1. 지수, 로그함수의 성질 / 방정식과 부등식

- 범위, 평행이동, 대칭이동에 따른 지수함수와 로그함수의 형태

- 지수함수 [eqn: f(x)= a ^{ x}]와, 로그함수 [eqn: g(x)=log _{ a}x]는 역함수 관계를 가진다.

①. [eqn: a>1], 즉 지수함수와 로그함수가 증가할때, 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 [eqn: y=x]에서 교점을 가진다.

②. 증가하는 지수함수(혹은 로그함수) 와 그 역함수의 교점을 A, B 라고 한다면

두 점 A,B의 좌표를 각각 [eqn: A(a,a) , B(b,b)]로 설정하고 문제를 접근할 수 있다.

③. 증가하는 지수함수(혹은 로그함수)와 그 역함수를 각각 [eqn: f(x),g(x)] 라고 할때, [eqn: f(f(x))=x] 의 의미

양변을 [eqn: g(x)]에 대해 합성해보면, [eqn: g(f(f(x)))=g(x) LRARROW f(x)=g(x) LRARROW f(x)=g(x)=x]

즉, 증가하는 지수함수, 로그함수에서의 [eqn: f(f(x))=x]는, 주어진 함수와 [eqn: y=x] 사이의 교점을 의미한다.

- 지수함수와 로그함수의 합답형 문제

①. 역함수와 대칭성을 고려하여, [eqn: y=x, y=-x]를 그려본다

②. 특정점 [eqn: x_{ n}]의 값, 대소비교는 [eqn: y=x , y=-x] 활용

③. 분수 [eqn: { y _{ n} } over {x _{ n} }] , 곱 [eqn: x_{ n}y _{ n}] 꼴은, 기울기로 접근

- 지수, 로그함수의 방부등식

①. 지수함수, 로그함수를 미지수 t로 치환할때 정의역 t의 범위

②. 로그 방정식,부등식에서의 밑 진수조건

20100725

20101116

20140425

1. 지수, 로그 함수의 성질, 방부등식 답

370/4/63

2. 격자점 세기

격자점 세기는 크게 2가지 유형의 문제로 출제된다.

- 지수함수와 로그함수, 일차식 등을 제시한후, 둘러쌓인 부분의 격자점을 세는 경우

1. 주어진 지수함수와 로그함수가 역함수인지, 만약 역함수라면, [eqn: y=x]를 보조선으로 그어놓자.

2. 보통 지수함수는 [eqn: y=k]에 따른 [eqn: x]의 개수를 세는 방식으로([eqn: y]에 따른 [eqn: x]의 개수), 로그함수는 [eqn: x=k]에 따른 [eqn: y]의 개수를 세는 방식([eqn: x]에 따른 [eqn: y]의 개수)을 사용한다.

- 지수함수와 로그함수식을 미지수로 주고, 조건을 만족하는 지수함수의 밑과 로그함수의 밑을 구하는 꼴

1. 보통 이경우엔, 미지수의 범위와 조건을 주는 편이다.

2. 범위와 조건에 만족하는 가장 작은 순서쌍부터 4~5개를 집어넣어 보며, 규칙성을 찾아준다.

3. 규칙성에 맞는 일반식을 도출할 수 있다면 도출하고, 나머지는 대입을 한다.

20130630

20170429

20150330

20131130

20130930

20121130

20120930

2장 격자점 세기 답

86/16/427/573/79/39/392

3. 삼각함수의 덧셈정리와 합성

- 유도방법

[eqn: sin( alpha - beta),cos( alpha - beta),tan( alpha +- beta)]는 위의 두개를 활용

- 도형이 주어지고, [eqn: sin( alpha +- beta),cos( alpha +- beta),tan( alpha +- beta)]를 구하는 문제

1. 도형의 맞꼭지각, 엇각등을 이용하여 [eqn: alpha +- beta]를 직접 구하는 방법

2. [eqn: alpha, beta]에 대한 각각의 [eqn: sin,cos,tan]값을 구하고, 덧셈정리를 이용하는 방법

- [eqn: tan alphatanbeta=1] 이면, [eqn: alpha + beta= pi/2]

- 삼각함수의 합성

1. 보통 최댓값과 최솟값을 처리하는 수단으로 사용되는 경우가 많음

2. [eqn: sin^2 alpha, cos^2 alpha] 와 [eqn: sin2alpha, cos2alpha]가 섞여있을때 고려

- 원 밖의 한점에서 원에 그은 두직선과 중심에서 접점까지 이은 두 각이 직각인 사각형, 두 각이 직각인 사각형에서 많이 활용됨

20160326

20140429

20131019

20120426

20120328

3. 삼각함수 합성, 덧셈정리 답

20/120/2/70/136

4. 도형의 극한

- 사용되는 도형의 성질

1. 원에서 그은 접선이 있을때, 원의 중심에서 접점까지 이은 선분과, 접선은 직각인 점

2. 두 원이 외접할때, 두 원이 내접할때 점과 점사이의 거리와 반지름의 관계

3. 원의 지름을 포함하고, 원위의 한점을 포함한 삼각형이 직각삼각형인 점

4. 원의 중심을 한 점으로 하고, 원 위의 두 점을 포함한 삼각형이 이등변 삼각형인 점

5. 도형의 대칭성과 합동, 닮음

6. 원의 공통 할선

7. 피타고라스 정리

8. 원과 할선 사이에 내접하는 최대 넓이의 원

- 사용되는 공식

1. [eqn: sin]법칙 : [eqn: { sinalpha } over {A }= {sinbeta } over {B } ={singamma } over {C }]

2. 제 2 코사인법칙

3. 내각 이등분선 공식

4. pappus 정리

5. 원에 내접, 외접하는 삼각형의 길이 공식

- 식처리 하는 방법

1. 극한 값은, 곱하기 덩어리로 나눠서, 0이 되는것은 보류, 0이 아닌 다른 수로 극한값을 가지는것은 그 숫자로 고쳐준다

2. [eqn: sinx ,tanx] 는 [eqn: x]로, [eqn: 1-cosx]는 [eqn: x^2]로 나눠준다

3. 정리하기 까다로운 것은, 절대!!! 로피탈정리를 사용하지 말고, 미분계수의 정의를 사용한다.

20181117

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20170421

20160721

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20150320

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20131129

20130920

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2017사29

20191118

4. 도형의 극한 답

3/2/80/?/2/1/25/18/5/100/3/1/16/4/8/17/5/2

5. 미분계수의 정의

- [eqn: y=f(x)]에 대해서 서로 다른 두점 [eqn: P _{1} (x _{1,} f(x _{1}) ),P _{ 2}(x _{ 2,}f(x _{ 2}))]을 잡았을 때, 그때의 평균 기울기는, [eqn: { f(x _{ 2})-f(x _{ 1}) } over {x _{ 2}-x _{ 1} }]

이때 우리는 [eqn: 점 P_{ 2}]가 점[eqn: P_{ 1}]으로 한없이 가까워 질때, 평균 기울기를 생각해 볼 수 있는데, 한없이 가까워지면 결국 두 점사이의 평균 기울기는 점 [eqn: P_{ 1}]에서의 접선의 기울기와 같아 질 것이다. 우리는 이때 접선의 기울기를 점 [eqn: P_{ 1}]에서의 미분계수라고 하고, [eqn: f'(x _{ 1})] 으로 표현한다.

[eqn: lim _{ x _{ 2} ->x _{ 1} } { { f(x _{ 2})-f(x _{ 1}) } over {x _{ 2}-x _{ 1} }}=f'(x _{ 1})]

이를 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1) 두 점이 [eqn: (x, f(x)), (x+h,f(x+h))]이고, h가 0에 가까워지는 미분계수의 정의

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {(x+h)-(x)}} ={{f(x+h)-f(x)} over h}}=f'(x)]

2) 두 점이 [eqn: (x,f(x)),(a,f(a))]이고, x가 a에 가까워지는 미분계수의 정의

[eqn: lim _{ x-> a} { { f(x)-f(a)} over {x-a } }=f'(a)]

이런식으로 우리는 특정한 점에서의 미분계수를 구할 수 있다.

실전)

[eqn: lim _{x ->2 } { { f(x)-3} over {x-2 } }=4] [eqn: LRARROW] [eqn: f(2)=3, f'(2)=4]

- 미분계수의 정의는, 미적분의 기본정리와 같이 나올수 있다.

ex) [eqn: lim _{x -> 2} {{ int _{2} ^{x} {f(t)}dt} over {x-2}}]

이때, 우리는 [eqn: f(x)]의 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면

[eqn: int _{ 2} ^{ x} { f(t)dt=F(x)-F(2)}]임을 알 수 있다.

따라서, [eqn: lim _{x -> 2} {{ int _{2} ^{x} {f(t)}dt} over {x-2}} = lim _{x -> 2} {{F(x)-F(2)} over {x-2}} =F prime (2)=f(2)]

- [eqn: f(x+y)] 꼴이 나올때, 미분계수의 정의를 사용하자

- 초월함수의 극한 문제를 풀때, 복잡하다면, 미분계수의 정의를 사용할 수 있다.

20180621

20110623

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2017사21

2013사30

5. 함수의극한, 미분계수의 정의 답

4/19/4/4/18

6. 함수의 그래프 그리기(절편+ 대칭성+ 극값+ 점근선 + 변곡점)

미적분 2에서는 다항함수의 그래프 뿐만아니라, 초월함수의 그래프, 다항함수와 초월함수의 곱과 나눗셈으로 되어있는 그래프등, 다양한 그래프가 문제에서 제시된다. 따라서 우리는 각각 그래프를 그려보고, 그 그래프의 특징을 절편, 대칭성, 극값, 점근선, 변곡점의 관점에서 살펴 볼 필요가 있다.

우선, 우리가 고교과정에서 배우는, 다항함수와, 지수함수, 로그함수, 삼각함수를 각각 그려보자

① 3차함수의 종류 ( 최고차항의 계수가 양수임을 가정)

② 4차함수의 종류 ( 최고차항의 계수가 양수임을 가정)

③ 지수함수 중 [eqn: e^{ x}]

④ 로그함수 중 [eqn: lnx]

⑤ [eqn: sinx,cosx,tanx]

위의 5가지 함수들을 그릴수 있고, 특성까지 완벽하게 공부햇다면, 그 다음엔, 위 5가지 함수들을 곱해서 표현하는 함수들을 그려 볼 수 있다.

그래프를 그릴때, 우리는 일반적으로 다음과 같은 과정을 거쳐, 그래프를 그린다.

① [eqn: y=f(x)]의 정의역의 범위를 구한다.

② [eqn: y=f(x)]가 우함수인지, 기함수인지, 둘다 아닌지 판단한다.

만약 우함수라면 [eqn: x>0]인 부분을 그려주고, y축 대칭을 해주고, 기함수라면 [eqn: x>0]인 부분을 그려주고, 원점 대칭 시켜준다.

③ [eqn: y=f(x)]를 미분하여 도함수를 구하고, 증감의 변화가 생기는 곳을 찾아준다.

도함수의 부호가 (+)에서 (-)로 변할때, 우리는 [eqn: f'(x)=0]인 점을 극대라고 하고, 도함수의 부호가 (-)에서 (+)로 변할때, 우리는 [eqn: f'(x)=0]인 점을 극소라고 한다.

④ 극대인 점과 극소인 점을 함수값까지 구해, 표시해주고 증감에 맞춰 그래프를 그려준다.

⑤ 함수의 그래프의 극한 값을 구해, 그래프를 완성한다. 보통 [eqn: lim _{ x->inf} {f(x) }], [eqn: lim _{ x->-inf} {f(x) }]를 구해주고, 로그함수와, 유리함수 처럼, y축과 평행한 점근선을 가지는 경우에는, 점근선 [eqn: x=a]에 대하여, [eqn: lim _{ x->a+0 } {f(x) }] 혹은 [eqn: lim _{ x->a-0} {f(x) }]를 구해준다.

⑥ 보통 수능에서 대부분의 문제를 풀때 필요하지 않은 경우가 많지만, [eqn: f''(x)]의 부호변화를 통해, 변곡점을 찾아줄 수 있다.

[eqn: f''(x)<0이면] 위로볼록, [eqn: f''(x)>0이면] 아래로 볼록이다.

예제) 다음 그래프를 그리시오

① [eqn: f(x)= (x ^{ 2}+x+1)e ^{ x}]

② [eqn: f(x)= { lnx} over { x}]

③ [eqn: f(x)= 2x ^{ 2}+x+ { 1} over {x }]

④ [eqn: f(x)= x ^{ 2}e ^{ -x}]

⑤ [eqn: f(x)= (x ^{ 3}-2x ^{ 2})e ^{ -x}]

위의 다항함수와 초월함수의 곱으로 나타내어지는 함수를 그리는 것은 수리 가형을 준비하면서 기본이 되어야 한다.

또한, 수리 가형의 고난도 문제를 맞추기 위해서는, 함수를 나타내는 다양한 표현 방법들을 익혀야 하지만, 그전에 기본적으로 다음과 같은 개념이 머리에 확실하게 잡혀 있어야 한다.

① 극대와 극소이면, [eqn: f'(x)=0]가 항상 성립하는 것은 아니다. 극대는 증가하다가, 감소하는 터닝포인트를 의미하고, 이는 뾰족할 수 있다. 또한 극소는 감소하다가, 증가하는 터닝포인트를 의미하고 이 또한 뾰족할 수 있다. [eqn: LEFT | x RIGHT |,- LEFT | x RIGHT |]는 각각 극소와 극대를 가지지만, [eqn: f'(x)=0]은 아니다.

반대로 “ [eqn: f'(x)=0]이면 극대 혹은 극소이다“ 역시 성립하지 않는다.

극대와 극소를 판단할 수 있는 가장 확실한 방법은 [eqn: f'(x)]의 개형을 그려보고, (+)에서 (-)로 , 혹은 (-)에서 (+)로 부호의 변화가 있는지 확인하는 방법이다.

② 우리가 보통 함수를 그릴때, 구하는 도함수 [eqn: f'(x)]는 부호의 변화, 극대와 극소를 판단하기 위해 사용할 뿐이므로, 자세한 그림을 그릴 필요 없이, 그냥 (+)와 (-)의 판단만 해주면 된다.

따라서 [eqn: f(x)]를 그리는 상황에서, [eqn: f'(x)= (x ^{ 2}-3x+2)e ^{ -x}]가 나왔다면, 모든실수 x에 [eqn: e^{ -x}>0] 이므로, 도함수의 부호를 판단하는데, [eqn: (x ^{ 2}-3x+2)]만 사용하면 된다.

③ 이계도 미분을 하게 되는경우, [eqn: f''(x)=0]이라고, 꼭 변곡점은 아니다.

[eqn: f''(x)]의 부호를 판단했을때, (+)였다가 (-)가 되거나, (-)였다가 (+)가 될 때, [eqn: f''(x)=0]인 점을 변곡점으로 판단할 수 있다.

[eqn: f''(x)<0이면] 위로볼록, [eqn: f''(x)>0이면] 아래로 볼록이다.

위와 같은 사실을 항상 숙지하고 있는 후에, 우리는 문제 조건에 맞는 함수를 추론하고, 그리는 연습을 해야한다.

20170314

20160930

20150920

20140616

20140430

20120921

20120621

20110616

20110408

20100614

6. 함수그리기 답

1/15/3/3/34/3/5/5/3/5

7-1. 조건에 맞는 함수 추론

1. 다항함수를 추론함에 있어서 알아야 하는 것

- [eqn: f(a)=0 rarrow x-a]를 인수로 가지고 있다

- [eqn: f'(a)=0 rarrow( x-a)^2]를 인수로 가지고 있다

- [eqn: y=f(x)]가 [eqn: y=k]에 접한다 [eqn: rarrow] [eqn: f(x)-k = (x-a)^2 Q(x)] (단, [eqn: f(a)=k])

2. [eqn: y=f(x)] 의 조건을 해석하는 방법 (기출 복습)

- [eqn: f'(x) GEQ 0 LRARROW f(x)]는 증가한다 , [eqn: f'(x) LEQ0 LRARROW f(x)]는 감소한다.

- [eqn: f''(x) GEQ 0] [eqn: LRARROW] [eqn: a<b] 일때, [eqn: f'(a) LEQf'(b)] [eqn: LRARROW] [eqn: f(x)]는 아래로 볼록 혹은 직선

- [eqn: f''(x) LEQ 0] [eqn: LRARROW] [eqn: a<b] 일때, [eqn: f'(a) GEQ f'(b)] [eqn: LRARROW] [eqn: f(x)]는 위로 볼록 혹은 직선

- [eqn: f(-x)=f(x) rarrow f(x)]는 우함수, [eqn: f(-x)=-f(x) rarrowf(x)]는 기함수

- [eqn: f'(-x) =-f'(x) rarrowf(x)]는 우함수

- 주의!!! :  [eqn: f'(-x) =f'(x) rarrowf(x)]는 기함수가 아니다!!

- [eqn: f(x) = int _{ 0} ^{x } {sqrt 4-2f(t)}dt] [eqn: RARROW] [eqn: f(0) = 0, f'(x)=sqrt4-2f(x) , f(x) LEQ2, f'(x) GEQ0]

- [eqn: f(x)]의 이계도함수가 연속이다 [eqn: RARROW] [eqn: f'(x)]가 미분가능하다

3. 새로운 함수의 정의 (기출 복습)

- [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t, f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라고 한다. [eqn: RARROW] [eqn: y=f(x)]에 1사분면, 2사분면에 각각 [eqn: y=x, y=-x]를 긋고, [eqn: f(x) GEQx]이면 [eqn: y=f(x)]를, [eqn: f(x) LEQx]이면 [eqn: y= x]를 그리는 정의

- [eqn: g(x)= LEFT | f(x) RIGHT |-f(x)] [eqn: RARROW] [eqn: f(x) GEQ0] 이면 [eqn: g(x)=0] , [eqn: f(x) LEQ 0]이면 [eqn: g(x)= -2f(x)]

- [eqn: x>a] 인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여,

[eqn: (x-a)f(x)=g(x)] [eqn: RARROW] [eqn: f(x)= g(x) over x-a LRARROW f(x)]는 [eqn: (a,0) (x,g(x))] 사이의 기울기

- [eqn: g(t) = int _{ k} ^{k+8 } {f(x)cos(pix)dx }] (단, [eqn: f(x)]는 상수 [eqn: t]를 포함)

[eqn: RARROW] 상수 [eqn: t]를 변수처럼 취급하여 풀어주는 것

20181130

20180930

20180921

20180730

20180430

20171130

20170621

20170328

20161130

20150930

20150421

20140321

20131121

20111129

20100924

20100624

20190921

7-1. 조건에 맞는 함수 추론 답

21/6/2/125/49/216/1/24/35/127/1/4/5/3/13/12/5

7-2. 범위에 따라 변하는 함수

범위에 따라 변하는 함수들을 풀땐, 문제에서 물어보는 미분 계수의 [eqn: x]값, 적분 범위를 잘 체크해 주도록 하자

20160730

20160430

7-2 범위에 따라 변하는 함수 답

25/71

7-3. 절댓값이 포함된 함수

1. 수능에서 절댓값을 해석하는 방법

[eqn: g(x)= LEFT | f(x)-t RIGHT |]라고 주어졌다고 해보자.

[eqn: g(x)]는  [eqn: t-f(x)] [eqn: (f(x)-t <0 )]

[eqn: f(x)-t] [eqn: (f(x)-t >0 )] 을 나타내는데, 이는 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=t]를 그었을때,  [eqn: y=t]보다 아래부분에 위치한 [eqn: y=f(x)]부분을 [eqn: y=t]를 대칭으로 위로 올려준 함수를 의미한다.

즉 [eqn: g(x)= LEFT | f(x)-t RIGHT |]=0 일때의 근을 [eqn: x=a]라고 한다면, [eqn: g(x)의`x=a]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수는 크기는 같고, 부호가 반대가 된다.

따라서 [eqn: x=a에서`g(x)=0이고,`미분이`가능하다면,`g'(a)=0이다]

2. 절댓값이 포함된 그래프를 그릴때

- 최대한 값이 양수인 것들을 모두 절댓값 안쪽으로 넣어준다. (음수인 경우, -를 붙여서 같이 넣어준다)

- 절댓값 안쪽의 그래프를 그려준다

- 그래프의 [eqn: x]축 아래 부분을 [eqn: x]축에 대해서 대칭시켜 준다

- 절댓값이 다중으로 처리 된 경우, 차근차근 가장 안쪽의 절댓값부터 범위에 따라 나눠서 그려준다.

3. [eqn: LEFT | int _{ a} ^{x } {f(x) }dx RIGHT |] 와 [eqn: g(t)=` int _{a} ^{x} {} LEFT | f(x)-t RIGHT | dx]의 문제를 풀때

- [eqn: LEFT | int _{ a} ^{x } {f(x) }dx RIGHT |]는 절댓값을 먼저 풀어주고,

[eqn: h(x)= int _{a} ^{x} {} f(x)dx] 로 설정, [eqn: h prime (x)=f(x),`h(a)=0] 등을 이용하여 문제를 푸는 형태가 많다.

- [eqn: g(t)=` int _{a} ^{x} {} LEFT | f(x)-t RIGHT | dx]는 [eqn: y=f(x)]에 [eqn: y=t]를 긋고, [eqn: y=t]보다 아래 내려가있는 [eqn: y=f(x)]부분을 [eqn: y=t]에 대해 대칭시켜 준후, [eqn: (a,x)]에서 적분해 준 값을 정의한다

[eqn: t]에 적당한 상수를 하나하나씩 대입하여 값을 구해준다

20180330

20170930

20170730

20131119

20111124

2019사30

2019사21

7-3 절댓값이 포함된 함수 답

36/48/71/5/147/18/2

7-4. 대칭성, 주기성

1. 대칭성과 주기성을 나타내는 표현들 (의미하는 바를 옆에다가 써보자)

- [eqn: f(x)=f(-x)]

- [eqn: f(x)=-(f-x)]

- [eqn: f(x+a)=f(x)]

- [eqn: f(a-x)=f(x)]

- [eqn: f(a-x)+f(x)=b]

-[eqn: f(a+x)+f(a-x)=b]

- 어떤 정수 [eqn: a]에 대해서, [eqn: f(a+x)=2 ^{x`} `f(a)]

2. 점대칭과 관련된 함수들을 적분하는것은 편리하다.

- [eqn: f(a+x)+f(a-x)=b]는 [eqn: (a, {b} over {2} )] 대칭이므로, [eqn: a]로 부터 같은거리만큼 양옆으로 떨어진 적분구간에서의 적분은 사각형의 넓이를 구해주면 된다.

3. 삼각함수는 주기함수의 성질과 대칭성의 성질을 모두 가지고 있다.

탄젠트함수의 주기성을 이용한 문제를 예시로 풀어보자

20190920

20180630

20160630

20160328

20141029

20140729

2014사21

7-4 대칭성, 주기성 답

3/16/128/51/3/102/1

7-5. 역함수와 합성함수

1. 역함수의 조건: 일대일 대응이다 [eqn: LRARROW] [eqn: f'(x) GEQ 0```or``f'(x) LEQ 0]

2. 증가하는 함수([eqn: f(x)])와 그 역함수([eqn: g(x)])는

- 교점이 [eqn: y=x]에서만 생긴다.

- [eqn: f(f(a))=a`` LRARROW `f(a)=g(a)=a]

- [eqn: f'(x) LEQ `a`이면``,`g'(x)` GEQ ` {1} over {a}]

3. 일대일 대응 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=t]가 만나는 점의 교점을 [eqn: g(t)]라고 하면,

[eqn: (g(t),t)``는``,`y=f(x)`위의`점``` LRARROW ``f(g(t))=t``` LRARROW ``f``와``g는```역함수]

4. 역함수의 적분법

주어진 함수 [eqn: f(x)]와 그 역함수 [eqn: g(x)]에 대해서

[eqn: int _{} ^{} {g(x)`dx}]를 구할때는, [eqn: x=`f(t)]로 치환, 정리하여 푼다

5. [eqn: F(x)= int _{g(x)} ^{h(x)} {f(t)`dt}]를 적분하면, 속미분 부분이 생김을 잊지 말자

6. 합성함수에 관한 문제를 풀때, 직접 합성함수를 그리는 경우는 거의 없다. 그러나 직접 합성함수를 그려서, 정의역과 치역이 헷갈리는 것을 극복해 보자

7. 합성함수는 대부분 직접 그리는 것이 아닌, 특정 점, 구간에서의 미분가능성, 극대, 극소점 찾기 등이 출제 되는 편이다.

즉, 전체적인 합성함수를 고려하는 것이 아닌, [eqn: f(g(x))]를 [eqn: f(x)]라는 함수와, [eqn: g(x)]라는 정의역으로 구분해서 생각하는 연습을 하도록 하자.

예시문제 : 20190330

20190930

20181030

20181021

20180620

20180421

20170318

20161121

20160621

20151021

20130921

20121128

20191130

2018사30

7-5 역함수와 합성함수 정답

30/350/2/2/5/3/4/4/5/1/24/27/30

8. 접선의 방정식

“함수 위의 점에서의 접선”과 “함수 위에 있지 않은 점으로 부터 그은 접선” 두가지를 생각할 수 있다.

1. 함수 위의 점에서의 접선

[eqn: y=`f(x)] 위의 점 [eqn: P(x _{1} ,`f(x _{1} ))`에서의`접선]은 [eqn: y=f'(x _{1} )(x-x _{1} )+f(x _{1} )]

2. 함수 위에 있지 않은 점에서의 접선

[eqn: y=`f(x)]위에 있지 않은 점 [eqn: P(x _{1} ,y _{1} )]에서 [eqn: y=`f(x)]에 그은 접선의 방정식 구하기

① [eqn: y=`f(x)]위에 있는 임의의 점[eqn: (t,`f(t))]를 잡는다.

② 그때의 접선의 방정식 [eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)]를 구한다

③ 위의 접선의 방정식을 점 P가 지나므로, [eqn: x=x _{1} ,`y=y _{1}]을 대입해서 t에 대한 방정식을 풀어준다.

④ 구한 t를 [eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)] 에 대입해준다.

cf) 함수 위에 있지 않은 점에서의 접선에서의 해석

[eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)] 에 [eqn: x=x _{1} ,`y=y _{1}]을 대입했을때, 방정식을 만족하는 t의 갯수가 n개 라면, 점 P에서 [eqn: y=`f(x)]에 그을 수 있는 접선의 갯수가 n개 임을 의미한다.

3. 위에서 우리는 두가지 경우에서의 접선의 방정식을 구해 보았다. 쉬운 4점짜리 같은 경우는, 기껏해봤자 이 접선의 방정식의 [eqn: x절편,y절편]을 활용해서 푸는 문제들 뿐이니, 계산 실수 하지 않고, 꼼꼼히 풀도록 하자

4. 실수 전체에서 아래로 볼록인 함수에 대해서, 접선을 그으면, 그 접선은 함수보다 항상 위에 존재한다.

즉 모든 실수 t에 대해서 [eqn: f'(t)(x-t)+f(t) GEQ f(x)] 이면, [eqn: f''(x)<0]

반대로, 실수 전체에서 위로 볼록인 함수에 대해서, 접선을 그으면, 그 접선은 함수보다 항상 아래 존재한다.

즉, 모든 실수 t에 대해서 [eqn: f'(t)(x-t)+f(t) LEQ f(x)] 이면, [eqn: f''(x)>0]

5. 우리는 보통, 접선을 생각할때, 함수를 스치듯 지나가는 접선만을 생각하는 경향이 있다. 하지만, 예외적으로 함수를 뚫고 지나가는 접선도 존재한다. 예를 들면, 삼차함수의 변곡점에서의 접선은, 함수를 뚫고 지나가는 접선이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]와 직선 [eqn: g(x)]에 대해서 다음과 같이 새로운 함수 [eqn: h (x)]를 정의해 보자

[eqn: h(x)] = [eqn: f(x)]  ([eqn: f(x)<g(x)])

[eqn: g(x)]  ([eqn: f(x) GEQg(x)])

모든 실수에 대해서 [eqn: h(x)]가 미분가능하려면, [eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)]의 변곡점에서의 접선이면 된다.

20181121

20170330

20141130

20120330

20110318

2015사30

8. 접선의 방정식 답

4/90/72/32/3/9

9. 사이값 정리와, 평균값 정리

1. 사잇값 정리

함수[eqn: f(x)]가 구간 [a,b] 에서 연속이면 [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)] 사이의 임의의 값 [eqn: k]가 존재하면,

[eqn: f(c)=k]를 만족하는 점 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.

※ 사잇값 정리는 수능에서 보통 그릴수 없는( 그리기 복잡한) 함수 [eqn: f(x)]를 제시하고, [eqn: f(x)=k]을 만족하는 근의 존재여부를 물을때 자주 사용된다.

즉, 우리가 [eqn: f(x)]를 직접 그리지 못하더라도, [eqn: f(a)], [eqn: f(b)] 각각의 값을 구할수 있고, 그 값들 사이에 k가 존재하면, 우리는 [eqn: f(x)=k]를 만족하는 근이 (a,b)에 존재함을 알 수 있다는 것을 묻는 문제에 자주 사용된다.

2. 평균값 정리

평균변화율 [eqn: { f(b)-f(a)} over {b-a }]  와 같은 값의 순간변화율을 갖는 점 c 가 (a,b) 에 존재한다.

즉, [eqn: { f(b)-f(a)} over {b-a }=f'(c)]인 점 c 가 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다.

※ 평균값의 정리는 위의 공식이 직접적으로 사용되기 보단, 다음과 같은 내용이 사용된다.

① 서로 다른 두점을 직선으로 이은 기울기가 k일때, 이 두점을 지나는 곡선에서의 접선의 기울기는 k보다 작을수도, 클수도 있다.

② 따라서 두 점을 지나는 [eqn: f(x)]의 일부분에 대해서, [eqn: f'(x) LEQk ,] [eqn: f'(x) GEQk]로 주어진 경우, 보통 두 점을 지나는 [eqn: f(x)]는 직선이다.

20171120

20150630

20121118

20110929

9. 사잇값정리와 평균값정리 답

5/167/5/3

10. 미분가능성

미분이 가능하다는 것은, 특정한 점 [eqn: x=a]에 대해서 우 미분계수와, 좌 미분계수가 같고, 함수가 연속함을 의미한다.

만약 함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x=a]에 대해서 미분이 불가능 하다면, 그 함수는 연속이 아닌경우, 혹은, 연속이지만 좌 미분계수와 우 미분계수가 같은 경우가 아니다. 보통, 문제에서는 함수가 연속이지만, 좌 미분계수와 우 미분계수가 같지 않은 경우를 많이 준다.

예를 들어보자.

[eqn: f(x)= LEFT |x RIGHT |]

이 함수는 [eqn: x=0]에서 연속이지만, 우 미분계수가 1이고, 좌 미분계수가 -1 이므로 [eqn: x=0]에서 미분이 불가능하다.

기출문제의 패턴은 이러하다.

① 어떠한, 미분 불가능인 점이 존재하는 함수 [eqn: f(x)]를 준다.

② [eqn: f(x)g(x)], 혹은 ,[eqn: f(g(x)), g(f(x))]가 실수 전체에서 미분 가능하도록 하는 다항함수 [eqn: g(x)]를 제시한다.

③ [eqn: g(x)]를 구한다.

즉, 미분 불가능한 함수와 미분이 가능한 함수의 곱이나 합성인 함수가 실수 전체 범위에서 미분이 가능하도록 할때, [eqn: g(x)]를 구하는 것이다.

만약 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서만 미분이 가능하지 않고, [eqn: g(x)]는 다항함수라고 할때, 우리는 굳이 [eqn: f(x)g(x)],[eqn: f(g(x)), g(f(x))]의 [eqn: x=a]가 아닌 점에서의 미분 가능성을 판단 해 줄 필요가 없다.

즉, [eqn: x=a]에서 다음 함수들의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같다면, 우리는 실수 전체에서 미분이 가능하다고 볼 수 있는 것이다.

예를 들어, [eqn: f(x)= LEFT | x(x+2) RIGHT |]이고, [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 1인 이차함수라고 해보자.

[eqn: f(x)g(x)]는 실수 전체 범위에서 미분 가능하다고 할때, [eqn: g(x)]를 구해보자

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 불가능하다. 좌 미분계수와 우 미분계수가 다르기 때문이다.

[eqn: f(x)]의 [eqn: x=-2]에서의 좌 미분계수는 -2, 우 미분계수는 2 이고,  [eqn: x=0]  에서의 좌 미분계수는 -2, 우 미분계수는 +2 이다.

한편, [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 미분 가능하므로, 우리는 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 가능함을 보이면, [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체에서 미분 가능함을 알 수 있다.

[eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 가능하다는 것은, 이 함수의 [eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같다는 의미이고, [eqn: [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]이므로

우리는 이때, 다음과 같은 표를 그릴수 있다.

	[eqn: f(x)]	[eqn: g'(x)]	+	[eqn: f'(x)]	[eqn: g(x)]	답
0-	0	[eqn: g'(0)]		-2	[eqn: g(0)]	-2[eqn: g(0)]
0+	0	[eqn: g'(0)]		2	[eqn: g(0)]	2[eqn: g(0)]
2-	0	[eqn: g'(2)]		-2	[eqn: g(2)]	-2[eqn: g(2)]
2+	0	[eqn: g'(2)]		2	[eqn: g(2)]	2[eqn: g(2)]

여기서 0-, 0+, 2-, 2+는 함수의 [eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수를 의미한다.

[eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같으려면,

-2[eqn: g(0)]=2[eqn: g(0)], -2[eqn: g(2)]=2[eqn: g(2)]이므로, [eqn: g(0)]=[eqn: g(2)]=0 이다.

따라서 [eqn: g(x)=x(x-2)]이다.

정리하자면, 기출문제를 푸는 논리는 다음과 같다.

① [eqn: f(x)]가 어느점에서 미분이 불가능 한지 찾는다

② [eqn: f(x)g(x), f(g(x)),g(f(x))]를 미분한 것을 표와 같이 나타내고, 미분이 불가능한 점에서의 좌 미분계수 우 미분계수에서의 각각 성분의 값을 표시한다.

③ 좌 미분계수와 우 미분계수가 같음을 근거로 하여, [eqn: g(x)]를 그려낸다.

20190621

20170430

20151130

20130621

20130430

20111117

20101117

10. 미분가능성 답

4/50/39/2/37/1/3

11. 변화율

대부분의 변화율 문제는 두가지 패턴을 보인다.

- 원이 활용되는 문제

가장 먼저 확인해야 하는 것은, 주어진 조건이, 길이의 변화율인지, 각의 변화율인지를 확인하는 것이다.

매초 움직이는 변량이 길이인지, 각인지 확인한 후, [eqn: l=r theta] 공식을 사용하여 각을 t에 관련된 식으로 나타낸다.

그렇다면 점의 자취는 삼각함수에 관련된 식으로 나타낼수 있을 것이다.

- 원이 활용되지 않는 문제

그 외에, 점의 자취가 원을 지나지 않을땐, 직선의 방정식을 활용해 주거나, 길이를 각에 대에 표시하는 방법( 제 2코사인 법칙 등)을 사용해서 점의 자취와, 변화율을 구해 줄 수 있다.

cf) 사이클로이드의 자취를 구할땐, 원과, 평행이동을 이용하여 평면 벡터의 합으로 자취를 나타낸다.

20150430

20140726

20130421

20120430

20110320

20101030

20100730

11, 변화율 답

10/10/1/8/1/17/251

12. 미적분의 기본정리와 항등식, 부정적분, 구분구적법

1. 미적분의 기본정리: 부정적분과 정적분이 연관됨을 알려주는 정리.

[eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 할때, [eqn: int _{ a} ^{b } {f(x)dx=F(b)-F(a) }]

또한 [eqn: int _{a} ^{x} {f(x)dx=F(x)-F(a)}]........①

- 미적분의 기본정리는, 항등식을 다루는 식과 같이 활용되어 문제가 나오는 편이다.

[eqn: x]에 대한 항등식은 기본적으로 [eqn: x=a] 수치대입, 미분을 하므로서, 문제를 푸는데, 적분식이 포함된 항등식은, 그것을 미분하여 원 함수 [eqn: f(x)]를 구해줄 수 있어서 자주 출제되는 편이다.

- [eqn: F(x)= int _{0} ^{x} {tf(x-t)dt}] 같은 꼴은, 미분을 하기 전, [eqn: x-t=p]로 치환 해 주고,

[eqn: F(x)= int _{ 0} ^{x } {(x-p)f(p) }dp]로 바꿔 주고, [eqn: x]를 밖으로 빼주고, 미분해 주는 중요한 식이니 꼭 숙지 해두자

- 항등식을 수치 대입, 미분 까지 해봣는데 식이 부족하다면, 이계도 미분도 고려해 주자

2. 부정적분에 대하여

일반 [eqn: f(x)]에 관련된 곱의 미분, 몫의 미분 꼴을 외워두다가, 그것이 제시가 되면 부정적분을 바로 할 수 있도록 연습하자.

- [eqn: f(x)^2 f'(x) rarrow { 1} over { 3}f(x)^3 +C]

- [eqn: f(x)f'(x) rarrow { 1} over {2 }f(x)^2 +C]

- [eqn: { f(x)-xf'(x)} over {x^2 } rarrow [ { f(x)} over {x }]^2 +C]

- [eqn: -{ 1} over {x^2 }f( { 1} over {x }) rarrow f({1} overx ) +C]

- [eqn: x^2 f(x^3 ) rarrow 1 over3 f(x^3 ) +C]

3. 구분구적법

- 문제에서 주어진 조건을 이용하여, [eqn: S_{ k } =f(a+ bk overn )] 꼴을 만들어준다.

- [eqn: lim _{n ->inf} sum _{ k=1} ^{ n} {f(a+ bk over n ) }c over n] 구분구적법을 계산할때

[eqn: x_{ k } = a + bk over n]로 두면, [eqn: k=1,n -> INF] 일때 [eqn: x _{k} =a] , [eqn: k=n,`n` -> ` INF] 일때 [eqn: x` _{k`} =`a+b]

또한 [eqn: TRIANGLE x`=` {b} over {n} `] 이므로

[eqn: lim _{n ->inf} sum _{ k=1} ^{ n} {f(a+ bk over n ) }c over n] = [eqn: {c} over {b} int _{a} ^{a+b} {f(x)dx}]

20191121

20191116

20170630

20160316

20140627

20150428

20130619

20130429

12. 미적분의 기본정리와 항등식, 부정적분, 구분구적법 답

4/2/83/3/9/32/5/100

13. 치환적분법, 부분적분법

1. 미적분 2에서 적분하는 함수는, 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 있다.

원래 함수	적분 후 함수
[eqn: x ^{n}]	[eqn: { x ^{ n+1} } over {n+1 }+C]
[eqn: a ^{x}]	[eqn: { a ^{ x} } over {lna }+C]
[eqn: e^{ x}]	[eqn: e^{ x}+C]
[eqn: "ln"x]	[eqn: xlnx-x+C]
[eqn: sinx]	[eqn: -cosx+C]
[eqn: cosx]	[eqn: sinx+C]

2. 적분을 하는 방법은 2가지가 있다.

치환적분법과 부분적분법은 수리 가형에서 고난도 4점짜리로 나오는 경우가 많다. 따라서 어떨때 치환적분을 사용할지, 어떨때 부분적분을 사용할지 충분한 연습을 통해 짬에서 나오는 바이브를 익힐 필요가 있다.

각각을 하는 방법에 대해서 적어놓진 않겠다. 하는 방법을 모르고 있다면, 진지하게 수리 나형으로 돌리길 권장한다.

① 치환적분법

1) 유리함수에서, 분모의 차수- 분자의 차수= 1인경우

분모를 t로 치환시, 분자와 dx가 dt로 한번에 정리가 된다.

2) 삼각함수의 홀수 제곱이 주어진 경우

[eqn: cos ^{2k+1} x=cosx`cos ^{2k} x=cosx(1-sin ^{2} x) ^{k} `]임을 이용해, [eqn: sinx=t]로 치환시, [eqn: cosxdx=dt]가 되어 계산이 깔끔하게 정리가 된다.

3) 함수 [eqn: f(x),f'(x)]가 같이 주어진 경우

[eqn: f(x)=t`라면,`f'(x)dx=dt]이므로 계산이 깔끔하게 정리가 된다.

4) [eqn: int _{a} ^{x} {tf(x-t)dt}] 꼴일때

[eqn: x-t=k]로 치환시,  깔끔하게 정리가 된다.

② 부분적분법

두 함수 [eqn: f(x)와 g(x)]가 하나는, 미분을 하면 깔끔하게 정리가 되는 [eqn: lnx,]다항함수의 경우, 하나는 적분해도 차이가 별로 없는 함수 [eqn: e^{ x}, cosx,sinx]인 경우 [eqn: lnx,]다항함수를 미분, [eqn: e^{ x}, cosx,sinx]를 적분하여 준다.

3. 미적분의 기본정리가 활용된 항등식이, 치환적분 문제를 풀때 활용 되기도 한다.

ex) 20141121

20190630

20171121

20170921

20141121

20140930

13. 치환적분과 부분적분법 답

16/4/3/1/17

14. 부피계산

부피계산에 관련된 문제는 두가지 유형으로 출제된다.

1. 공간도형의 단면이, 일정한 모양을 가지고 있는경우

- [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축을 수직으로 자른 단면이 정사각형인 경우, 단면의 넓이인, [eqn: f(x)` ^{2}]을 범위만큼 적분

- [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축을 수직으로 자른 단면이 정삼각형인 경우, 단면의 넓이인, [eqn: {sqrt { 3} } over {2 } f(x)^2]을 범위만큼 적분

- [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축을 수직으로 자른 단면이 원인 경우, 단면의 넓이인, [eqn: pi f(x)^2]을 범위만큼 적분

2. 회전체의 부피

회전체는 기본적으로 무조건 원의 단면이 나온다.

[eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축으로 회전한 회전체의 부피는, 단면의 넓이인, [eqn: pi f(x)^2]을 범위만큼 적분한 값

20110730

20100724

2014사29

2012사21

14. 부피계산 답

32/53/259/4