우선, 문제 조건에서 다음 사실을 알 수 있다.

[eqn: x=a]일 때 [eqn: f _{2} (x)=f _{3} (x)]이고, [eqn: f _{2} '(a)=f _{3} '(a)=0] 이라는 사실을 알 수 있다.

[eqn: BECAUSE lim _{x rarrowa+} {{f _{2} (x)-f _{2} (a)} over {x-a}} = lim _{x rarrowa-} {{f _{2} (x)-f _{2} (a)} over {a-x}}] 만족하려면 좌/우 극한 모두 0

삼차함수의 계수가 -1이므로 그래프 [eqn: y=x]와 1번은 만날 수밖에 없고, 이때 문제 조건 중 (나) 에 의해, a점에서 극대 또는 극소, 아니면 둘 다를 가지는 a가 두 개 존재할 수도 있음을 알 수 있다.이는 적어도 한 점에서 만나는데, 그 점에서 다음 조건을 만족해야 하기 때문이다.

[eqn: f _{2} prime (a)=0=f prime (a)f prime (a)=0]

[eqn: f _{3}]도 마찬가지이다. 이를 바탕으로, 함수의 개형을 구성할 수 있다.

[eqn: a=f(a)]인 a의 경우 극값을 갖는다.

[eqn: f'(x)=-3(x-b)(x-a)]

위 식에 따라서, [eqn: f(x)]를 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: f(x)=-x ^{3} + {3} over {2} (a+b)x ^{2} -3abx+c][eqn: (a,a)]

[eqn: f(a)=a]에서,

[eqn: f(x)=-x ^{3} + {3} over {2} (a+b)x ^{2} -3abx+ {3a ^{2} b+2a-a ^{3}} over {2}]

케이스를 나누기 전에, 정말 핵심적이고 중요한 아이디어가 있다. [eqn: f(x)]가 위 조건을 만족하는 함수일 때, 임의의 실수 c에 대해서 [eqn: f(x-c)+c]의 경우를 살펴보자. 중요한 아이디어란,

이때 [eqn: f _{2} (x-c)+c]의 경우도 [eqn: f(f(x-c))+c]와 같이 표현된다는 것이다. 그리고 이는 모든[eqn: f _{k} (x)]에 대해 성립된다. 이것이 중요한 이유는 문제에서 요구한 값은 ‘최솟값’ 으로, 평행이동한 함수의 경우 문제에서 주어진 조건을 만족하는 데 아무런 문제가 되지 않기 때문이다. 즉. 위 값을 만족하는 함수 [eqn: f(x)]를 구했을 때, 그를 [eqn: y=x]위에 놓고 이동시킨 함수가 조건을 만족시킨다는 것을 의미한다. 이 사실을 염두에 두고 문제를 풀어야 한다. 이를 바탕으로 좀 더 일반화되어 간단한 형태로 함수를 쓸 수 있다는 것을 활용하여 문제를 풀어 보자.

위에서 확인했다시피, [eqn: (a,a)]를 지나므로, 이를 [eqn: (0,0)]으로 평행이동하여 생각해도 아무런 문제가 없다. a가 극대 또는 극소일 때로 나누어, 생각해 보면 다음과 같다.

가) a에서 극대일 때

이때의 함수식 형태(평행이동된 것)은 다음과 같다고 할 수 있다.

[eqn: -x ^{2} (x-b),`b<0]

따라서, 이때의 그래프 개형은 다음과 같다.

또한 이때 고려할 수 있는 것이, a외에 반드시 [eqn: y=x]와 한번 더 만난다는 것이다. 그에 따라, 극솟값의 x좌표를 a와 b에 대한 식으로 바꾼 후, 그 값을 [eqn: y=x] 그래프와 비교할 수 있다.

[eqn: f'(x)=-x(3x-2b)=0]이므로

[eqn: x= {2b} over {3}]이 된다.

이때 [eqn: f( {2b} over {3} )]의 범위에 따라 합성함수의 그래프를 그려야 한다. 중요한 것은, 극값의 x좌표의 범위 또는 좌표 그 자체를 구해야 한다는 것이다. [eqn: f _{2} (x)] 그래프가 나오면 쉽게 그 다음 것을 예측할 수 있고, 중요한 것은 경우의 수를 따지는 것이다. 우리가 찾는 것이 최대가 되는 경우임을 항상 명심해야 한다.

아주 크게 두 가지의 경우로 나눌 수 있다.

1) 원점이 유일한 교점인 경우

이 경우 간단한 과정을 통해서 다음과 같은 합성함수의 그래프를 얻을 수 있고, 그 과정에서 원하는 교점의 수 또한 얻을 수 있다.

그래프에서도 확인이 가능하지만, 대수적으로 보았을 때도 0의 값을 가지는 x=b와 x=a 에서는 합성함수들이 a의 값을 [eqn: f(x)]에 대입하는 경우가 되어 0이라는 극댓값을 가진다는 것을 생각할 수 있다. x=2b/3에서의 극소는 음의 값에서 한 번 궤도를 왕복하는 것으로 생기는 것으로 이해할 수 있으며, 이때의 값은 y=x와의 교점이 원점이 유일하므로 두 합성함수가 다를 수밖에 없다. 아예 다른, 양에서의 극솟값의 경우 음수 범위로 내려가며 x=2b/3의 값을 함수값으로 갖는 점에서 생긴 것으로, 이 경우 역시 마찬가지로 같은 값을 갖지 않는다. 고로, 이때 교점은 2개로, 문제 조건을 만족시키지 못한다.

2) 교점이 둘 또는 그 이상 있는 경우

교점이 하나 더 있는 경우에 대해서, 한 가지 생각을 할 수 있다. 최대화에 대한 아이디어가 그것이다.

만약, 극값을 가지는 a가 하나 더 존재한다면 앞의 경우에 비해 하나의 값이 더 생기는 것은 확실하므로, 이를 생각해 볼 수 있다.

즉, x=2b/3에서 극솟값을 가지는데, 이것이 [eqn: y=x]위에 있다면 최소한 3개의 a는 보장되는 셈이다.

이를 바탕으로 그를 만족하는 값을 찾으면, [eqn: b=- sqrt {{9} over {2}}]가 된다. 이를 바탕으로 하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

또한 이를 바탕으로 쉽게 합성함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 값이 위에서의 규칙과 같이 적용된다는 것을 상기시키면 x=b와 x=0 의 경우 0의 값을, x=2b/3 과 우측의 극소의 경우 [eqn: f( {2b} over {3} )]의 값을 가진다는 사실을 알 수 있다.(2b/3이 [eqn: y=x]를 지나므로) 즉, 4개의 극값에 대해서 [eqn: f _{2} (x)]와 [eqn: f _{3} (x)]가 모두 같은 값을 갖는 것이다. 극값이 4개이므로 최댓값이 되어 이보다는 더 클 수가 없으므로, 곧 최댓값이다.

또한 이때 극대와 극소를 모두 지나므로 더 이상 고려할 필요가 없다.

또한, 이와 다른 경우에 교점이 3개가 되는 경우를 따져 보면 두 합성함수의 그래프가 같은 x좌표에 대해 서로 위로/아래로 볼록이 다르며 교점은 극점이 아니라는 사실을 알 수 있다.

(이 부분은 너무 길어져 생략)

또한, 절댓값에 대해 만족한다고 하더라도

이 경우 해가 되는 a의 개수가 많아져 최솟값이 될 수 없다. 즉, 고려해볼 필요가 없다.

이때 4개의 극값들의 제곱의 합을 최소화시키기 위해서는 두 값이 각각 같으므로 두 개는 양의 값, 두 개는 음의 값을 가지게 해야 한다. b를 구했으므로 위에서 정리한 평행이동 방법에 따라 변곡점을 원점에 안착시키면 [eqn: sum _{i=1} ^{n} f(a _{i} ) ^{2} = sum _{i=1} ^{4} f(a _{i} ) ^{2} =4( {1} over {2} )=2] 가 되어 최솟값이 2임을 확인할 수 있다.