x+2 pi )]이다.

-2쪽-

3. 이차항의 계수와 일차항의 계수와 상수항이 모두 정수인 이차함수 [eqn: f(x)]의 개형이 <그림 1>과 같다. [eqn: f(-1)]의 최솟값을 구하시오.

<그림 1>

4. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ,ㄴ ④ ㄱ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

<보기> ㄱ. [eqn: lim _{x-> 1} {[f(x)-f(1)} ]=0] ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1} {f'(x)}]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극값을 가진다.

-3쪽-

5. 양수 [eqn: a,b,c,r]와 명제 ‘[eqn: p]이면 [eqn: q]이다.’에 대해 <조건>의 4개의 보기 중 하나를 골라 [eqn: p]에 대입하고 나머지 3개의 보기 중 하나를 골라 [eqn: q]에 대입할 때 명제가 참이 되도록 하는 양수 [eqn: a,b,c,r]가 각각 존재하면 그 명제는 ‘잠정적 참’이라고 하자. ‘잠정적 참’인 명제의 개수의 최댓값을 구하시오.

<보기> ㄱ. [eqn: |x| LEQ a] ㄴ. [eqn: |y| LEQ b] ㄷ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} LEQ r ^{2}] ㄹ. [eqn: |x|+|y| LEQ c]

6. 연속함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt=F(x)}]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? ① ㄱ ② ㄱ,ㄴ ③ ㄱ,ㄷ ④ ㄴ,ㄷ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

<보기> ㄱ. [eqn: F(0)=0] ㄴ. [eqn: F(1)=f(a)]인 실수 [eqn: a]가 존재한다. ㄷ. [eqn: -1<b<0]인 실수 [eqn: b]에 대해 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: F(x)=f(x+b)]의 실근이 존재하도록 하는 실수 [eqn: b]가 존재한다.

-4쪽-

7. 중심각의 크기가 [eqn: theta]이고 반지름의 길이가 [eqn: cos theta]인 부채꼴을 밑면으로 하는 입체도형의 높이가 [eqn: sin theta]이다. 입체도형을 밑면과 평행한 평면으로 자른 단면이 모두 밑면과 합동일 때, 이 입체도형의 부피를 [eqn: V( theta )]라 하자. [eqn: [ lim _{theta -> 0+} {{V( theta )} over {theta ^{2}}} ] TIMES [ lim _{theta -> {pi } over {2} -} {{V( theta )} over {( {pi } over {2} - theta ) ^{2}} ]= {q} over {p} pi }]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,q]는 서로소인 두 자연수이다.)

8. 수열 {[eqn: a _{n}]},{[eqn: b _{n}]},{[eqn: c _{n}]}에 대해 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ,ㄴ ④ ㄱ,ㄷ ⑤ ㄴ,ㄷ

<보기> ㄱ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: 0<a _{n} <1]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]이 존재한다.

ㄴ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: c _{n} <a _{n} <b _{n}]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n}}]의 값이 존재하고 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} = lim _{n-> INF } {c _{n}}}]이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]이 존재한다.

ㄷ. 임의의 자연수 [eqn: n]에 대해 [eqn: c _{n} LEQ a _{n} LEQ b _{n}]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } c _{n} = alpha]([eqn: alpha]는 실수)이면 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} =0}]이다.

-5쪽-

9. 출발 칸에 말이 다음과 같이 놓여 있다. 주사위를 던져 나온 수만큼 말을 앞으로 움직일 때, 주사위를 [eqn: n]번 던져 정확히 도착 칸에 멈추게 될 확률을 [eqn: p _{n}]이라 하자. [eqn: p _{n}]이 최대일 때의 [eqn: n]의 값을 [eqn: N]이라 할 때, [eqn: N TIMES p _{N}]의 값은? (단, [eqn: 2 LEQ n LEQ 9]이다.) ① [eqn: {2} over {9}]  ② [eqn: {25} over {72}]  ③ [eqn: {14} over {81}]

④ [eqn: {175} over {3888}] ⑤ [eqn: {7} over {972}]

출발									도착

10. 실수 전체에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),g(x)]에 대해 임의의 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(x) LEQ g(x)]일 때, <보기>에서 옳지 않은 명제의 개수는? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4

<보기> ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f'(x) LEQ g'(x)]이다. ㄴ. 어떤 실수 [eqn: a]에 대해 [eqn: int _{0} ^{a} {f(x)dx> int _{0} ^{a} {g(x)dx}}]이다. ㄷ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt LEQ int _{0} ^{x} {g(t)dt}}]이다. ㄹ. [eqn: f(0)=g(0)]이면 [eqn: f'(0)=g'(0)]이다.

-6쪽-

11. 연속함수 [eqn: f(x)]에 대해 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: min]{[eqn: x ^{2} ,x+2]}[eqn: LEQ f(x) LEQ]max{[eqn: x ^{2} ,x+2]}가 성립할 때, [eqn: int _{-3} ^{3} {f(x)dx}]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: min]{[eqn: g(x),h(x)]}는 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]중 크지 않은 것, [eqn: max]{[eqn: g(x),h(x)]}는 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]중 작지 않은 것이며, [eqn: p,q]는 서로소인 두 자연수이다.)

12. [eqn: 0 LEQ a LEQ {1} over {3} ,`0 LEQ b LEQ 1]을 만족하는 두 실수 [eqn: a,b]에 대해 밑과 같은 이산확률분포표에 따른 이산확률변수 [eqn: X]의 표준편차 [eqn: sigma (X)]의 최댓값이 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,q]는 서로소인 두 자연수이다.)

[eqn: X]	0	1	2	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: 2a]	[eqn: b]	1

-7쪽-

13. 10 이하의 두 자연수 [eqn: m,n(m>n)]과 양수 [eqn: k]에 대해 [eqn: y=mx,y=nx,y=-x+k]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(k)]라 하자. [eqn: lim _{k-> INF } {{k ^{2}} over {S(k)}}]의 값이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (m,n)]의 개수를 구하시오.

14. 집합 [eqn: A=]{[eqn: (x,y)|log _{3} x<y<3 ^{x} ,y LEQ -x+k], [eqn: k]는 실수이고, [eqn: x]와 [eqn: y]는 자연수}의 서로 다른 세 원소를 좌표로 하는 점들을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 [eqn: f(k)]라 하자. 예를 들어, [eqn: f(3)=1]이다. [eqn: f(a)=256]이 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 범위를 [eqn: m LEQ a<n]이라 할 때, [eqn: mn]의 값을 구하시오.

-8쪽-

15. [eqn: 0< theta < {pi } over {2}] 또는 [eqn: {pi } over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대해 세 직선 [eqn: y=(tan theta )x,`y=- {1} over {tan theta } x,`y=f(x)]은 삼각형을 이루지 않고 [eqn: y=f(x)]는 원점을 지나지 않을 때, [eqn: f(1)-f(0)]의 최댓값을 [eqn: g( theta )]라 하자. 실수 [eqn: k]에 대해 [eqn: h(k)=]({[eqn: x|g(x)=-x+k]}의 원소의 개수)라 할 때, [eqn: h(k)=1]이라는 조건이 필요충분조건이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 범위를 나타낸 것은?

① [eqn: 0<k LEQ {pi } over {2}] ② [eqn: 0<k LEQ pi] ③ [eqn: 0<k LEQ {pi } over {4}]

④ [eqn: 0<k LEQ {pi } over {4}] 또는 [eqn: {pi } over {2} <k< {3 pi } over {4}] ⑤ [eqn: 0<k LEQ {pi } over {4}] 또는 [eqn: {pi } over {2} <k LEQ {3 pi } over {4}]

16. 1보다 큰 자연수 [eqn: a]에 대해 [eqn: f(x)=a ^{x} -1]이고, [eqn: f(x)]를 [eqn: y]축 대칭시킨 함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 집합 [eqn: A=]{[eqn: (x,y)|(y-f(x))(y-g(x))>0,`y LEQ k], [eqn: x]와 [eqn: y]는 자연수}의 원소의 개수를 [eqn: h(k)]라 하자. [eqn: h(5)=6]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

-9쪽-

17. 연속함수 [eqn: f(x)]에 대해 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log]{[eqn: f(x)]}의 값이 존재하고 그 값의 최댓값이 0일 때, <보기>에서 옳지 않은 명제의 개수는? ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4

<보기> ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)]의 함숫값 미만의 최대 정수는 0이다.

ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(x)]는 미분가능하다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}]의 값은 정수가 아니다.

ㄹ. [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx}] 이하의 최대 정수는 0이다.

18. 양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: y=x ^{2} ,y=x+k,y=-x+k]의 세 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f(k)]라 하자. [eqn: 90f'(2)]의 값을 구하시오.

-10쪽-

19. 함수 [eqn: f(x)= sum _{k=1} ^{INF } x ^{k}]는 [eqn: a<b]인 두 실수 [eqn: a,b]에 대해 [eqn: a<x<b]일 때만 정의가 되고, 그 함수는 유리함수의 일부가 된다. 그 유리함수의 정의역을 확장할 수 있는 만큼 확장하게 되면 [eqn: a<x<b] 이외의 구간에도 정의가 된다. 이를 [eqn: g(x)]라 하자. 즉, [eqn: f(x)=g(x)(a<x<b)]이지만, [eqn: x LEQ a,`x GEQ b]일 때는 [eqn: g(x)]가 정의되지 않는 [eqn: x]를 제외하고는 [eqn: g(x)]는 존재하는 것이다. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=-x+k]의 실근의 개수를 [eqn: F(k)]라 하고, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: g(x)=-x+k]의 실근의 개수를 [eqn: G(k)]라 할 때, <보기>에서 옳지 않은 명제의 개수는?

① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 ⑤ 4

<보기> ㄱ. [eqn: F(x)]는 오직 한 점에서만 불연속이다. ㄴ. [eqn: G(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이다. ㄷ. [eqn: F(x)+G(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다. ㄹ. [eqn: F(x)G(x)]는 오직 한 점에서만 미분가능하지 않다.

20. [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} {ln(n+k)-lnn} over {n}} =aln2+b]([eqn: a,b]는 정수)일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

※ 확인 사항

○ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

답안:  1.     2.     3.     4.     5.     6.     7.     8.     9.     10.

11.    12.    13.    14.    15.    16.    17.    18.    19.    20.

正答: 1.정 2.답 3.은 4.댓 5.글 6.로 7.요 8.청 9.부 10.탁 11.드 12.립 13.니 14.다 15.문 16.의 17.사 18.항 19.도

20.요