[eqn: 0 LEQx LEQ pi]일 때, 함수 [eqn: f(x)= int _{0} ^{pi} {|sin(t-x)-sin(2t)|dt}]의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하자. [eqn: M+m]의 값은?

20010-0150 [K]

최근 킬러 문항의 발상적인 모습과 아이디어적인 부분이 줄고 있는 것에서, 2016학년도 이전에 가형에서도 개수세기가 많이 출제되었던 것을 감안하면, 이를 계산량을 늘려서 판단하는 것이 가능해진다. 적분 구간을 [eqn: 2 pi] 또는[eqn: {5} over {2} pi]로 바꾸기만 해도, 엄밀하게 문제를 푸는 과정 자체가 잡다한 계산이 늘어나게 된다. 그리고 사실상 181130의 마이너 문항이므로 출제되어도 뭐라 할 말이 없어진다. 꼭 풀어볼 것.

변형문제-[★★★★★]

[eqn: f(x)= int _{0} ^{a} {LEFT | x-h(t) RIGHT | dt}] 이 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(가) 최고차항의 계수가 1인 어떤 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대해, [eqn: h(t)=g(e ^{t} )]이다.

(나) 함수 [eqn: h(t)]가 극댓값과 극솟값이 되는 [eqn: t]는 [eqn: (0,a)]에 존재한다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=20]일 때와 [eqn: x=b]일 때만 이계도함수가 불연속이다.(단, [eqn: b<20])

[eqn: g(0)=0]일 때, [eqn: f(20)]의 값은?

그렇게 많은 사고를 요하지는 않으면서도 아주 복잡한 문제이다. 계산량 자체는 어머어마하면서도, 그로 가는 발상은 복잡하지 않은 문제. 2016학년도 이전 킬러문제의 하드코어 버전이라고 할 수 있다. 이 문제는 너무 복잡하므로 만들어진 과정을 함께 살펴보며 알아보도록 하자.

a) 우선 EBS 원본 문제의 핵심은, [eqn: f(x)]를 해석하는 과정에서 적분 안의 식을 [eqn: t]의 값에 따라 나누는 것이다. 따라서 처음에 생각해 본 내용은 다음과 같은 것이다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{a} {|x-t|`dt}]

이 경우, 너무 단순해지므로 폐기하였다. 다만, 후에 직선과 이차함수의 접선 관계를 어렵지 않게 나타낼 때 유용하게 쓰일 것으로 보인다.

b) 문제를 조금씩 돌려보면서 계산 가능하고 치역의 범위 설정이 가능한 함수를 찾는 것이 중요하다는 사실을 깨달을 수 있다. 그에 대한 첫 번째 시도로 다음과 같은 함수가 가능했다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{4} {|x-t ^{2} +2t-2|`dt}]

이 경우, 1을 기점으로 하여 값이 바뀌게 된다. 하지만, 극점은 또 1에 있지 않게 되어 20번 정도에 위치한다면 많은 학생들을 혼란에 빠뜨리는 것이 가능하다.

c) 여기서부터는 조금 더 나아가서, [eqn: f(x)= int _{} ^{} {|x-h(t)|`dt}] 꼴의 함수를 일반적으로 다루고, 조건에 따라 [eqn: h(t)]를 추정하며, 나아가 [eqn: h(t)]를 알아내어 [eqn: f(x)]의 값들을 알아내는 킬러 문제를 만들게 되었다. 계산 가능하게 하기 위해서, [eqn: h(t)]를 [eqn: e ^{2t} +be ^{t} +c] 꼴의 함수로 설정했다.

이 경우, 극값에서 이계도함수가 존재하지 않아 연속이 아니라는 것을 이용하여,

[eqn: x=d]에서만 [eqn: f(x)]의 이계도함수는 불연속이다.

라는 조건을 통해 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=d]에서 극값을 가짐을 알 수 있다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{ln6} {LEFT | x- {h(t)} over {e ^{t}} RIGHT | dt}] 이 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(가) [eqn: h(t)=e ^{3t} +be ^{2t} +ce ^{t}]

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하며, [eqn: x=2]일 때만 이계도함수가 불연속이다.

(다) [eqn: h(t)]는 최솟값을 가진다.

[eqn: h(t)]의 극솟값이 최대일 때 그 값을 m이라 하고, 이때 [eqn: f(x)]가 극값을 가지는 x값을

a라 하자. m+a의 값은?

여기에다 다른 애매한 조건을 추가한다면([eqn: h(x)]의 개형이라든지...) 30번 정도의 킬러 문제가 탄생한다.(사실 이것도 삼차함수에 지수함수를 합성했을 때 나올 수 있는 여러 합성함수의 처리 방식을 넣는다면 더 어려운 문제가 될 수도 있다...)

그래서 어느 정도 선을 지키고, 학생들에게 고통을 주기 위해서 어느 정도 이것을 직접 계산이 가능하다는 뉘앙스를 줄 필요가 있다. 또한, 미분가능성을 이용하기 위해서, 좀더 일반적인 부분에서 위 문제를 바라본다면 다음과 같은 진정한 “최종” 문제가 탄생한다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{a} {LEFT | x-h(t) RIGHT | dt}] 가 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(가) 최고차항의 계수가 1인 어떤 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대해,[eqn: h(t)=g(e ^{t} )]이다.

(나) 함수 [eqn: h(t)]는[eqn: (0,`a)]에서 극댓값과 극솟값을 모두 가진다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=20]일 때와 [eqn: x=b]일 때만 이계도함수가 불연속이다.(단, [eqn: b<20])

[eqn: g(0)=0]일 때, [eqn: f(20)]의 값은?

학생들은 상당히 혼란스러울 것이다.

우선 기본적으로 함수 개념이 제대로 잡혀있지 않는 학생의 경우, 정의역을 제한시키는 개념이 어려울 수 있고, 숙달되었어도 직접 경험하지 않았다면 부분적으로 정의된 역함수의 경우 특이한 개념이 될 수 있다. 그렇기에 그를 통해 한번 일반적으로 정리한 후에 접근이 용이한 이 문제는 고난도가 될 것이다.

정리:

1. 앞에 말했듯, 변형문제처럼 출제될 경우 문제 자체보다는 안의 함수에 관한 것으로 문제를     바꿀 수 있다. 이 경우 당황하지 말고  천천히 접근하자.

2. 삼차함수에 지수함수를 합성한 꼴은 무궁무진하다... 다양하게 알아보자

3. 구간별로 정의된 역함수... 항상 정의역도 함수의 구성원임을 기억하고, 그러한 것을 적분에서 능동적으로 사용할 수 있어야 한다.