14학년도 5월 30번

Step 1) 평면 PQR과 평면 AQPO가 이루는 각의 크기를 구하는게 목표이므로, 우리는

1. 이면각을 직접 구하는 방법

2. 두 평면의 방정식을 구해서 법선벡터를 이용해 각을 구하는 방법

3. 정사영 넓이를 이용한 방법

3가지 중 한 방법으로 답을 구할 수 있음을 염두해 둔다.

Step 2)

[eqn: bar { AO}]는 평면 [eqn: beta]와 수직이므로, 점 A에서 평면 [eqn: alpha]로 내린 수선의 발을 H라고 할때, [eqn: ANGLEAOH= { pi} over {4 }] 이고, [eqn: bar { AO}]= [eqn: sqrt { 3}]

[eqn: bar { AO}] =[eqn: sqrt { 3}] 이므로, 원 [eqn: C_{ 1}]의 반지름은 1이다.

[eqn: ANGLEQAR= { pi} over {2 }] 이므로, [eqn: bar {AO }, bar { AQ}, bar { AR}]를 각각 점 A를 원점으로 하는, [eqn: x,y,z]축으로 하는 공간 좌표에 나타낼 수 있다.

즉 A(0,0,0), O([eqn: -sqrt { 3}],0,0), Q(0,-1,0), R(0,0,1) 이고, 조건 (나)에서 직선 OP와 직선 AQ는 서로 평행하고, OP의 길이가 2임을 고려해, 좌표상에 나타내면,

P( [eqn: -sqrt { 3}],-2, 0) 으로 나타 낼 수 있다.

Step 3)

Step 1) 의 각도를 구하는 방법중, 2 번 방법을 사용해서 구해볼수 잇으므로,

두 평면의 법선 벡터를 구한다.

평면 AQPO 의 법선벡터는 위 그림에서 (0,0,1) 이고, 평면 PQR은 P( [eqn: -sqrt { 3}],-2, 0), Q(0,-1,0), R(0,0,1) 을 지나는 평면이므로 평면의 방정식이 [eqn: x-sqrt3 y+sqrt3 z=sqrt3] 이므로, 법선 벡터는 (1,[eqn: sqrt3],[eqn: sqrt3]) 이 된다.

따라서 두 법선 벡터를 통해 [eqn: cos theta= { sqrt3} over {sqrt7 }] 이고 답은 10 이다.

19학년도 6월 29번

점 A(0,0) , B(5,0) 으로 설정할때,

[eqn: O_{ 1}: x ^{ 2}+y ^{ 2}=25, O _{ 2}=(x -5)^{ 2}+y ^{ 2}=25]

점 C는 [eqn: O_{ 1 }]위의 점이므로 [eqn: C(5costheta,5sintheta)]로 잡을 수 있고, [eqn: costheta= { 3} over {5 }] 이므로, C(3,4) 혹은 C(3,-4) 이다.

C의 y축 좌표에 따라 D의 좌표가 변할 것이고, 선분 CD는 그에 따라 대칭적인 모양이기 때문에, C(3,4)로 잡아도 일반성을 잃지 않기 때문에, C3,4)라 하자.

이때 D(x,y) 라고 하면, 조건 (나) 에 의해, [eqn: vec { AB} BULLET vec { CD}=(5,0) BULLET ( x-3,y-4)=30] 이므로, x=9

또한, D는 [eqn: O_{ 2}]위의 점이므로, D(9,3) 혹은 D(9,-3) 인데, 조건 (나) 의 CD의 길이가 9 보다 작다에 의해 D(9,3)

CD를 지름으로 하는 원의 중심을 M이라고 하면 M(6,[eqn: { 7} over {2 }]) 이고

[eqn: vec{PA} BULLET vec{PB} =( vec{PM} + vec{MA} ) BULLET ( vec{PM} + vec{MB} )=]

[eqn: LEFT | vec{PM} RIGHT | ^{2} + vec{PM} BULLET (vec MA + vec MB )+ vec MA BULLET vec MB]

이다.

PM의 길이는 CD를 지름으로 하는 원의 반지름 이므로 [eqn: { sqrt { 37} } over {2 }]이고,

[eqn: vec MA =(-6, { -7} over {2 }), vec MB =(-1, -7 over2 )]이므로

[eqn: LEFT | vec{PM} RIGHT | ^{2} + vec{PM} BULLET (vec MA + vec MB )+ vec MA BULLET vec MB]=

[eqn: 37 over4 + vecPM BULLET(-7 , -7) +6+ 49 over4]

이때 [eqn: vec PM]이 (-7,-7) 과 같은 방향이면 값이 최대이므로

[eqn: 37 over4 + vecPM BULLET(-7 , -7) +6+ 49 over4]

= [eqn: 55 over2 + sqrt37 over2 TIMES 7sqrt2 = 55 over2 + 7sqrt74 over 2]

답은 31

17학년도 9월 29번

직선 l 을 x축으로, 직선 DB를 y축으로 잡고, A의 수선의 발을 H라고 할때,

HB이의 이면각이므로 [eqn: ANGLE ACH = pi over 4] 이고, 삼각형 ACH는 직각 이등변 삼각형이다.

따라서 CH= AH

또한 직선 AB와 평면 [eqn: beta]가 이루는 각이 [eqn: pi over 6] 이므로 삼각형 AHB는 세 내각이 각각 [eqn: pi over6 , pi over3, pi over2]인 삼각형이다.

따라서 AB=2, HB=[eqn: sqrt3], AH=1 이므로

D(0,0,0) B(0,a,0) C(-b,0,0) H(-b,1,0) A(-b,1,1) 로 좌표를 잡을 수 있다.

(단 a,b > 0)

AD= [eqn: sqrt {b ^{2} +1+1 }= sqrt3]

AB= [eqn: sqrt { b^2 + (a-1)^2 + 1}=2]

이므로 [eqn: a= sqrt2 +1, b=1]

사면체 ABCD의 부피는

[eqn: BARAH TIMES BCD넓이 TIMES 1OVER3] 이므로

[eqn: 1 TIMES [ 1 OVER 2 TIMES 1 TIMES (SQRT2 + 1 ) ] TIMES 1 OVER3]

= [eqn: SQRT2 OVER6 + 1 OVER6]

답은 12

11학년도 9월 25번

평행한 두 직선 l, m 위의 점 A, C에 대해서, [eqn: BARCA BOT l 이면, BARCA BOT m 이다]

마찬가지로 [eqn: BAR BD BOT n 이다.]

직선 l을 평면에 내린 정사영을 직선 k라고 하고, A의 k로의 수선의 발을 X, B의 k로의 수선의 발을 Y 라고 할때,

각각 직선은 삼수선 정리에 의해

[eqn: BARXC BOT k,m / BARYC BOT k,n] 이다.

점 C에서 n에 내린 수선의 발을 H라고 하고

[eqn: LEFT |AX RIGHT |=LEFT |BY RIGHT |=a , LEFT | XC RIGHT |=b, LEFT | CH RIGHT |=c 라고 하자]

주어진 길이와 미지수를 피타고라스 정리로 표현하면

[eqn: a ^2 +b ^2 = 25, c ^2 + (2sqrt2 ) ^2 =3^2]

[eqn: a^2 + (b+c)^2 = 32]

따라서 [eqn: a=4 , b=3 , c=1] 이다.

X를 (0,0,0) , k,m,n이 포함된 평면을 xy 평면, k를 x축, [eqn: barXH]를 y축, [eqn: bar XA]를 z축으로 잡으면

A(0,0,4) C(0,3,0) D(-[eqn: 2SQRT2],4,0) 이 되고,

ACD의 평면의 방정식은

[eqn: SQRT2 x + 4y + 3z =12] 이다.

따라서, 두 평면이 이루는 각의 크기는, 두 평면의 법선벡터가 이루는 각의 크기 와 같고, 두 평면의 법선벡터는 각각

[eqn: (sqrt2 , 4,3), (0,0,1)] 이므로

[eqn: cos theta = { (sqrt2 , 4, 3) BULLET (0,0,1)} over { sqrt { (sqrt2 )^2 + 4^2 + 3^2} TIMES 1} = 1 OVER SQRT3]

따라서 [eqn: tan theta = sqrt2]

답은 30

14학년도 11월 19번

구 S가 x,y축과 각각 접한 다는 것은, 구 S가 xy 평면과 만나 잘리는 단면 (원)이 x축, y축과 접함을 의미한다.

즉 단면 원( A라 칭하자) 의 반지름을 a 라 하면, 단면의 중심은 (a,a,0) 이 되고, 단면 A의 넓이는 [eqn: 64 pi] 이므로, a=8 이다.

따라서 구의 중심을 (8,8,k)로 잡을 수 있다.

한편, 이 구 는 x축에 접하므로, 반지름은 [eqn: sqrt64+k^2]이 된다.

따라서 구의 방정식은

[eqn: (x-8)^2 + (y-8) ^2 +(z-k)^2 = 64+k ^2]

한편 이 구와 z축이 만나는 점을 구하려면, x=0, y=0을 대입 하면 되므로,

[eqn: (z-k)^2 = k^2 -64]

따라서 [eqn: z= k +- sqrt { k^2 -64]

이때, 두 점

[eqn: (0,0,k+ sqrt{k^2 -64 } ), (0,0, k - sqrt{k^2 -64} )]

사이의 거리가 8 이므로,

[eqn: 2 { sqrt { k^2 -64 } =8, k^2 =80]

따라서 구 S의 반지름은 [eqn: SQRT{ k^2 +64}= 12]

14학년도 11월 29번

PQ의 길이를 k, PQ와 y=4가 이루는 각이 [eqn: theta _{ 1}], PQ와 [eqn: y+sqrt3 z+8=0] 이 이루는 각을 [eqn: theta _2]라고 하면, 우리가 구하는 값은

[eqn: k^2 (1- cos^2 theta_1 ) + k^2 ( 1 - cos ^2 theta_2 )] 이고, 정리하면, [eqn: k^2 (2-cos^2 theta_1 - cos^2 theta _2 )] ....① 인데, 이 값은 k값이 커질수록 최대이다.

따라서 구 위의 두 점을 이은 PQ가 최대가 되려면, 이는 구의 중심을 지나야 하고, 우리는 P(-a,-b,-c), Q(a,b,c), [eqn: a^2 + b^ 2 + c^2 =4]

로 좌표를 잡을 수 있다.

PQ의 방향벡터는 (a,b,c) 이고 , y=4의 법선 벡터는 (0,1,0) 이므로

[eqn: sqrt{ a^2 + b^2 + c^2} sqrt1 sin theta_1 = (a,b,c)bullet(0,1,0)]

[eqn: sin theta_1= b over2 , cos ^2 theta_1 = 1-sin^2 theta_1 = 1- b^2 over4]

같은 방법으로, PQ의 방향벡터는 (a,b,c) 이고, [eqn: y+sqrt3 z+8=0] 의 방향 벡터는

[eqn: (0,1,sqrt3 )] 이므로

[eqn: sqrt{a^2 + b^2 + c^2} sqrt{ 0^2 + 1^2 + (sqrt3 )^2} sin theta_2]

= [eqn: (a,b,c)bullet(0,1,sqrt3 )] = [eqn: b+ sqrt3 c]

[eqn: sin theta_2 = {b+sqrt3 c } over4 , cos^2 theta_2 = 1- sin^2 theta_2 = 1-({b+sqrt3 c } over4 )^2]

① 식에 k, [eqn: cos ^2 theta_1 , cos^2 theta_2] 값을 집어 넣어 주고 정리하면,  [eqn: 5b^2 +2sqrt3 bc + 3c ^2]

즉, 우리는 [eqn: a^2 + b^2 + c^2 =4] 의 조건 하에,

[eqn: 5b^2 +2sqrt3 bc + 3c ^2] 의 최대값을 구해주면 된다.

[eqn: 5b^2 +2sqrt3 bc + 3c ^2]는 , b,c의 부호가 같고, b,c의 절댓값이 클수록 최대가 되므로,

우리는 a=0, bc > 0 으로 둘 수 있다.

즉, [eqn: b^2 +c^2 =4] , b,c의 부호는 같다

[eqn: 5b^2 +2sqrt3 bc + 3c ^2]= [eqn: (3b^2 + 3c^2 )+ 2b^2 + 2sqrt3 bc = 12 + 2b^2 + 2sqrt3 bc]

이때, b,c는 부호가 같으면 되므로, b,c가 둘다 양수인 경우를 가정해도 일반성을 해치지 않는다. 따라서,

[eqn: b= 2cost , c= 2sint (0<t<{pi over2})] 라 두고 정리하면, ( 연산하는 방법 알려주신 zhuny 님 감사합니다 ㅎㅎ)

12 + [eqn: 8 cos^2 t + 8 sqrt3 sintcost]

= [eqn: 12 + 8 times {(1 + cos2 t )} over 2 + 4 sqrt3 sin 2t]

= [eqn: 16 + 8 sin (2 t + pi over 6 )]

즉, [eqn: t= pi over6] 일때, 최댓값 24를 가진다.

17학년도 11월 29번

한변의 길이가 4인 정사면체의 좌표는 다음과 같이 잡을 수 있다. (파급효과 님의 기하와 벡터 좌표잡기 참고해주세요 !! 저도 쓰고 싶은데 시간이 없어서 죄송합니다 ㅠㅠ)

[eqn: A(2SQRT2, 2SQRT2 ,2SQRT2 ) , B(2SQRT2 , 0,0)]

[eqn: C(0,2SQRT2 , 0 ) , D(0,0, 2SQRT2 )]

이때 평면 BCD의 평면의 방정식은,

[eqn: x+y+z = 2SQRT2] 이고,

[eqn: O( {4SQRT2} OVER3 , {4SQRT2} OVER3 , {2SQRT2} OVER3 ) , P ({SQRT2},{SQRT2},{2SQRT2})]

이다.

정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q를 (a,b,c)로 잡으면

우선 Q(a,b,c)는 [eqn: x+y+z = 2SQRT2] 안의 점이고....① , [eqn: OQ BULLET OP =] 0... ② 이므로

①: a+b+c = [eqn: 2 sqrt {2}]

②:

[eqn: (a-{4sqrt2} over3 , b- {4sqrt2} over3 , c- {2sqrt2} over3 ) bullet ({-sqrt2} over3 ,{-sqrt2} over3 , {4sqrt2} over3 )]

= 0

[eqn: LRARROW] a+b-4c = 0

이때, ①, ②은 평면이고, 점Q는 두 평면의 교선, [eqn: a+b = {8sqrt2} over5 , c= {2 sqrt2} over2] 위의 자취이다.

즉 Q는 삼각형 BCD ( [eqn: x+y+z = 2SQRT2]) 안쪽의 , [eqn: x+y = {8sqrt2} over5 , z= {2 sqrt2} over2] 의 선분을 움직이고,

[eqn: P ({SQRT2},{SQRT2},{2SQRT2})] 이므로,

점 P에서 Q의 자취인 선분에 수선의 발을 내리면, 이 선분의 중심에 수선의 발이 내려오므로, PQ의 길이가 최대가 될때는,

Q가 선분의 양끝점 일때다.

[eqn: Q({8sqrt{2}} over 5 , 0, {2sqrt{2}} over 5 ) or Q(0, {8sqrt{2}} over 5 , {2sqrt{2}} over 5 )]

따라서 PQ의 길이의 최대값은

[eqn: sqrt {( {3 sqrt {2}} over {5} ) ^{2} + (SQRT2 ) ^2 + ({8sqrt{2}} over 5 )^2 } = SQRT{ 196 OVER25} = 14 OVER5]

답은 19

18학년도 11월 29번

(0,0,0) 에서 [eqn: x+2z-5 = 0]으로의 거리는 [eqn: sqrt 5] 이고, 수선의 발의 좌표는 (1,0,2) 이므로, 구와 [eqn: x+2z-5 = 0] 가 만나서 생기는 원 C의 중심은 (1,0,2) 이고, 반지름이 1이다.

이때, 원 C의 법선벡터는 (1,0,2) 이므로, C는 y축과 평행한 지름을 가지고 있다.

따라서 C위의 점중에서 y좌표가 최소가 되는 P는 (1,-1,2) , Q(1,-1,0) 이다.

[eqn: vec PX + vec QX = vec PM + VEC MX + VECQM + VEC MX]

= [eqn: (0,2,2) + 2VEC MX]

[eqn: vec K = (0,2,2)]라고 하면,

[eqn: VEC PX + VEC QX = VEC K + 2 VECMX] 이고,

[eqn: LEFT |VEC PX + VEC QX RIGHT |^2 = LEFT |VEC K + 2 VECMX RIGHT | ^2]

= [eqn: LEFT | VECK RIGHT |^2 + 4 LEFT | VEC MX RIGHT |^2 + 4 VECMX BULLET VEC K]

= 12 + [eqn: 4 VECMX BULLET VEC K]

즉 우리는 [eqn: 4 VECMX BULLET VEC K] 의 최대값을 구하면 문제의 답을 풀어낼 수 있다.

[eqn: VEC K]와 [eqn: VEC MX]가 내적이 최대이려면 ,

[eqn: VEC MX] 가, [eqn: VEC K]을 [eqn: x+2z-5 = 0] 위로의 정사영을 내린 벡터와 같은 방향이면 된다.

[eqn: VEC K]와 [eqn: x+2z-5 = 0] 가 이루는 각을 [eqn: theta]라고 하면,

[eqn: VEC K] 와 [eqn: x+2z-5 = 0] 의 법선벡터 (1,0,2) 에 대해서,

[eqn: LEFT | vecK RIGHT | sqrt { 1^2 + 0^2 + 2^2} sintheta = vec K BULLET (1,0,2)]

[eqn: LRARROW] [eqn: sqrt {0 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}} sqrt {1 ^{2} +0 ^{2} +2 ^{2}}][eqn: sintheta]

= [eqn: (0,2,2)` BULLET (1,0,2)]

[eqn: THEREFORE ` sintheta = 2 oversqrt10]

따라서

[eqn: VEC PX + VEC QX = VEC K + 2 VECMX] 이고,

[eqn: LEFT |VEC PX + VEC QX RIGHT |^2 = LEFT |VEC K + 2 VECMX RIGHT | ^2]

= [eqn: LEFT | VECK RIGHT |^2 + 4 LEFT | VEC MX RIGHT |^2 + 4 VECMX BULLET VEC K]

= 12 + [eqn: 4 VECMX BULLET VEC K]

= 12 + 4[eqn: LEFT | MX RIGHT | LEFT | K RIGHT |costheta]

= 12 + 4[eqn: times 1 times 2sqrt2 times sqrt6 over sqrt10]

= [eqn: 12+ {8sqrt30} over 5]

따라서 답은 136