우선적으로 [eqn: f(x)= int _{0} ^{a} {|x-h(t)|dt}] 꼴의 함수를 어떻게 다루는지를 생각하여야 할 것이다.

이 경우, [eqn: h(t)]가 증가함수 또는 감소함수가 아닐 수도 있으므로, 각 증감 구간에 따라 구간별로 정의된 역함수를 도입할 수 있다.f

다시 말하자면, 구간별로 함수를 쪼개어 일반적인 연속함수라고 하더라도 구간별로 정의된 함수로서 정리한 후에 적분을 하는 것이다. 역함수를 가지는 함수 [eqn: k(t)]에 대해, 구간 내에서 다음과 같은 생각을 할 수 있다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{a} {|x-k(t)|dt}]이면, [eqn: f(x)= int _{0} ^{k ^{-1} (x)} {x-k(t)dt} + int _{k ^{-1} (x)} ^{a} {x-k(t)dt}]

또한 미분해 보면 [eqn: f'(x)=2k ^{-1} (x)]임을 확인할 수 있다.

즉, 주어진 함수의 경우, 각 구간을 잘 쪼개어 확인해 보면서 도함수를 확인하고, 그 도함수를 다시 미분한다면 이계도함수 불연속 조건의 열쇠는 극점 또는 미분 불가능한 점이라는 사실을 알 수 있다. 이러한 생각을 가지고 (나)를 보면, 둘 다 이계도함수가 불연속인 지점이라는 생각에는 도달하나, 막상 그러한 생각을 가지고 계산을 하려 하면, 머지않아 어떠한 계산도 할 수 없다는 사실을 알 수 있다.

그 까닭은, 위에서 말했듯이 역함수가 (0,a)범위 안에 들어와야 하기 때문이다. 결론적으로 말해서, 우리의 문제 같은 경우, 이계도함수가 불연속일 수 있는 지점은 다행히도 극점이 경계 내에서 존재하기 때문에( 극점이 경계 내에 존재한다는 것이 확실하지 않으면 문제가 놀라울 정도로 다양하게 변한다) 각 불연속점과 극점을 일치시키거나 경계를 조정하여 각 값들을 맞추어 주어야 한다는 것을 알 수 있다.

즉, 결론적으로 [eqn: h(t)]의 극솟값과 [eqn: h(0)]은 항상 일치해야 하며, [eqn: h(t)]가 극솟값을 가지는 [eqn: t]를 [eqn: alpha]라 하고, 극댓값을 갖는 [eqn: t]를 [eqn: beta]라 하면 [eqn: h(a)=h( beta)]일 수밖에 없다는 사실을 알 수 있다.

열린 구간이므로 [eqn: a= alpha]인 경우 열린 구간 안에 극솟값을 갖게 하는 [eqn: t]가 포함되지 않기 때문이다.

정리해 보면, [eqn: h(t)=g(e ^{t} )]이므로, [eqn: g(1)=g(e ^{alpha} )], [eqn: g(e ^{a} )=g(e ^{beta} )=20], [eqn: g(0)=0] 이다.

따라서 [eqn: g(x)=(x-1)(x-k) ^{2} +k ^{2}] 과 같이 둘 수 있으며, 주어진 값에 따라 계산하면 [eqn: k=4]이다.

또한, 따라서 [eqn: a=ln5]가 된다.

계산을 수행하면 답은 [eqn: 20ln5- {88} over {3}] 이다.