실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= {cases{g(x)&````(x< {e-2} over {e-1} )#h(x)&````(x GEQ {e-2} over {e-1} )}}]  로 정의한다.

[eqn: f(x)]는 미분가능하기 때문에 [eqn: f(x)]와 [eqn: f prime (x)]의 [eqn: x= {e-2} over {e-1}]에서의 좌극한, 우극한, 함수값이 각각 같다.

함수 [eqn: P(y,`t)]의 값은 [eqn: y=t]의 서로 다른 실근의 개수가 2개 이상일 때 가장 큰 실근과 가장 작은 실근의 차이고, 서로 다른 실근의 개수가 1개 이하일 때 0이다.

[eqn: {d} over {dt} P(y,`t)]의 값을 구하는 방법은 [eqn: y=t]의 가장 큰 실근을 [eqn: alpha], 가장 작은 실근을 [eqn: beta]라 하면 그림에 따라 [eqn: lim _{DELTA t -> 0} {{P(y,`t+ DELTA t)-P(y,`t)} over {DELTA t}} = {1} over {y prime _{x= alpha }} - {1} over {y prime _{x= beta }}]이다. [eqn: y' _{x= alpha } =0], [eqn: y prime _{x= beta } =0], [eqn: P(y,`t)]가 그 부분에서 불연속 중 한 개 이상의 조건을 만족하면 미분가능하지 않다.

(가)  [eqn: g(x)]는 사차함수이고 [eqn: P(g(x),`t)]가 실수 [eqn: t]에 대하여 미분가능하지 않은 점은 2개이다.

[eqn: g(x)]와 그에 대한 [eqn: P(g(x),`t)]의 대략적인 개형은 다음과 같다. [eqn: P(g(x),`t)]가 실수 [eqn: t]에 대하여 미분가능하지 않은 점은 2개라는 조건을 만족하는 [eqn: g(x)]의 개형은 최고차항의 계수가 양수일 경우에 5, 6, 7, 8번과 최고차항의 계수가 음수일 경우에 이들을 상하로 뒤집은 개형이다.

(나)  두 점 [eqn: (u,`e` ^{u} ),`(u+1,`e` ^{u+1} )]을 지나는 직선을 [eqn: l _{u}]라 하면, 임의의 실수 [eqn: u]에 대해 [eqn: l _{u}]는 [eqn: h(x)#]에 접한다.

이 조건을 이용해 [eqn: h(x)]의 수식을 구할 수 있다.

풀이 1 : [eqn: l _{u} `=` {e ^{u+1} -e ^{u}} over {(u+1)-(u)} (x-u)+e ^{u} =(e ^{u+1} -e ^{u} )x-ue ^{u+1} +(u+1)e ^{u}]이다. [eqn: l _{u}]와 [eqn: h(x)]가 접하는 [eqn: x]좌표를 [eqn: k``(u LEQ k LEQ u+1)]라 하면 점 [eqn: (k,``h(k))]에서 [eqn: h(x)]의 접선이 [eqn: l _{u}]이다. 이 때 [eqn: L(u)`=`(e ^{u+1} -e ^{u} )k-ue ^{u+1} +(u+1)e ^{u} -h(k)]인 함수 [eqn: L(u)]를 설정하면 [eqn: h(x)]와 [eqn: l _{u}]가 접하는 지점인 [eqn: x=k]일 때 [eqn: L(u)]가 최댓값을 갖으며 기울기가 0이다. [eqn: {d} over {du} L(u)=(e ^{u+1} -e ^{u} )k-(u+1)e ^{u+1} +(u+2)e ^{u} =0]에서 [eqn: k=u+ {e-2} over {e-1}]이다. 이는 [eqn: u LEQ k LEQ u+1]을 만족한다. [eqn: l _{u} =(e ^{u+1} -e ^{u} )(x-u)+e ^{u} =h'(k)(x-k)+h(k)]와 [eqn: k=u+ {e-2} over {e-1}]를 연립하면 [eqn: h(k)= {e-2} over {e-1} e ^{u+1} + {1} over {e-1} e ^{u}]이고 [eqn: h(x)= {e-2} over {e-1} e ^{x+ {1} over {e-1}} + {1} over {e-1} e ^{x- {e-2} over {e-1}}]이 된다.

풀이 2 : [eqn: l _{u}]와 [eqn: l _{s}]의 교점의 [eqn: x#]좌표는 [eqn: x= {(se ^{s+1} -(s+1)e ^{s} )-(ue ^{u+1} -(u+1)e ^{u} )} over {(e ^{s+1} -e ^{s} )-(e ^{u+1} -e ^{u} )}]이다.

[eqn: s]를 [eqn: u]에 무한히 가깝게 보내면 [eqn: lim _{s -> u} {x} `=`u+ {e-2} over {e-1}]이다. 이후 계산은 같다.

위의 1)에 따라 [eqn: h( {e-2} over {e-1} )=e-1]이고 [eqn: h'( {e-2} over {e-1} )=e-1]이므로 [eqn: g( {e-2} over {e-1} )=e-1]이고 [eqn: g prime ( {e-2} over {e-1} )=e-1]가 성립한다.

(다)[eqn: lim _{t -> ( {e-2} over {e-1} ) ^{-}} {P(f(x),`h(t))=1}],[eqn: lim _{t -> ( {e-2} over {e-1} ) ^{+}} {P(g(x),`h(t)) GEQ 2}]이고 [eqn: P(f(x),`t)]는 [eqn: t=h( {e-2} over {e-1} )]일 때 실수 [eqn: t]에 대하여 미분가능하지 않다.

[eqn: P(f(x),`t)]가 [eqn: t=h( {e-2} over {e-1} )]일 때 미분이 가능하지 않다는 것은 [eqn: P(g(x),`t)]도 [eqn: t=h( {e-2} over {e-1} )=e-1]일 때 미분이 가능하지 않다는 뜻이다. 3)에서 구한 조건을 만족하는 [eqn: g(x)]의 그래프들 중 [eqn: h(x)]와 매끄럽게 만날 수 있는 개형은 5번과 8번이고 최고차항의 계수가 음수인 그래프들 중에서는 5번을 뒤집은 개형이다. 이는 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]가 만나는 지점의 미분계수가 양수이기 때문이다. 따라서 [eqn: g(x)]의 그래프는 3)에서 표시한 [eqn: t _{1}]선 부분의 값이 [eqn: e-1]이고 [eqn: t _{1}]선과 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 큰 곳에서의 미분계수가 [eqn: e-1]인 사차함수이다. 그리고 [eqn: lim _{t -> ( {e-2} over {e-1} ) ^{-}} {P(f(x),`h ^{-1} (t))=1}]를 만족하려면 [eqn: f(x)]의 그래프는 [eqn: f(x)]에서 [eqn: g(x)]와 [eqn: h(x)]의 경계점인 점 [eqn: ( {e-2} over {e-1} ,``e-1)]에서 [eqn: x]방향으로 [eqn: 1]이나 [eqn: -1]만큼 평행이동한 점도 지나야 하는데 [eqn: h(x)]의 그래프의 개형 특성 상 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점은 지나지 않는다. 따라서 [eqn: f(x)]는 점 [eqn: ( {e-2} over {e-1} -1`,`e-1)=( {1} over {1-e} `,`e-1)]를 지나고 이는 [eqn: g(x)]부분이므로 [eqn: g(x)]도 점 [eqn: ( {1} over {1-e} `,`e-1)]를 지난다.

[eqn: lim _{t -> ( {e-2} over {e-1} ) ^{+}} {P(g(x),`h ^{-1} (t)) GEQ 2}]이므로 [eqn: g(x)]의 개형에서 이도 고려해야 한다.

종합적으로 가능한 [eqn: f(x)]의 개형은 다음과 같다. (파란색/초록색은 [eqn: g(x)], 빨간색은 [eqn: h(x)])

[eqn: f prime ( {1} over {1-e} ) GEQ - {25} over {36} (e-1)]일 때, [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 양수일 때의 최고차항의 계수의 최솟값을 [eqn: m _{1}], [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수일 때의 최고차항의 계수의 최솟값을 [eqn: m _{2}]이라 하자. [eqn: {m _{1} -m _{2}} over {e-1} = {p} over {q}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

위 조건들을 통합해 [eqn: g(x)]의 식을 표현하면 최고차항의 계수가 양수일 경우에 최고차항을 [eqn: A]라 했을 때 [eqn: g(x)=A(x- {e-2} over {e-1} )(x+ {1} over {e-1} )(x-r) ^{2} +e-1]  [eqn: (r LEQ {e} over {1-e} )]로 놓을 수 있다.

[eqn: f(x)]의 미분가능성을 고려해 [eqn: g'( {e-2} over {e-1} )=e-1]이 되어야 한다.

계산의 편의상 위의 식을 [eqn: g(x- {1} over {e-1} )=Ax(x-1)(x-z) ^{2} +e-1]   [eqn: (z=r+ {1} over {e-1} )]로 변형하면 [eqn: g prime (x- {1} over {e-1} )=A((x-1)(x-z) ^{2} +x(x-z) ^{2} +2x(x-1)(x-z))]이다. 이 식에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g prime ( {e-2} over {e-1} )=A(1-z) ^{2} =e-1]에서 [eqn: A= {e-1} over {(1-z) ^{2}}]이다.

[eqn: r LEQ {e} over {1-e} ,``z=r+ {1} over {e-1}]이므로 [eqn: z LEQ -1]이다.

[eqn: f prime ( {1} over {1-e} )=g prime ( {1} over {1-e} )=-Az ^{2} =- {(e-1)z ^{2}} over {(1-z) ^{2}} GEQ - {25} over {36} (e-1)]에서 [eqn: -5 LEQ z LEQ -1]이다.

따라서 [eqn: A]의 범위는 [eqn: {e-1} over {36} LEQ A LEQ {e-1} over {4}]이다.

[eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수일 경우에 [eqn: g(x)]의 최고차항을 [eqn: B]라 했을 때 [eqn: g(x)=B(x- {e-2} over {e-1} )(x+ {1} over {e-1} ) ^{2} (x-r)+e-1]  [eqn: (r GEQ {3e-4} over {e-1} )]로 놓을 수 있다.

위처럼 [eqn: g(x)]를 변형하면 [eqn: g(x- {1} over {e-1} )=Bx ^{2} (x-1)(x-z)+e-1]   [eqn: (z=r+ {1} over {e-1} )]이다.

[eqn: g prime (x- {1} over {e-1} )=B(2x(x-1)(x-z)+x ^{2} (x-z)+x ^{2} (x-1))]에서 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g prime ( {e-2} over {e-1} )=B(1-z)=e-1]에서 [eqn: B= {e-1} over {1-z}]이다.

[eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수일 때 [eqn: f prime ( {1} over {1-e} )]는 항상 0으로 [eqn: - {25} over {36} (e-1)]보다 크다.

[eqn: r GEQ {3e-4} over {e-1}], [eqn: z=r+ {1} over {e-1}]이므로 [eqn: z GEQ 3]이다. 따라서 [eqn: B]의 범위는 [eqn: - {e-1} over {2} LEQ A<0]이다.

[eqn: m _{1} = {e-1} over {36}]이고 [eqn: m _{2} =- {e-1} over {2}]이므로 [eqn: {p} over {q} = {1} over {36} -(- {1} over {2} )= {19} over {36}]이다. [eqn: p+q=55]이다.

위 문제에 사용된 그래프는 https://www.desmos.com/calculator/yfqeu0rdeo 에서 확인할 수 있습니다.

(단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수이다.)