1. 여러가지 함수의 미분법

주제: 1. 어떤 함수를 2. 어떻게 미분할 것이냐?

1. 미적분2 교과 과정에서 사용하는 함수는, 다항함수와 초월함수(지수함수, 로그함수, 삼각함수)가 존재한다.

각 함수를 미분했을때 다음과 같다.

원래 함수	미분 후 함수
[eqn: x ^{n}]	[eqn: nx ^{n-1}]
[eqn: a ^{x}]	[eqn: a ^{x} "ln"a]
[eqn: e^{ x}]	[eqn: e^{ x}]
[eqn: log _{ a}x]	[eqn: {1} over {x"ln"a}]
[eqn: "ln"x]	[eqn: { 1} over {x }]
[eqn: sinx]	[eqn: cosx]
[eqn: cosx]	[eqn: -sinx]
[eqn: tanx]	[eqn: sec ^{ 2}x]

2. 함수들을 다음과 같은 방법으로 미분한다

① 곱의 미분법

[eqn: f(x)g(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]

예제) 다음을 미분하시오

1. [eqn: x^{ 2}cosx]

2. [eqn: e^{ x}sinx]

3. [eqn: lnx sinx]

4. [eqn: x ^{2} e ^{ x} cosx]

② 몫의 미분법

[eqn: { f(x)} over {g(x) }= {f'(x)g(x)-f(x)g'(x) } over {{g(x)} ^{2 } }]

예제) 다음을 미분하시오

1. [eqn: tanx]

2. [eqn: { cosx} over {x ^{ 3} }]

3. [eqn: { lnx} over { x}]

③ 음함수의 미분법

변수 두개가 섞여서, [eqn: y=f(x)]로 표현하기 힘들때 사용한다. 보통 곱의 미분법과 합쳐서 나오는 편이다.

곱의 미분과 음함수의 미분법: [eqn: [f(x)g(y)]'=f'(x)g(y)+f(x)g'(y) { dy} over {dx }]

예제) 다음을 x에 대해 미분하시오.

1. [eqn: xy+x ^{ 2}]

2. [eqn: 3x ^{ 2}y+xe ^{ y}]

3. [eqn: cosy sinx+lnxy]

④ 합성함수의 미분법

[eqn: f(g(x))'=f'(g(x)) g'(x)]

예제) 다음 함수를 미분하시오

1. [eqn: cos(x ^{ 2})]

2. [eqn: x^{ 3} e^{ x ^{ 2}+2x }]

3. [eqn: int _{ 1} ^{x ^{ 2} } { sint}dt]

⑤ 역함수의 미분법

어떤 함수와 합성하였을때 항등함수 x가 되는 함수를 그 함수의 역함수라고 한다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]라고 할때, [eqn: f(g(x))=x]

[eqn: f(g(x))=x]

[eqn: LRARROW] [eqn: f'(g(x))g'(x)=1]

[eqn: LRARROW] [eqn: g'(x)= { 1} over {f'(g(x)) }]

⑥ 매개변수의 미분법

함수가 [eqn: y=f(x)] 형태로 [eqn: x, y] 에대한 함수로 나타낼 수 있지만, [eqn: x,y]가 새로운 변수 [eqn: t]에 대한 식으로 나타내 지는 경우도 있다. 이때 y를 x로 미분하는 방법은 다음과 같다.

[eqn: x= f(t), y=g(t)]라고 할때,

[eqn: { dy} over {dx }= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { { d g(t)} over {dt } } over { { df(t)} over {dt } }]

cf) 매개변수에 대한 이계도함수 구하기 문제가 출제 되기도 하므로 연습을 하도록 하자

예제. [eqn: x,y]가 다음과 같이 정의 될 때, 이계도 함수를 매개변수 t에 대하여 나타내라

[eqn: x= t ^{ 2}+2t]

[eqn: y=2e ^{ x}]

풀이.

step 1) 우선  [eqn: { dy} over {dx }= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { { d g(t)} over {dt } } over { { df(t)} over {dt } }] 을 이용하여 도함수를 구하자

[eqn: { dy} over {dx }= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { { d g(t)} over {dt } } over { { df(t)} over {dt } }= { 2e ^{ t} } over { 2t+2}]

step 2) 이계도 함수는 도함수를 한번더 미분한 것이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

매개변수의 이계도 함수 미분 식= [eqn: { { d( { dy} over { dx}) } over {dt } } over { { dx} over {dt } }]

따라서 위의 식과, [eqn: { dy} over {dx }]를 이용하여 답을 구해보면,

[eqn: { { d( { dy} over { dx}) } over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { { d ({2e ^{ t} } over { 2t+2} )} over {dt }} over { { dx} over { dt} }= { { 2e ^{ t}(2t+2)-2e ^{ t}(2) } over {(2t+2) ^{ 2} } } over { 2t+2}= {te ^{ t} } over {2(t+1) ^{ 3} }]

2. 도함수의 정의

(미분계수 구하는법, 미분가능성을 따지는 문제들)

우리는 챕터1 에서 신나게 어떤 함수를 어떻게 미분하는 것인지에 대해서 배웠다.

그러나 우리는 미분이 사실상 어떤 의미를 가질지에 대해서 알아봐야 할 필요성이 있다. 거기서 더 나아가, 어떤 함수가 미분이 가능한지, 아닌지도 알아 볼 필요가 있다.

1. 도함수의 정의와 미분 계수

우리는 어떤 함수에 대해서 서로 다른 두점을 잡을 수 있다.

[eqn: y=f(x)]에 대해서 서로 다른 두점 [eqn: P _{1} (x _{1,} f(x _{1}) ),P _{ 2}(x _{ 2,}f(x _{ 2}))]을 잡았을 때, 그때의 평균 기울기를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: { f(x _{ 2})-f(x _{ 1}) } over {x _{ 2}-x _{ 1} }]

이때 우리는 [eqn: 점 P_{ 2}]가 점[eqn: P_{ 1}]으로 한없이 가까워 질때, 평균 기울기를 생각해 볼 수 있는데, 한없이 가까워지면 결국 두 점사이의 평균 기울기는 점 [eqn: P_{ 1}]에서의 접선의 기울기와 같아 질 것이다. 우리는 이때 접선의 기울기를 점 [eqn: P_{ 1}]에서의 미분계수라고 하고, [eqn: f'(x _{ 1})] 으로 표현한다.

[eqn: lim _{ x _{ 2} ->x _{ 1} } { { f(x _{ 2})-f(x _{ 1}) } over {x _{ 2}-x _{ 1} }}=f'(x _{ 1})]

이를 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1) 두 점이 [eqn: (x, f(x)), (x+h,f(x+h))]이고, 두점이 가까워 진다는 것은 , h가 0에 가까워짐을 의미하는 미분계수의 정의

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {(x+h)-(x)}} ={{f(x+h)-f(x)} over h}}=f'(x)]

2) 두 점이 [eqn: (x,f(x)),(a,f(a))]이고, 두점이 가까워 진다는 것은, x가 a에 가까워짐을 의미하는 미분계수의 정의

[eqn: lim _{ x-> a} { { f(x)-f(a)} over {x-a } }=f'(a)]

이런식으로 우리는 특정한 점에서의 미분계수를 구할 수 있다.

실전 팁) 다음 문제를 예로 들어보자

[eqn: lim _{x ->2 } { { f(x)-3} over {x-2 } }=4]

이것은 2)에서의 미분계수의 정의와 같은 꼴이다.

따라서 이것을 통해, [eqn: f(2)=3, f'(2)=4]라는 조건을 바로 알 수 있다.

cf) 미분계수의 정의는, 미적분의 기본정리와 같이 나올수 있다.

디음과 같은 예를 보자

[eqn: lim _{x -> 2} {{ int _{2} ^{x} {f(t)}dt} over {x-2}}]

이때, 우리는 [eqn: f(x)]의 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면

[eqn: int _{ 2} ^{ x} { f(t)dt=F(x)-F(2)}]임을 알 수 있다.

따라서, [eqn: lim _{x -> 2} {{ int _{2} ^{x} {f(t)}dt} over {x-2}} = lim _{x -> 2} {{F(x)-F(2)} over {x-2}} =F prime (2)=f(2)] 임을 알 수 있다.

2. 미분 가능성에 대한 문제

미분이 가능하다는 것은, 특정한 점 [eqn: x=a]에 대해서 우 미분계수와, 좌 미분계수가 같고, 함수가 연속함을 의미한다.

만약 함수 [eqn: y=f(x)]에서 [eqn: x=a]에 대해서 미분이 불가능 하다면, 그 함수는 연속이 아닌경우, 혹은, 연속이지만 좌 미분계수와 우 미분계수가 같은 경우가 아니다. 보통, 문제에서는 함수가 연속이지만, 좌 미분계수와 우 미분계수가 같지 않은 경우를 많이 준다.

예를 들어보자.

[eqn: f(x)= LEFT |x RIGHT |]

이 함수는 [eqn: x=0]에서 연속이지만, 우 미분계수가 1이고, 좌 미분계수가 -1 이므로 [eqn: x=0]에서 미분이 불가능하다.

기출문제의 패턴은 이러하다.

① 어떠한, 미분 불가능인 점이 존재하는 함수 [eqn: f(x)]를 준다.

② [eqn: f(x)g(x)], 혹은 ,[eqn: f(g(x)), g(f(x))]가 실수 전체에서 미분 가능하도록 하는 다항함수 [eqn: g(x)]를 제시한다.

③ [eqn: g(x)]를 구한다.

즉, 미분 불가능한 함수와 미분이 가능한 함수의 곱이나 합성인 함수가 실수 전체 범위에서 미분이 가능하도록 할때, [eqn: g(x)]를 구하는 것이다.

만약 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서만 미분이 가능하지 않고, [eqn: g(x)]는 다항함수라고 할때, 우리는 굳이 [eqn: f(x)g(x)],[eqn: f(g(x)), g(f(x))]의 [eqn: x=a]가 아닌 점에서의 미분 가능성을 판단 해 줄 필요가 없다.

즉, [eqn: x=a]에서 다음 함수들의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같다면, 우리는 실수 전체에서 미분이 가능하다고 볼 수 있는 것이다.

예를 들어, [eqn: f(x)= LEFT | x(x+2) RIGHT |]이고, [eqn: g(x)]는 최고차항의 계수가 1인 이차함수라고 해보자.

[eqn: f(x)g(x)]는 실수 전체 범위에서 미분 가능하다고 할때, [eqn: g(x)]를 구해보자

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 불가능하다. 좌 미분계수와 우 미분계수가 다르기 때문이다.

[eqn: f(x)]의 [eqn: x=-2]에서의 좌 미분계수는 -2, 우 미분계수는 2 이고,  [eqn: x=0]  에서의 좌 미분계수는 -2, 우 미분계수는 +2 이다.

한편, [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 미분 가능하므로, 우리는 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 가능함을 보이면, [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체에서 미분 가능함을 알 수 있다.

[eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=0,x=-2]에서 미분이 가능하다는 것은, 이 함수의 [eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같다는 의미이고, [eqn: [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)]이므로

우리는 이때, 다음과 같은 표를 그릴수 있다.

	[eqn: f(x)]	[eqn: g'(x)]	+	[eqn: f'(x)]	[eqn: g(x)]	답
0-	0	[eqn: g'(0)]		-2	[eqn: g(0)]	-2[eqn: g(0)]
0+	0	[eqn: g'(0)]		2	[eqn: g(0)]	2[eqn: g(0)]
2-	0	[eqn: g'(2)]		-2	[eqn: g(2)]	-2[eqn: g(2)]
2+	0	[eqn: g'(2)]		2	[eqn: g(2)]	2[eqn: g(2)]

여기서 0-, 0+, 2-, 2+는 함수의 [eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수를 의미한다.

[eqn: x=0,x=-2]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수가 같으려면,

-2[eqn: g(0)]=2[eqn: g(0)], -2[eqn: g(2)]=2[eqn: g(2)]이므로, [eqn: g(0)]=[eqn: g(2)]=0 이다.

따라서 [eqn: g(x)=x(x-2)]이다.

정리하자면, 기출문제를 푸는 논리는 다음과 같다.

① [eqn: f(x)]가 어느점에서 미분이 불가능 한지 찾는다

② [eqn: f(x)g(x), f(g(x)),g(f(x))]를 미분한 것을 표와 같이 나타내고, 미분이 불가능한 점에서의 좌 미분계수 우 미분계수에서의 각각 성분의 값을 표시한다.

③ 좌 미분계수와 우 미분계수가 같음을 근거로 하여, [eqn: g(x)]를 그려낸다.

3. 수능에서 절댓값을 해석하는 방법

[eqn: g(x)= LEFT | f(x)-t RIGHT |]라고 주어졌다고 해보자.

[eqn: g(x)]는  [eqn: t-f(x)] [eqn: (f(x)-t <0 )]

[eqn: f(x)-t] [eqn: (f(x)-t >0 )] 을 나타내는데, 이는 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=t]를 그었을때,  [eqn: y=t]보다 아래부분에 위치한 [eqn: y=f(x)]부분을 [eqn: y=t]를 대칭으로 위로 올려준 함수를 의미한다.

즉 [eqn: g(x)= LEFT | f(x)-t RIGHT |]=0 일때의 근을 [eqn: x=a]라고 한다면, [eqn: g(x)의`x=a]에서의 좌 미분계수와 우 미분계수는 크기는 같고, 부호가 반대가 된다.

따라서 [eqn: x=a에서`g(x)=0이고,`미분이`가능하다면,`g'(a)=0이다]

3. 접선의 방정식

너무 당연하지만, 긴장하게 되면, 계산실수를 하기 쉬운것 또한, 접선의 방정식이다. 접선의 방정식은 “함수 위의 점에서의 접선”과 “함수 위에 있지 않은 점으로 부터 그은 접선” 두가지를 생각할 수 있다.

1. 함수 위의 점에서의 접선

[eqn: y=`f(x)] 위의 점 [eqn: P(x _{1} ,`f(x _{1} ))`에서의`접선]은 [eqn: y=f'(x _{1} )(x-x _{1} )+f(x _{1} )]

2. 함수 위에 있지 않은 점에서의 접선

[eqn: y=`f(x)]위에 있지 않은 점 [eqn: P(x _{1} ,y _{1} )]에서 [eqn: y=`f(x)]에 그은 접선의 방정식 구하기

① [eqn: y=`f(x)]위에 있는 임의의 점[eqn: (t,`f(t))]를 잡는다.

② 그때의 접선의 방정식 [eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)]를 구한다

③ 위의 접선의 방정식을 점 P가 지나므로, [eqn: x=x _{1} ,`y=y _{1}]을 대입해서 t에 대한 방정식을 풀어준다.

④ 구한 t를 [eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)] 에 대입해준다.

cf) 함수 위에 있지 않은 점에서의 접선에서의 해석

[eqn: y=f'(t)(x-t)+f(t)] 에 [eqn: x=x _{1} ,`y=y _{1}]을 대입했을때, 방정식을 만족하는 t의 갯수가 n개 라면, 점 P에서 [eqn: y=`f(x)]에 그을 수 있는 접선의 갯수가 n개 임을 의미한다.

3. 위에서 우리는 두가지 경우에서의 접선의 방정식을 구해 보았다. 쉬운 4점짜리 같은 경우는, 기껏해봤자 이 접선의 방정식의 [eqn: x절편,y절편]을 활용해서 푸는 문제들 뿐이니, 계산 실수 하지 않고, 꼼꼼히 풀도록 하자

4. 실수 전체에서 아래로 볼록인 함수에 대해서, 접선을 그으면, 그 접선은 함수보다 항상 위에 존재한다.

즉 모든 실수 t에 대해서 [eqn: f'(t)(x-t)+f(t) GEQ f(x)] 이면, [eqn: f''(x)<0]

반대로, 실수 전체에서 위로 볼록인 함수에 대해서, 접선을 그으면, 그 접선은 함수보다 항상 아래 존재한다.

즉, 모든 실수 t에 대해서 [eqn: f'(t)(x-t)+f(t) LEQ f(x)] 이면, [eqn: f''(x)>0]

5. 우리는 보통, 접선을 생각할때, 함수를 스치듯 지나가는 접선만을 생각하는 경향이 있다. 하지만, 예외적으로 함수를 뚫고 지나가는 접선도 존재한다. 예를 들면, 삼차함수의 변곡점에서의 접선은, 함수를 뚫고 지나가는 접선이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]와 직선 [eqn: g(x)]에 대해서 다음과 같이 새로운 함수 [eqn: h (x)]를 정의해 보자

[eqn: h(x)] = [eqn: f(x)]  ([eqn: f(x)<g(x)])

[eqn: g(x)]  ([eqn: f(x) GEQg(x)])

모든 실수에 대해서 [eqn: h(x)]가 미분가능하려면, [eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)]의 변곡점에서의 접선이면 된다.

4. 함수의 그래프 그리기 ( 절편+ 대칭성+ 극값+ 점근선 + 변곡점)

미적분 2에서는 다항함수의 그래프 뿐만아니라, 초월함수의 그래프, 다항함수와 초월함수의 곱과 나눗셈으로 되어있는 그래프등, 다양한 그래프가 문제에서 제시된다. 따라서 우리는 각각 그래프를 그려보고, 그 그래프의 특징을 절편, 대칭성, 극값, 점근선, 변곡점의 관점에서 살펴 볼 필요가 있다.

우선, 우리가 고교과정에서 배우는, 다항함수와, 지수함수, 로그함수, 삼각함수를 각각 그려보자

① 3차함수의 종류 ( 최고차항의 계수가 양수임을 가정)

② 4차함수의 종류 ( 최고차항의 계수가 양수임을 가정)

③ 지수함수 중 [eqn: e^{ x}]

④ 로그함수 중 [eqn: lnx]

⑤ [eqn: sinx,cosx,tanx]

위의 5가지 함수들을 그릴수 있고, 특성까지 완벽하게 공부햇다면, 그 다음엔, 위 5가지 함수들을 곱해서 표현하는 함수들을 그려 볼 수 있다.

그래프를 그릴때, 우리는 일반적으로 다음과 같은 과정을 거쳐, 그래프를 그린다.

① [eqn: y=f(x)]의 정의역의 범위를 구한다.

② [eqn: y=f(x)]가 우함수인지, 기함수인지, 둘다 아닌지 판단한다.

만약 우함수라면 [eqn: x>0]인 부분을 그려주고, y축 대칭을 해주고, 기함수라면 [eqn: x>0]인 부분을 그려주고, 원점 대칭 시켜준다.

③ [eqn: y=f(x)]를 미분하여 도함수를 구하고, 증감의 변화가 생기는 곳을 찾아준다.

도함수의 부호가 (+)에서 (-)로 변할때, 우리는 [eqn: f'(x)=0]인 점을 극대라고 하고, 도함수의 부호가 (-)에서 (+)로 변할때, 우리는 [eqn: f'(x)=0]인 점을 극소라고 한다.

④ 극대인 점과 극소인 점을 함수값까지 구해, 표시해주고 증감에 맞춰 그래프를 그려준다.

⑤ 함수의 그래프의 극한 값을 구해, 그래프를 완성한다. 보통 [eqn: lim _{ x->inf} {f(x) }], [eqn: lim _{ x->-inf} {f(x) }]를 구해주고, 로그함수와, 유리함수 처럼, y축과 평행한 점근선을 가지는 경우에는, 점근선 [eqn: x=a]에 대하여, [eqn: lim _{ x->a+0 } {f(x) }] 혹은 [eqn: lim _{ x->a-0} {f(x) }]를 구해준다.

⑥ 보통 수능에서 대부분의 문제를 풀때 필요하지 않은 경우가 많지만, [eqn: f''(x)]의 부호변화를 통해, 변곡점을 찾아줄 수 있다.

[eqn: f''(x)<0이면] 위로볼록, [eqn: f''(x)>0이면] 아래로 볼록이다.

예제) 다음 그래프를 그리시오

① [eqn: f(x)= (x ^{ 2}+x+1)e ^{ x}]

② [eqn: f(x)= { lnx} over { x}]

③ [eqn: f(x)= 2x ^{ 2}+x+ { 1} over {x }]

④ [eqn: f(x)= x ^{ 2}e ^{ -x}]

⑤ [eqn: f(x)= (x ^{ 3}-2x ^{ 2})e ^{ -x}]

위의 다항함수와 초월함수의 곱으로 나타내어지는 함수를 그리는 것은 수리 가형을 준비하면서 기본이 되어야 한다.

또한, 수리 가형의 고난도 문제를 맞추기 위해서는, 함수를 나타내는 다양한 표현 방법들을 익혀야 하지만, 그전에 기본적으로 다음과 같은 개념이 머리에 확실하게 잡혀 있어야 한다.

① 극대와 극소이면, [eqn: f'(x)=0]가 항상 성립하는 것은 아니다. 극대는 증가하다가, 감소하는 터닝포인트를 의미하고, 이는 뾰족할 수 있다. 또한 극소는 감소하다가, 증가하는 터닝포인트를 의미하고 이 또한 뾰족할 수 있다. [eqn: LEFT | x RIGHT |,- LEFT | x RIGHT |]는 각각 극소와 극대를 가지지만, [eqn: f'(x)=0]은 아니다.

반대로 “ [eqn: f'(x)=0]이면 극대 혹은 극소이다“ 역시 성립하지 않는다.

극대와 극소를 판단할 수 있는 가장 확실한 방법은 [eqn: f'(x)]의 개형을 그려보고, (+)에서 (-)로 , 혹은 (-)에서 (+)로 부호의 변화가 있는지 확인하는 방법이다.

② 우리가 보통 함수를 그릴때, 구하는 도함수 [eqn: f'(x)]는 부호의 변화, 극대와 극소를 판단하기 위해 사용할 뿐이므로, 자세한 그림을 그릴 필요 없이, 그냥 (+)와 (-)의 판단만 해주면 된다.

따라서 [eqn: f(x)]를 그리는 상황에서, [eqn: f'(x)= (x ^{ 2}-3x+2)e ^{ -x}]가 나왔다면, 모든실수 x에 [eqn: e^{ -x}>0] 이므로, 도함수의 부호를 판단하는데, [eqn: (x ^{ 2}-3x+2)]만 사용하면 된다.

③ 이계도 미분을 하게 되는경우, [eqn: f''(x)=0]이라고, 꼭 변곡점은 아니다.

[eqn: f''(x)]의 부호를 판단했을때, (+)였다가 (-)가 되거나, (-)였다가 (+)가 될 때, [eqn: f''(x)=0]인 점을 변곡점으로 판단할 수 있다.

[eqn: f''(x)<0이면] 위로볼록, [eqn: f''(x)>0이면] 아래로 볼록이다.

위와 같은 사실을 항상 숙지하고 있는 후에, 우리는 문제 조건에 맞는 함수를 추론하고, 그리는 연습을 해야한다.

5. 평균값의 정리, 사잇값 정리

1. 사잇값 정리

함수[eqn: f(x)]가 구간 [a,b] 에서 연속이면 [eqn: f(a)]와 [eqn: f(b)] 사이의 임의의 값 [eqn: k]가 존재하면,

[eqn: f(c)=k]를 만족하는 점 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.

※ 사잇값 정리는 수능에서 보통 그릴수 없는( 그리기 복잡한) 함수 [eqn: f(x)]를 제시하고, [eqn: f(x)=k]을 만족하는 근의 존재여부를 물을때 자주 사용된다.

즉, 우리가 [eqn: f(x)]를 직접 그리지 못하더라도, [eqn: f(a)], [eqn: f(b)] 각각의 값을 구할수 있고, 그 값들 사이에 k가 존재하면, 우리는 [eqn: f(x)=k]를 만족하는 근이 (a,b)에 존재함을 알 수 있다는 것을 묻는 문제에 자주 사용된다.

2. 평균값 정리

평균변화율 [eqn: { f(b)-f(a)} over {b-a }]  와 같은 값의 순간변화율을 갖는 점 c 가 (a,b) 에 존재한다.

즉, [eqn: { f(b)-f(a)} over {b-a }=f'(c)]인 점 c 가 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다.

※ 평균값의 정리는 위의 공식이 직접적으로 사용되기 보단, 다음과 같은 내용이 사용된다.

① 서로 다른 두점을 직선으로 이은 기울기가 k일때, 이 두점을 지나는 곡선에서의 접선의 기울기는 k보다 작을수도, 클수도 있다.

② 따라서 두 점을 지나는 [eqn: f(x)]의 일부분에 대해서, [eqn: f'(x) LEQk ,] [eqn: f'(x) GEQk]로 주어진 경우, 보통 두 점을 지나는 [eqn: f(x)]는 직선이다.

6. 여러가지 함수의 적분법

주제: 1. 어떤함수를 2. 어떻게 적분할 것이냐.

1. 미적분 2에서 적분하는 함수는, 다항함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수가 있다.

원래 함수	적분 후 함수
[eqn: x ^{n}]	[eqn: { x ^{ n+1} } over {n+1 }+C]
[eqn: a ^{x}]	[eqn: { a ^{ x} } over {lna }+C]
[eqn: e^{ x}]	[eqn: e^{ x}+C]
[eqn: "ln"x]	[eqn: xlnx-x+C]
[eqn: sinx]	[eqn: -cosx+C]
[eqn: cosx]	[eqn: sinx+C]

2. 적분을 하는 방법은 2가지가 있다.

치환적분법과 부분적분법은 수리 가형에서 고난도 4점짜리로 나오는 경우가 많다. 따라서 어떨때 치환적분을 사용할지, 어떨때 부분적분을 사용할지 충분한 연습을 통해 짬에서 나오는 바이브를 익힐 필요가 있다.

각각을 하는 방법에 대해서 적어놓진 않겠다. 하는 방법을 모르고 있다면, 진지하게 수리 나형으로 돌리길 권장한다.

① 치환적분법

1) 유리함수에서, 분모의 차수- 분자의 차수= 1인경우

분모를 t로 치환시, 분자와 dx가 dt로 한번에 정리가 된다.

2) 삼각함수의 홀수 제곱이 주어진 경우

[eqn: cos ^{2k+1} x=cosx`cos ^{2k} x=cosx(1-sin ^{2} x) ^{k} `]임을 이용해, [eqn: sinx=t]로 치환시, [eqn: cosxdx=dt]가 되어 계산이 깔끔하게 정리가 된다.

3) 함수 [eqn: f(x),f'(x)]가 같이 주어진 경우

[eqn: f(x)=t`라면,`f'(x)dx=dt]이므로 계산이 깔끔하게 정리가 된다.

4) [eqn: int _{a} ^{x} {tf(x-t)dt}] 꼴일때

[eqn: x-t=k]로 치환시,  깔끔하게 정리가 된다.

② 부분적분법

두 함수 [eqn: f(x)와 g(x)]가 하나는, 미분을 하면 깔끔하게 정리가 되는 [eqn: lnx,]다항함수의 경우, 하나는 적분해도 차이가 별로 없는 함수 [eqn: e^{ x}, cosx,sinx]인 경우 [eqn: lnx,]다항함수를 미분, [eqn: e^{ x}, cosx,sinx]를 적분하여 준다.

7. 부정적분과 정적분, 미적분의 기본정리

1. 부정적분: 미분의 역연산을 의미한다.

2. 정적분: 곡선 아래의 넓이를, 축을 기준으로 무수히 많은 사각형 조각으로 쪼개서, 구하는 구분구적법에서 시작된 개념으로, 무한을 사용하여 정의한다.

[eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n }f(a+ { b} over {n }k) { c} over {n } }= { c} over {b } int _{ a} ^{ a+b} {f(x) }dx]

3. 미적분의 기본정리: 부정적분과 정적분이 연관됨을 알려주는 정리. 증명은 각자 찾아보기

[eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 할때, [eqn: int _{ a} ^{b } {f(x)dx=F(b)-F(a) }]

8. 특강) 합성함수 + 역함수 + 매개변수 함수