수학 영역

미분-그래프의 활용

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수학 영역

미분-그래프의 활용

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미분-그래프의 활용편 (평가원&교육청 기출 모음)

사각형 모양의 철판 세 장을 구입하여, 두 장은 원 모양으로 오려 아랫면과 윗면으로, 나머지 한 장은 몸통으로 하여 오른쪽 그림과 같은 원기둥 모양의 보일러를 제작하려 한다.
철판은 사각형의 가로와 세로의 길이를 임의로 정해서 구입할 수 있고, 철판의 가격은 [eqn: rm 1m^2]당 [eqn: 1]만원이다. 보일러의 부피가 [eqn: rm 64m^3]가 되도록 만들기 위해 필요한 철판을 구입하는데 드는 최소 비용은?

④

그림과 같이 원기둥의 밑면의 반지름을 [eqn: x`,] 높이를 [eqn: y `]로 놓으면 부피 [eqn: V = pi x^2 `y `][eqn: =64]

철판의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S = (2x)^2 ×2 + 2pi ` x`y ``][eqn: = 8x^2 + 2x ․ pi ` y `]

[eqn: = 8x^2 + 2x ․ 64 over {x^2 }][eqn: = 8 x^2 + 128 over x `]

이것을 [eqn: S(x)]로 놓으면

[eqn: S`'(x) = 16x - 128 over {x^2 }][eqn: = {16x^3 - 128} over x^2][eqn: = {16(x^3 - 8)} over x^2 `]

[eqn: = {16(x-2)(x^2 + 2x +4 )} over x^2]

[eqn: x=2]에서 극소이면서 최소이다.

[eqn: S(x)]의 최솟값은

[eqn: S(2) = 8 × 4 + 128 over 2][eqn: = 32 + 64][eqn: =96]

[eqn: THEREFORE ```96]만원

[2점][1995학년도 수능 가30]

①　[eqn: 110]만원	②　[eqn: 104]만원	③　[eqn: 100]만원

④　[eqn: 96]만원	⑤　[eqn: 90]만원

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f`(x )]에 대하여 점 [eqn: rm A(ita,```f`(a))]를 곡선 [eqn: y=f`(x)]의 변곡점이라 하고, 곡선
[eqn: y=f`(x)] 위의 점 [eqn: \A]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y= g`(x )]라 하자. 직선 [eqn: y=g`(x )]가 함수 [eqn: f`(x )]의 그래프와 점 [eqn: rm B(itb,``f`(b))]에서 접할 때, 함수 [eqn: h (x )]를 [eqn: h (x ) = f`(x ) - g`(x )]라 하자.
<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a ≠b`]이다.)

⑤

[eqn: y = g`(x`)]가 [eqn: f`(x`)]의 점 [eqn: (a,```f`(a))]에서의 접선이므로

[eqn: g`(x`) = f`' (a) `(x-a)+ f`(a)]

또, [eqn: g`(x`)]가 점 [eqn: B`(b,```f`(b))]에서 [eqn: f`(x`)]에 접하므로

[eqn: f`'(a`) = g`' (b) = f`'(b)]

[eqn: h`(x`) = f`(x`) -g`(x`)]에서 [eqn: h' (x`) = f`'(x`) - g`'(x`)]

ㄱ. [eqn: h' (b) = f`' (b) - g`' (b) =0]

ㄴ. [eqn: h`(a) = h`(b) =0]이고 [eqn: h`(x)]가 미분가능하므로 롤의 정리에 의하여, [eqn: h`'(c) =0]인 [eqn: c]가 개구간 [eqn: (a,```b)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: THEREFORE ~ h`' (a) = h`' (b ) = h`' (c ) =0]이므로

[eqn: h`' (x) =0]은 적어도 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: h`̋ (x) = f``̋ (x)]이고, [eqn: h`̋ (a) = f ``̋ (a) =0]이다.

또한, 점 [eqn: (a,```f`(a))]는 [eqn: y = f`(x)]의 변곡점이므로

[eqn: f``̋ (x)]는 [eqn: x=a]의 좌우에서 부호가 반대이다.

따라서, [eqn: h`̋ (x)]도 같으므로

[eqn: (a,```h(a))]는 [eqn: h`(x)]의 변곡점이다.

[4점][2007학년도 수능 가29]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: h'(b)=0] ㄴ. 방정식 [eqn: h'(x) = 0]은 [eqn: 3]개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 [eqn: (a,```h(a))]는 곡선 [eqn: y=h(x)]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y` = "``16"_` over "`x`"]의 그래프와 함수 [eqn: y` = -x^2 +a`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

④

서로 다른 두 점에서 만나려면 [eqn: x`>`0`]인 범위에서 두 그래프가 접할 때이다.

[eqn: f`(x`)`=`16over x ,] [eqn: g`(x`)`=`-x^2 `+`a`]라 하고 접점의 좌표를 [eqn: alpha `]라 하면

[eqn: f`(alpha `)`=`g`(alpha `)]에서 [eqn: 16over alpha `=`-alpha ^2 `+`alpha `~cdots~①]

[eqn: f``'`(x`)`=`- 16over x^2 ,] [eqn: g``'`(x`)`=`-2x`]이므로

[eqn: f``'`(alpha `)`=`g``'`(alpha `)]에서 [eqn: - 16over alpha^2 `=`-2`alpha `~cdots~②]

②에서 [eqn: alpha `=`2`]

①에 [eqn: alpha `=`2`]를 대입하면

[eqn: 8`=`-4`+`a`]이므로 [eqn: a`=`12]

[3점][2004학년도 수능 가21]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

아래 그림은 [eqn: 5`]차 다항함수 [eqn: f``(`x`)`]의 도함수 [eqn: f``prime (`x`)`]의 그래프이다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?
(단,[eqn: f``prime (4) `=` 0`]이고 [eqn: f '' (1)=f '' (4)=f '' (6)=0`]이다.)

⑤

[eqn: y=f``'(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: α,1,β`]라 놓으면

ㄱ. [eqn: x=α`]에서 극소, [eqn: x=β`]에서 극대이지만 [eqn: x=1`]에서는 극대 또는 극소는 아니다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 4＜x＜6`]에서 [eqn: f``''(x)＞0`]이므로 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 아래로 볼록하다.

따라서 [eqn: f``left( {x_1 +x_2}over2 right) ＜ {f(x_1 )+f(x_2 )}over2`] (참)

ㄷ. [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: y=f(x)`]와 직선[eqn: y=a`]가 서로 다른 두 점에서 만나면

[eqn: f(x)`]의 극대값은 [eqn: a`]이다.   (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2005년 9월 가29]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f``(`x`)`]는 서로 다른 세 점에서 극값을 갖는다. ㄴ. [eqn: 4``＜` `x_1 `＜``x_2 `＜`6]인 [eqn: x_1 ,``` x_2 `]에 대하여 [eqn: f ``left({x_1 + x_2 } over 2 right) `＜` {f``(`x_1 `) + f``(`x_2 `)} over 2]이다. ㄷ. [eqn: f``(`0`)=0``]일 때, 양의 실수 [eqn: a``]에 대하여 [eqn: y`=f``(`x`)`]의 그래프와 [eqn: y`=a`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나면 [eqn: f``(`x`)`]의 극댓값은 [eqn: a``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

아래 그림은 밑면 [eqn: \PQRS]가 정사각형인 사각기둥에 대한 전개도이다. 옆면의 대각선의 길이가 [eqn: 4]일 때, 사각기둥의 부피가 최대가 되게 하는 밑면의 한 변의 길이는?

⑤

[eqn: BAR{\PS}`=x],

(기둥높이)[eqn: =sqrt { 16-x ^{ 2} }],

사각기둥의 부피 [eqn: V(x)=x^{ 2} sqrt { 16-x ^{ 2} }]이다.

미분하면

[eqn: V``'(x)][eqn: =] [eqn: 2x sqrt { 16-x ^{ 2} }+x ^{ 2} { -x} over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }]

[eqn: = { 2x(16-x ^{ 2}) -x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }][eqn: ={32x-3x ^{ 3} } over { sqrt { 16-x ^{ 2} } }]

[eqn: {\V}`'(x)=0]의 해는 부피를 최대로 만든다.

∴  [eqn: x=][eqn: {4 sqrt { 6} } over { 3 }]

[4점][2007년 대전10월 가28]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: { sqrt { 3}} over {2 }]	③  [eqn: 1]	④ [eqn: { 2sqrt { 6}} over {3 }]	⑤ [eqn: {4 sqrt { 6} } over { 3 }]

두 다항함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)=-f(x)], [eqn: g(-x)=g(x)]를 만족하고
[eqn: h(x)=f(x)+xg(x)]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: h(x)=f(x)+xg(x)] 에서

[eqn: h(-x)=f(-x)-xg(-x)``=`-f(x)-xg(x)]

[eqn: =`-(f(x)+xg(x))```=`-h(x)]

ㄱ. [eqn: h(x)]는 원점 대칭이므로 [eqn: h(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: h(-x)=-h(x)]을 미분하면

[eqn: -h {prime } (-x)=-h {prime } (x)]

[eqn: h {prime } (-x)=h {prime } (x)] (참)

ㄷ. [eqn: h {prime prime } (-x)=-h {prime prime } (x)] 이므로 [eqn: h {prime prime } (x)]는 원점대칭, [eqn: h {prime prime } (x)]가 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 1]을 가지면 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가진다.

따라서 [eqn: h {prime prime } (x)-x=0]는 적어도 [eqn: 3]개의 실근을 가진다. (참)

[3점][2008년 7월 가28]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: h(0)=0] ㄴ. [eqn: h {prime } (-x)=h {prime } (x)] ㄷ. [eqn: h(x)`]의 이계도함수 [eqn: h {prime prime } (x)]가 [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: 1`]을 가질 때, 방정식 [eqn: h {prime prime } (x) -x=0`]의 실근은 적어도 3개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)``=`2], [eqn: f` prime (1)``=`3]

(나) [eqn: lim _{x -> 1} {} {f`` prime (f(x))-1} over {x-1} ``=`3]

[eqn: f` '' (2)]의 값은?

①

[eqn: f` prime (f(1))=1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} {f`` prime (f(x))-1} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {} LEFT { {f` prime (f(x))-f` prime (f(1))} over {f(x)-f(1)} CDOT {f(x)-f(1)} over {x-1} RIGHT }]

[eqn: =f` '' (f(1))f` prime (1)=f` '' (2)cdot3=3]

∴ [eqn: f` '' (2)=]1

[3점][2008년 10월 가27]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
부등식 [eqn: 3x ^{4} -8x ^{3} -6x ^{2} +24x >= k`-2`sin {pi } over {2} x`]가 성립할 때,
상수 [eqn: k]의 최댓값은?

③

[출제의도] 미분을 이용한 부등식의 수학내적 문제해결하기

[eqn: f(x)`=`3x ^{4} -8x ^{3} -6x ^{2} +24x]

[eqn: g(x)= k`-2`sin {pi } over {2} x]

[eqn: f'(x)=12(x-2)(x-1)(x+1)]이므로

[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x=-1]일 때, [eqn: -19]

[eqn: k-2<= k`-2`sin {pi } over {2} x<=k+2]이므로

[eqn: g(-1)=k+2]는 [eqn: g(x)]의 최댓값이다.

따라서 [eqn: k+2 <= -19]이므로 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -21]

[3점][2009년 7월 가08]

① [eqn: -23]	② [eqn: -22]	③ [eqn: -21]	④ [eqn: -20]	⑤ [eqn: -19]

실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x`)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y``]에 대하여

[eqn: f`(`x+y`)=f`(`x`)f`(`y`)+4f`(`x`)+4f`(`y`)+12]

(나) [eqn: f`(`ln2`)=0``], [eqn: f`` prime (`0`)=2``]

이때, [eqn: f`` prime (`ln2`)`]의 값을 구하시오.

8

[eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x)f(0)+4f(x)+4f(0)+12]

[eqn: LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(0)+3 RIGHT } =0]

[eqn: f(0)=-3]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+4f(x)+4f(h)+12-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+3f(x)+4f(h)+12} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(h)+3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: ={LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{ f(h)+3 } over {h}} }]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } f`'(0)]

[eqn: =2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f`'(ln2)= 2left{ f(ln2) +4 right} =8]

[다른 풀이]

(가)에서 양변에 [eqn: 4]를 더하여 인수분해하면

[eqn: f(x+y)+4= LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(y)+4 RIGHT }]

[eqn: f(x)+4=g(x)]라 하면

[eqn: g(x+y)=g(x)g(y)]  …㉠

㉠에서 [eqn: y=0]이라 하면

[eqn: g(x)=g(x)g(0)]

[eqn: g(x) LEFT { 1-g(0) RIGHT } =0]

[eqn: g(0)=1]

[eqn: f`'(x)=g'(x)]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(x+h)-g(x)} over {h}}][eqn: = lim _{h-> 0} {{g(x)g(h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: =g(x)` lim _{h -> 0} {{g(h)-1} over {h}}][eqn: =g(x)`` lim _{h -> 0} {{g(h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: =g(x)``g` prime (0)] [eqn: (` BECAUSE `g` prime (0)=f` prime (0)=2)]

[eqn: =2g(x)=2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

따라서

[eqn: f prime (ln2)=2 LEFT { f(ln2)+4 RIGHT }][eqn: =2times4][eqn: =8]

[3점][2011년 3월 가26]

그림과 같이 좌표평면에서 최고차항의 계수가 양수이고 원점을 지나는 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점을 [eqn: rm A(`it a,~ f(a)`)`]라 하고 원점을 지나는 직선 [eqn: y=g(x)`]가 점 [eqn: rm B(`it b,~f(b)`)`]에서 곡선 [eqn: y=f(x)`]에 접할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단,  [eqn: 0<a<b`])

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx```(p>0)]라 하고
[eqn: g(x)=mx][eqn: (m != 0)]라 하자.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - {q} over {3p}]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a]이다. (참)

ㄴ. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)-g(x)]의 그래프는 원점을 지나고 [eqn: x=b]에서 [eqn: x]축에 접하므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =px(x-b) ^{2}]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: {b} over {3}]

[eqn: y=f(x)-g(x)]

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } { prime } =p(x-b)(3x-b)]이므로

함수 [eqn: f(x)-g(x)]는 [eqn: x= {b} over {3}]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: h(x)=f(x)-g(x)= px(x-b)^2]
이라 하면 ㄱ 에서 [eqn: h prime prime(a) =0]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= 2b over 3]이므로 [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2011년 4월 가19]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rm A]

		보 기
ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)-g(x)`]의 변곡점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: a`]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)-g(x)`]는 [eqn: x= {b} over {3}`]에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: {b-a} over {a} `= {1} over {2}]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: x`]에 대한 [eqn: 3]차 방정식 [eqn: x^3 -3x = t-2]의 실수 [eqn: t`]의 값에 따른 실근의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 실수 [eqn: t`]에 대한 방정식 [eqn: f(t)=a^t] 이 실근을 갖게 하는 양의 실수 [eqn: a`]의 최솟값은?
(단, [eqn: a!= 1])

①

[출제의도] 삼차함수와 지수함수의 그래프의 개형을 그려 실근의 개수를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

방정식 [eqn: x^3 -3x=t-2]의 실근의 개수는 삼차함수 [eqn: y=x^3 -3x+2]의 그래프와 [eqn: y=t]와의 교점의 개수가 되므로

[eqn: t<0], [eqn: t>4]일 때, 실근의 개수[eqn: =1]

[eqn: 0<t<4]일 때, 실근의 개수[eqn: =3]

[eqn: t=0,```4]일 때, 실근의 개수는 [eqn: 2]개이므로

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프는 다음과 같다.

지수함수 [eqn: y=a^t `]은 [eqn: (0,```1)]을 지나므로

ⅰ) [eqn: 0<a<1]이면 주어진 방정식은 실근을 갖지 않는다.

ⅱ) [eqn: a>1]이면 [eqn: (4,```2)]를 지날 때 주어진 방정식은 처음으로 실근을 가진다.

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2^ {1over4}]이다.

[4점][2011년 대전10월 나20]

① [eqn: 2^{1over4}]	② [eqn: 3^{1over4}]	③ [eqn: 2^{1over2}]	④ [eqn: 3^{1over2}]	⑤ [eqn: 3]

이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y= f`prime(x)]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f `prime(alpha)=0], [eqn: f` prime (-x)=f` prime (x)``]이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x`]축은 [eqn: y=f`prime(x)]의 점근선이다.)

④

[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형을 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: f`prime(alpha)=0]이고 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]를 기준으로 증가하다가 감소하므로 [eqn: f(alpha)]는 극댓값이다. (참)

ㄴ. (반례) [eqn: f(0)=0]일 때는 홀수 개의 실근을 갖는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 0<x<beta]이면 [eqn: f`prime prime(x)<0]이므로 [eqn: f(x)]는 위로 볼록이다. (참)

[3점][2011년 대전10월 가17]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(alpha)]는 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 양수 [eqn: beta`]에 대하여 [eqn: f`primeprime(beta)=0]이면 [eqn: 0<x<beta`]에서 [eqn: f(x)]는 위로 볼록이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: m``]에 대하여 점 [eqn: (0,```2)``]를 지나고 기울기가 [eqn: m``]인 직선이 곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +1``]과 만나는 점의 개수를 [eqn: f(m)``]이라 하자. 함수 [eqn: f(m)``]이 구간 [eqn: (- inf, ```a)``]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a``]의 최댓값은?

④

[eqn: y=mx+2]와 [eqn: y=x^3 - 3x^2 +1]의 교점의 개수는
[eqn: x^3 -3x^2 - mx -1=0],
[eqn: x^2 - 3x - 1over x =m]의 실근의 개수와 같다. ([eqn: because```x!=0])
[eqn: g(x)=x ^{2} -3x- {1} over {x}]로 놓고 미분하면

[eqn: g`prime(x) = 2x-3+ 1over x^2][eqn: = {2x^3 -3x+1} over x^2][eqn: ={(x-1)^2 (2x+1 )}over x^2]

증감표를 그려보면

[eqn: x]		[eqn: - 1over2]		[eqn: (0)]		[eqn: 1]
[eqn: g(x)]	[eqn: -]		[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: g`prime (x)]	↘	[eqn: 15 over 4]	↗		↗	[eqn: -3]	↗

[eqn: lim_x->+0 g(x)= -inf]	[eqn: lim_x->-0 g(x)=+inf]

[eqn: lim_x->+inf g(x)= +inf]	[eqn: lim_x->-inf g(x)= +inf]

[eqn: y=g(x)], [eqn: y=m]의 그래프를 그리면

[eqn: f(m)]은 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: y=m]의 교점의 개수이므로

따라서, [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 15 over 4]이다.

[4점][2012학년도 수능 가19]

① [eqn: -3]	② [eqn: - 3over4]	③ [eqn: 3over2]	④ [eqn: 15 over 4]	⑤ [eqn: 6]

다항함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[출제의도] 도함수를 이용하여 그래프의 개형 추론하기

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 원점 [eqn: rmO]와 [eqn: x`=`b], [eqn: c], [eqn: e]에서 변곡점을 가진다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`d] 에서 극대가 된다. (참)

ㄷ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 최댓값은 [eqn: f(d)]이다. (거짓)

[[eqn: 4]점][2012년 7월 가13]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: e]

[eqn: f]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

		<보 기>
	ㄱ. 구간 [eqn: [a`,~f]`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 변곡점은 [eqn: 4]개이다. ㄴ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 극대가 되는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 1]개이다. ㄷ. 구간 [eqn: [a`,~e]``]에서 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: f(c)]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

점 [eqn: A(1,```0)``]을 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l``]이 곡선
[eqn: y=2rootx``]와 만나는 점을 [eqn: B], 점 [eqn: B``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: C], 직선 [eqn: l``]이 [eqn: y``]축과 만나는 점을 [eqn: D``]라 하자.

⑤

[eqn: A(1`,```0) `,```B (t`,```2 root2 ) `,```C (t`,```0)]이므로

[eqn: f(t) = 1 over2 (t-1) cdot2 roott = (t-1) roott]

[eqn: f prime (t) = roott + {t-1} over{ 2 roott}] 이므로

[eqn: f prime(9) = 3+ 8 over6 = 13 over 3]

점 [eqn: B`left(t,```2roott right)``]에 대하여 삼각형 [eqn: BAC``]의 넓이를 [eqn: f(t)``]라 할 때, [eqn: f`'(9)``]의 값은?

[3점][2013년 6월 가08]

① [eqn: 3]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 11 over 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 13 over 3]

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 그림과 같이 점 [eqn: rm P LEFT ( ` it t+ {1} over {t} ,``0 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2t ^{2}}]에 접선을 그었을 때, 원과 접선이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm Q], 원 위의 점 [eqn: {} _{rm } LEFT ( `0,``- {1} over {sqrt {2} it t rm } RIGHT )]을 [eqn: rm R]라 하자.
[eqn: {bar{rm OP it}} TIMES rm {bar{OQ}}]를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: f` prime LEFT ( sqrt {2} RIGHT )]의 값은?

②

[출제의도] 몫의 미분법 이해하기

[eqn: rm {bar{OP}} =itt+ {1} over {t}], [eqn: rm {bar{OQ}} =it {sqrt {2}} over {2t}]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = rm {bar{OP}} TIMES {bar{OQ}} = it {sqrt {2}} over {2} + {sqrt {2}} over {2t ^{2}}]

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =- {sqrt {2}} over {t ^{3}}]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =- {1} over {2}]

[3점][2015년 4월 가13]

[eqn: x]

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {4}]	④ [eqn: - {1} over {8}]	⑤ [eqn: - {1} over {16}]

함수 [eqn: f(x) = x over{x^2 +1}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

[출제의도] 함수의 도함수와 이계도함수를 이해하여 함수의 그래프와 관련된 성질을 추론한다.

함수 [eqn: f(x) = x over{x^2 +1}`]에서

[eqn: f`'(x) = {1CDOT(x^2 +1) - x(2x)}over{(x^2 +1)^2}`] [eqn: = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}`]

[eqn: f`''(x) = {(-2x)(x^2 +1)^2 -(1-x^2 ) LEFT { 2(x^2 +1)cdot 2x RIGHT } } over{(x^2 +1 )^4`}]

[eqn: ={2x(x^2 +1)left{-(x^2 +1)-2(1-x^2 )right}}over{(x^2 +1)^4}`]

[eqn: = {2x (x^2 -3)} over{(x^2 +1 )^3}`]

[eqn: ㄱ.] [eqn: f`'(x) = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}``]에서 [eqn: f`'(0) = 1 over1 =1`] (참)

[eqn: ㄴ.] [eqn: f`'(x) = {1-x^2 over{(x^2 +1)^2}}=0`]에서
[eqn: x=`-1`] 또는 [eqn: x=1`]
함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: -1`]	…	[eqn: 1`]	…
[eqn: f`'(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]
[eqn: f(x)`]	↘	[eqn: - 1 over2`]	↗	[eqn: 1 over2`]	↘

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극솟값 [eqn: - 1 over2`] 을 갖고  [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: 1 over2`]을 갖는다.
[eqn: lim _{ x->inf} `{ f(x)} = lim _{ x->inf} {x over {x^2 +1} = 0`]
[eqn: x>0`]일 때, [eqn: f(x) >0`]이므로
함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극소이면서 최소이다. 따라서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x) ge - 1 over2`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f`''(x) = {2x (x^2 -3)} over{(x^2 +1 )^3}`]이므로
[eqn: f`''(x) =0`]에서
[eqn: x= 0] 또는 [eqn: x=` -sqrt3] 또는 [eqn: x=sqrt3`]
[eqn: f`'(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: -sqrt3`]	…	[eqn: 0`]	…	[eqn: sqrt3`]	…
[eqn: f`''(x)]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +]	[eqn: 0`]	[eqn: -]	[eqn: 0`]	+
[eqn: f`'(x)]	↘	[eqn: - 1 over8]	↗	[eqn: 1]	↘	[eqn: - 1over8]	↗

따라서 함수 [eqn: f`'(x)`]는
[eqn: x< - sqrt3] 또는 [eqn: 0<x< sqrt3`]에서 감소하고,
[eqn: -SQRT3 <x<0] 또는 [eqn: x> sqrt3`]에서 증가하므로
함수 [eqn: f`'(x)`]는 열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에서 감소한다.
따라서 [eqn: 0<x<1`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: f`'(x) < f`'(0) =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠
함수 [eqn: f`(x)`]가 닫힌 구간 [eqn: [`0,``1`]`]에서 연속이고,
열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여
[eqn: 0<a<b<1`]인 모든 실수 [eqn: a`,``b`]에 대하여
[eqn: {f(b) - f(a)} over b-a`= f`'(c)`]를 만족시키는 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: (0,``1)`]에 적어도 하나 존재한다. [eqn: cdotscdots`]㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: 0<a<b<1`]일 때,
[eqn: {f(b) - f(a)} over b-a`< f`'(0) =1`]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2016년 3월 가19]

ㄱ. [eqn: f` prime (0)=1`]

ㄴ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)ge`- 1over2`]이다.

ㄷ. [eqn: 0<a<b<1`]일 때, [eqn: {f(b)-f(a)} over {b-a} >1`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

①

ㄱ. (가), (나)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` =`-f LEFT ( -x RIGHT )] 이고 [eqn: f(-x ) != 1`]이므로 [eqn: - f( -x) != -1] 이다.

∴ [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) != -1]  ∴참

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 전 구간에서 미분 가능하고 연속인 원점 대칭함수이므로 반드시 원점을 지나야 한다.

또한 [eqn: f(x) !=1], [eqn: f(x) !=-1] 이기 위해 [eqn: f(x)]은 [eqn: -1]과 [eqn: 1] 사이여야 한다.

∴ [eqn: -1<f LEFT ( x RIGHT ) <1]

(다)에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `= LEFT { 1+f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } LEFT { 1+f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { 1+f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } LEFT { 1-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =`1-` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

∴ [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) >0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 전 구간에서 증가한다. ∴거짓

ㄷ. [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =1- LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

양변을 미분하면 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT ) =-2f LEFT ( x RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 0,0 RIGHT )]에서만 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점은 오직 하나이다. ∴거짓

따라서 옳은 것은 ㄱ 뿐이다.

[다른풀이]

ㄷ에서

[eqn: f(x)=-f(-x)]

[eqn: f`'(x)= left(1+f(x) right) left(1-f(x) right)]

[eqn: {f`'(x)}over{ left(1+f(x) right) left(1-f(x) right)}=1]

[eqn: {f`'(x)}over{ left(f(x)+1 right) left(f(x)-1 right)}=-1]

[eqn: int{f`'(x)}over{ f(x)-1}`-` {f`'(x)} over f(x)+1 }`dx=int-2`dx]

[eqn: ln{ left| f(x)-1 right|}-ln{left| f(x)+1 right|}`=`-2x+{rmC}]

[eqn: f(0)=0]이므로  [eqn: therefore`{rmC}=0]

[eqn: -{ f(x)-1 }over{ f(x)+1 }=e^{-2x}]

[eqn: 1- f(x) = e^{-2x} f(x)+e^{-2x}]

[eqn: left(e^{-2x}+1 right) f(x) = 1 - e^{-2x}]

[eqn: f(x) = {1 - e^{-2x} } over {1+e^{-2x}}]

(가) [eqn: f(x) !=1]

(나) [eqn: f(x) + f( -x ) = 0]

(다) [eqn: f `' (x) = left{ 1 + f(x) right} left{ 1 + f(-x) right}]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2016년 6월 가21]

<보기>

ㄱ. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x) != -1`]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x) `]는 어떤 열린 구간에서 감소한다.
ㄷ. 곡선 [eqn: y = f(x) `]는 세 개의 변곡점을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x>a``]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 사차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

216

[출제의도] 미분법을 활용하여 극솟값의 최솟값을 구할 수 있는가?

(가) [eqn: f(x)`=` g(x) over {x-a} `(`x>a)]는 두 점 [eqn: (`x`,`g(x))], [eqn: (`a`,`0`)]을 지나는 직선의 기울기이다.

(나) 직선의 기울기 [eqn: f(x)]가 극대인 곳, 즉 기울기가 커지다가 작아지는 곳은 접점이다. [eqn: (`a`,`0`)]을 지나면서 [eqn: x= alpha `,`` beta `]에서 접선의 기울기가 [eqn: M``]으로 같아지려면 공통접선이어야 한다.

곡선 [eqn: y``= g(x)]의 그래프는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각해보면

[eqn: rmi)]

함수 [eqn: y`=` g(x)]의 그래프가 위의그림과 같을 때, 함수 [eqn: y`= g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개다 이때, 함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프도 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.

[eqn: rmii)]

함수 [eqn: y`=` g(x)]의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수 [eqn: y`=` g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개다. 이때, 함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프는 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값이 [eqn: 3]개 이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

[eqn: rm i),``ii)]에서
[eqn: y`=` g(x)]와 [eqn: y=M(x-a)`]가 [eqn: x= alpha `,`` beta `]에서 접하므로

방정식 [eqn: g(x)=M(x-a)]는 중근을 가진다.

[eqn: g(x)-M(x-a)=`-(x- alpha ) ^{2} (x- beta ) ^{2}]

[eqn: g` prime (x)-M`=`-2(x- alpha )(x- beta ) ^{2} -2(x- alpha ) ^{2} (x- beta )]

[eqn: g` prime `(x)`=`M-4(x- alpha )(x- beta ) LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT )]

[eqn: g`'`(x)`=`0]을 만족하는 실근의 개수는 1개 또는 2개 이어야 한다. 그러므로

[eqn: M=`4(x- alpha )(x- beta ) LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT )]

의 교점이 1개 또는 2개이다.

[eqn: h(x)=`4(x- alpha )(x- beta ) LEFT ( x- {alpha + beta } over {2} RIGHT )] 라고 하면

M

따라서 [eqn: M`]의 최솟값은 함수 [eqn: h(x)]의 극댓값이다.

[eqn: beta `-` alpha =6 sqrt {3}]이므로, [eqn: alpha =`-3 sqrt {3} ``,```` beta =3 sqrt {3}]으로 생각하여 극댓값을 구해보면

[eqn: h(x)` prime ``=`12(x+3)(x-3)=0] 에서 [eqn: x`=`-3``,```x`=`3]

따라서 구하는 극댓값은

[eqn: h(-3)=216]

(가) [eqn: x>a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

(나) 서로 다른 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x= alpha], [eqn: x= beta]에서 동일한 극댓값 [eqn: M```]을 갖는다.
(단, [eqn: M>0])

(다) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수보다 많다.

[eqn: beta - alpha =6 sqrt {3} ``]일 때, [eqn: M```]의 최솟값을 구하시오.

[4점][2017학년도 수능 가30]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)`]이고, [eqn: 0 LEQ x<2`]일 때 [eqn: f(x)= {(x-a) ^{2}} over {x+1}`]인 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다. 구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은?

①

[출제의도] 극댓값과 극솟값의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 미지수의 값을 구한다.

[eqn: a=it-1`]일 때 구간 [eqn: LEFT [`0,``2 RIGHT ) `]에서 [eqn: f(x)=x+1`]이므로

[eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖지 않는다.

이것은 모순이므로 [eqn: a!=it-1]

구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 [eqn: f(x)`]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: a`]의 값의 범위를 구하면

[eqn: f(x)= {(x-a) ^{`2}} over {x+1} `]에서 [eqn: f`` prime (x)= {(x-a)(x+2+a)} over {(x+1) ^{`2}} `]

[eqn: f``'(x)=0`]에서 [eqn: x= a] 또는 [eqn: x= it-a-2]

(ⅰ) [eqn: a<it-a-2`]일 때
[eqn: a<it-a-2`]에서 [eqn: a < it-1]이고,
[eqn: x=it-a-2`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=it-a-2`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<it-a-2<2`], [eqn: -4<a<it-2]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= it -3]

(ⅱ) [eqn: a>it-a-2`]일 때
[eqn: a>it-a-2`]에서 [eqn: a > it-1]이고,
[eqn: x=a`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: x=a`]에서 [eqn: f(x)`]는 극솟값을 갖는다. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지므로 구간 [eqn: (0,``2)`]에서 극솟값을 갖는다.
즉 [eqn: 0<a<2`]
[eqn: a`]는 정수이므로 [eqn: a= 1`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -3] 또는 [eqn: 1]

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: (-3)times1= it-3`]

[보충 설명]

(ⅰ) [eqn: a= it -3`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a= 1`]일 때, 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 그려 보면 다음과 같이 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

[4점][2017년 3월 가14]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``2a RIGHT ) `]에서 곡선
[eqn: y= it - {2} over {x} `]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 할 때,
[eqn: {bar{\PA}} ^{`2} + {bar{\PB}} ^{`2} + {bar{\AB}} ^{`2} `]의 최솟값을 구하시오.

90

[출제의도] 몫의 미분법을 이용하여 두 접선과 한 선분으로 이루어진 도형 문제를 해결한다.

[eqn: rm A LEFT ( it alpha ,``- {2} over {alpha } RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it beta ,``- {2} over {beta } RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: y=it- {2} over {x} `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: {dy} over {dx} = {2} over {x ^{`2}} `]

점 [eqn: rmA`]를 지나는 접선의 방정식은 [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} LEFT ( x-alpha RIGHT ) - {`2} over {alpha} `]

즉, [eqn: y= {2} over {alpha ^{`2}} x- {4} over {alpha} `]  [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

같은 방법으로 점 [eqn: rmB`]를 지나는 접선의 방정식은

[eqn: y= {2} over {beta ^{`2}} x- {4} over {beta } `]     [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡이 모두 [eqn: rmP LEFT ( ita,``2a RIGHT ) `]를 지나므로

[eqn: 2a= {2a} over {alpha ^{`2}} - {4} over {alpha } `], [eqn: 2a= {2a} over {beta ^{`2}} - {4} over {beta } `]

즉, [eqn: a`alpha ^{`2} +2alpha-a=0`], [eqn: a beta ^{`2} +2beta-a=0`]이므로

[eqn: alpha `], [eqn: beta`]는 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2x-a=0`]의 근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서

[eqn: alpha + beta =it- {2} over {a} `], [eqn: alpha ` beta =it-1`]

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}]

[eqn: = LEFT ( a- alpha RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {`2} over {alpha } RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( a-beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( 2a+ {2} over {beta} RIGHT ) ^{`2}][eqn: =10`a ^{`2} -2a LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + LEFT ( alpha ^{`2} + beta ^{`2} RIGHT ) +8a LEFT ( {1} over {alpha } + {1} over {beta } RIGHT ) +4 LEFT ( {1} over {alpha ^{`2}} + {1} over {beta ^{`2}} RIGHT )]

[eqn: =10`a ^{`2} +4+ LEFT { LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta RIGHT }][eqn: +8a TIMES {alpha + beta } over {alpha beta } +4times {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta } over {LEFT ( alpha beta RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =10a ^{`2} + {20} over {a ^{`2}} +30`],

[eqn: rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: = LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{`2} + LEFT ( - {2} over {alpha } + {2} over {beta } RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{`2}]
[eqn: =5 LEFT { LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{`2} -4`alpha`beta RIGHT }]
[eqn: =5 LEFT ( {4} over {a ^{`2}} +4 RIGHT )]
[eqn: = {20} over {a ^{`2}} +20]

그러므로 [eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2}+ rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]

[eqn: a ^{`2} =t` LEFT ( t>0 RIGHT ) `]으로 놓고 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =10`t+ {40} over {t} +50`]이라 하면

[eqn: f`` prime LEFT ( t RIGHT ) =10- {40} over {t ^{`2}}][eqn: = {10 LEFT ( t ^{`2} -4 RIGHT )} over {t ^{`2}} `]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]의 증가와 감소를 나타낸 표는 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f``prime LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]		[eqn: SEARROW]	[eqn: 90`]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서 최솟값 [eqn: 90`]을 갖는다.

[eqn: a^{`2}=2`]이므로 [eqn: a= root2`]에서 점 [eqn: \P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it sqrt {2} ,``2 sqrt {2} RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: rm {bar{PA}} ^{2} +rm{bar{PB}} ^{2}][eqn: + rm {bar{AB}} ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 90`]이다.

[다른 풀이]

절대부등식을 이용하면

[eqn: rm {bar{PA}} ^{`2} + rm {bar{PB}} ^{`2} + rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: =10a ^{`2} + {40} over {a ^{`2}} +50]
[eqn: GEQ 2 sqrt {10`a ^{`2} TIMES {40} over {a ^{`2}}} +50]
[eqn: =2 TIMES 20+50]
[eqn: =90`]

(단, 등호는 [eqn: 10`a ^{`2} = {40} over {a ^{`2}} `] 즉, [eqn: a=root2`]일 때 성립한다.)

[4점][2017년 3월 가30]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 함수

50

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

(가)에서 [eqn: f(x)=x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}] (단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

(나)에서

[eqn: lim _{x` -> `2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} = {cases{``````````0 _{`}^{`}&`````(n=1,``2) _{`}^{`}#````` {1} over {2 ^{m} _{`}^{`}}&`````(n=3) _{`}^{`}#```발산 _{`}^{`}&`````(n GEQ 4) _{`}^{`}}}}]

[eqn: therefore][eqn: n]은 [eqn: 3] 이하의 자연수

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {x ^{m} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n}} over {x ^{m-1} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{n-1} LEFT { LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m RIGHT }}]

ⅰ) [eqn: m GEQ2], [eqn: n GEQ2]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x!=2], [eqn: x != {2m} over {m+n}]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]

[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x}][eqn: = {LEFT ( m+n-1 RIGHT ) x-2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {LEFT ( m+n RIGHT ) x-2m}]

[eqn: = {{2n} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}}} over {x- {2m} over {m+n}} + {m+n-1} over {m+n}]

이고 점근선의 방정식은
[eqn: x= {2m} over {m+n}], [eqn: y= {m+n-1} over {m+n}]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]

[eqn: x= {2m} over {m+n}]

[eqn: y= {m+n-1} over {m+n}]

[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]

[eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} =0]에서 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1}]일 때 연속이고 미분가능하지 않다.
(다)에서
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m+n-1} = {5} over {4}]
[eqn: m= {5n+3} over {3}]
[eqn: m]은 자연수이고 [eqn: n le3]인 자연수이므로 [eqn: m=6], [eqn: n=3]

ⅱ) [eqn: m!=1], [eqn: n=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=0], [eqn: x != {2m} over {m+1}]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT { mx-2 LEFT ( m-1 RIGHT ) RIGHT }} over {LEFT ( m+1 RIGHT ) x-2m}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m}]일 때 연속이고 미분가능하지 않다.
[eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {m} = {5} over {4}]
[eqn: therefore]자연수 [eqn: m]이 존재하지 않는다.

ⅲ) [eqn: m = 1], [eqn: n!=1]일 때
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=2], [eqn: x != {2} over {n+1}]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {nx ^{2}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.

ⅳ) [eqn: m=n=1]일 때
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x!=1]인 모든 실수에서 정의된다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2}} over {2x-2}]
함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 미분가능하므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의하여

[eqn: m=6], [eqn: n=3]

[eqn: therefore][eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {2x LEFT ( 4x-5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT )}]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {8 LEFT ( 3x ^{2} -8x+5 RIGHT )} over {3 LEFT ( 3x-4 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= 5 over3]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: LEFT ( {4} over {3} RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5over 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	↗	[eqn: 2over3]	↘		↘	[eqn: 50 over27]	↗

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값 [eqn: k]는 [eqn: {50} over {27}]

따라서 [eqn: 27k=50]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x- {f LEFT ( x RIGHT )} over {f` prime LEFT ( x RIGHT )}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근은 [eqn: 0]과 [eqn: 2]뿐이고 허근은 존재하지 않는다.

(나) [eqn: lim _{x`->`2} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3}} over {f LEFT ( x RIGHT )}}]이 존재한다.

(다) 함수 [eqn: LEFT | {g LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT |]는 [eqn: x= {5} over {4}]에서 연속이고 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 27k]의 값을 구하시오.

[4점][2017년 4월 가30]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -3x- {k} over {x} `]가 열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)]에서 증가할 때, 실수 [eqn: k`]의 최솟값은?

③

[출제의도] 미분법을 활용하여 함수의 성질 이해하기

함수 [eqn: f(x)`]가 열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)`]에서 증가해야 하므로 [eqn: f` prime (x)=x-3+ {k} over {x ^{2}} GEQ 0]

[eqn: x ^{2} >0`]이므로 양변에 [eqn: x^2 `]을 곱하면

[eqn: k GEQ -x ^{3} +3x ^{2}]

함수 [eqn: g(x)=-x ^{3} +3x ^{2}`]이라 하면

열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)`]에서 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극대이면서 최대이므로 최댓값은 [eqn: 4`]이다.

따라서 [eqn: k GEQ 4`]이므로 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 4]

[4점][2017년 7월 가17]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 임의의 양수 [eqn: x`,``y``]에 대하여

①

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 함수 추론하기

[eqn: f(xy)=xf(y)+yf(x)`]의 양변을 [eqn: xy`]로 나누면

[eqn: {f(xy)} over {xy} = {f(x)} over {x} + {f(y)} over {y} `]이다.

[eqn: p(x)= {f(x)} over {x} `]라 두면, [eqn: p(xy)=p(x)+p(y)]

[eqn: x=1`,``y=1``]을 대입하면 [eqn: p(1)=0]

[eqn: p`'(x)= lim _{h-> 0} {} {p(x+h)-p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {} {p LEFT ( x LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) RIGHT ) -p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {} {p(x)+p LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) -p(x)} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {} {p LEFT ( 1+ {h} over {x} RIGHT ) -p(1)} over {h}]

[eqn: =p`'(1) TIMES {1} over {x}]

[eqn: x>0`]에서 [eqn: p`'(x)= {xf`'(x)-f(x)} over {x ^{2}}]이고

[eqn: f(1)=0`]이므로 [eqn: p`'(1)=f`'(1)-f(1)=f`'(1)=1]

[eqn: p(1)=0`]이고, [eqn: p`'(x)= {1} over {x} `]이므로 [eqn: p(x)=ln`x]

[eqn: f(x)=x`lnx````(x>0)]

[eqn: g(x)+g(-x)=0`]이므로 [eqn: g(x)]는 원점에 대하여 대칭이고

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: g(0)=0]

[eqn: lim _{h-> 0+} {} {g(0+h)-g(0)} over {h} = lim _{h-> 0+} {} {h`lnh} over {h} =`- INF]

발산하므로 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않다.

[eqn: x>0`]에서 [eqn: g(x)=f(x)]이므로 [eqn: x>0`]인 모든 실수에 대하여 미분가능하고 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: x<0`]인 모든 실수에 대하여 미분가능하다. 따라서 미분가능하지 않은 점의 개수가 1개이므로 [eqn: a=1`]

[eqn: g(x)=x+k`]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: g(x)-x=k``]의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

함수 [eqn: h(x)=g(x)-x`]라 두면

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{``x`lnx-x# # ``0# }&eqalign{(x>0)# # (x=0)# }#``x`ln(-x)-x&(x<0)}}] ,

[eqn: h`'(x)= {cases{```ln`x&(x>0)#```ln`(-x)`````&(x<0)}}]

이므로 [eqn: h(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	-1	[eqn: CDOTS]	0	[eqn: CDOTS]	1	[eqn: CDOTS]
[eqn: h`'(x)]	+	0	-	발산	-	0	+
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	0	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

극댓값 [eqn: h(-1)=1``]이고, 극솟값 [eqn: h(1)=`-1]

[eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x)= lim _{x -> 0+} {} x`lnx`=0```]이므로 [eqn: lim _{x-> 0} {} h(x)=0``]이다

[eqn: y=k`]와 [eqn: y=h(x)`]의 그래프가 서로 다른 두 교점을 갖는 [eqn: k`]의 값은 1 또는 –1이다. 따라서 구하는 값은 –1

[eqn: f(xy)=xf(y)+yf(x)]

이고, [eqn: f`'(1)=1`]이다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)``]이다

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)+g(-x)=0``]이다

함수 [eqn: g(x)`]가 미분가능하지 않은 점의 개수를 [eqn: a`]라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=ax+k`]의 서로 다른 실근의 개수는 2이다. 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱은? (단, [eqn: lim _{x`-> `0+} {} f(x)=0``]이다.)

[4점][2017년 대구8월 가21]

① -1	② [eqn: - {1} over {e}]	③ [eqn: - {1} over {e ^{2}}]	④ [eqn: {1} over {e}]	⑤ 1

원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: r], 4인 두 원 [eqn: C _{1} `], [eqn: C _{2} `]가 있다. 원 [eqn: C _{2} `] 위의 점 [eqn: P`]에서 원 [eqn: C _{1} `]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: A`,``B``]라 할 때, 삼각형 [eqn: PAB`]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: 0<r<4] 이다.)

③

[출제의도] 미분활용 문제해결하기

[eqn: {bar{OP}} =4`,`` {bar{OA}} =r`]이므로 [eqn: {bar{AP}} `= sqrt {16-r ^{2}}]

[eqn: cos( ANGLE OPA)= {sqrt {16-r ^{2}}} over {4} `], [eqn: sin( ANGLE OPA)= {r} over {4}]

[eqn: {bar{OP}} `]와 [eqn: {bar{AB}} `]의 교점을 [eqn: M`]이라 하면

[eqn: {bar{PM}} `= {bar{AP}} ` TIMES cos( ANGLE OPA)= {16-r ^{2}} over {4}]

[eqn: {bar{AM}} `= {bar{AP}} ` TIMES sin( ANGLE OPA)= sqrt {16-r ^{2}} TIMES {r} over {4}]

(삼각형 [eqn: PAB]의 넓이)=[eqn: {bar{PM``}} ` TIMES {bar{AM``}} = {1} over {16} r(16-r ^{2} ) ^{{3} over {2}}]

삼각형 [eqn: PAB`]의 넓이를 [eqn: S(r)]이라 하면

[eqn: S(r)= {1} over {16} r(16-r ^{2} ) ^{{3} over {2}}]

[eqn: S``'(r)= {1} over {4} sqrt {16-r ^{2}} (4-r ^{2} )]

[eqn: 0<r<4``]이므로 [eqn: sqrt {16-r ^{2}} `>0] 이고,

[eqn: S``'(r)=0``]에서 [eqn: r=2]

[eqn: 0<r<4``]에서 [eqn: S(r)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: r]	0	[eqn: CDOTS]	2	[eqn: CDOTS]	4
[eqn: S``'(r)`]	[eqn: +]	[eqn: +]	0	-	-
[eqn: S(r)`]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

즉, [eqn: r=2``]에서 극댓값 [eqn: S(2)=3 sqrt {3}]

따라서 최댓값은 [eqn: 3 sqrt {3}]

[4점][2017년 대구8월 가17]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 3 sqrt {3}]	④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {3}]

쌍곡선 [eqn: x ^{`2} -y ^{`2} =1] 위의 점 [eqn: \P`]와 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: {rm A} ( t,``0 ) `]이 있다. [eqn: bar{rmAP}`]의 최솟값을 [eqn: f ( t ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

[출제의도] 함수의 그래프의 개형을 추측하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: \P`]의 좌표를 [eqn: (x,``y)`]라 할 때

[eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2}][eqn: =it LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +x ^{2} -1]
[eqn: =2x ^{2} -2tx+t ^{2} -1][eqn: =2 LEFT ( x- {t} over {2} RIGHT ) ^{2} + {t ^{2}} over {2} -1`]

[eqn: x ^{2} =y ^{2} +1 GEQ 1`]이므로 [eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]

[eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]이므로 [eqn: t over 2`]의 값에 따라 [eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2} `]의 최솟값이 달라진다. 즉, 각 경우에 따라 [eqn: f(t)`]의 값을 구하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1}&```````` LEFT ( LEFT | t RIGHT | GEQ 2 RIGHT )#LEFT | t+1 RIGHT |&```````` LEFT ( -2<t LEQ 0 RIGHT )#LEFT | t-1 RIGHT |&```````` LEFT ( 0<t<2 RIGHT )}}]

그러므로 [eqn: s=f LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: f(t)`]에서 [eqn: t=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=1`](참)

ㄴ. 직선 [eqn: s= {1} over {3} `]과 곡선 [eqn: s=f(t)`]의 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: lim _{t -> -2-} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t -> -2-} {{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1} -1} over {t+2}}]

[eqn: = lim _{t -> -2-} {{t ^{2} -4} over {LEFT ( t+2 RIGHT ) sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t -> -2-} {{t-2} over {sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}]

[eqn: =it-1]

[eqn: lim _{t -> -2+} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{t -> -2+} {{LEFT | t+1 RIGHT | -1} over {t+2}}]

[eqn: = lim _{t -> -2+} {{- LEFT ( t+1 RIGHT ) -1} over {LEFT ( t+2 RIGHT )}}]

[eqn: =it-1]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t= it -2`]에서 미분가능하다.

같은 방법을 이용하면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서도 미분가능하다는 사실을 알 수 있다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로 그 개수는 [eqn: 3`]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2017년 10월 가20]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f( 0 ) =1] ㄴ. 방정식 [eqn: f ( t) = {1} over {3} `]의 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f ( t ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]가

③

[출제의도] 연역적 추론능력(증명)-미분법

ㄱ. (참)

[eqn: f(x)= {nx} over {9+4x ^{2}}]에서

[eqn: f` prime (x)= {n(9+4x ^{2} )-nx TIMES 8x} over {(9+4x ^{2} ) ^{2}}][eqn: = {n(-4x ^{2} +9)} over {(9+4x ^{2} ) ^{2}}]

따라서 [eqn: f`'(0)= {n} over {9}]

ㄴ. (참)

[eqn: f`'(x)=0`]에서 [eqn: x=± {3} over {2}]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: lim _{x-> INF } {} f(x)= lim _{x-> - INF } {} f(x)=0``]이므로 [eqn: x`]축이 점근선이다.

[eqn: f(0)=0`,``f`'(0)= {n} over {9} `]이므로 [eqn: n=9`]일 때,

[eqn: y=x`]는 원점에서 접하는 직선이 된다.

따라서 [eqn: n LEQ 9`]일 때, [eqn: f`'(0)= {n} over {9} LEQ 1`]이므로 함수 [eqn: y=g(t)`]의 그래프는 [그림1]과 같이 함수 [eqn: y=f(t)`]의 그래프와 같다.

한편 [eqn: n>9`]이면 함수 [eqn: y=g(t)`]의 그래프는 [그림2]와 같이 일부분이 함수 [eqn: y=t`]의 그래프와 같아진다.

따라서 함수 [eqn: g(t)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 9이다.

ㄷ. (거짓)

함수 [eqn: g(t)`]가 미분가능하지 않는 [eqn: t`]의 값이 존재하려면 [eqn: n>9`]이어야 한다. 한편 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=± {3} over {2}]에서 항상 극값을 가진다.

따라서 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) = {3} over {2} `]이 되도록 [eqn: n`]의 값을 선택하면 [그림3]과 같이 [eqn: t=± {3} over {2}]에서 함수 [eqn: g(t)`]는 극값을 갖지만 이 두 점에서 미분가능하지 않다. 이때 [eqn: n=18`]이므로 [eqn: n`]의 최솟값은 18이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f(x)= {nx} over {9+4x ^{2}} `]

일 때, 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: g(t)`]를

[eqn: g(t)= {cases{eqalign{```f(t)`````````# ```````````}&eqalign{(`` LEFT | f(t) RIGHT | LEQ LEFT | t RIGHT | ``)# }#````````t&(`` LEFT | f(t) RIGHT | > LEFT | t RIGHT | ``)}}]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점][2017년 전북10월 가20]

〈 보 기 〉

ㄱ. [eqn: f`'(0)= {n} over {9}]

ㄴ. 함수 [eqn: g(t)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 9이다.

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)`]가 극대 또는 극소이면서 동시에 미분가능하지 않는 실수 [eqn: t`]가 존재하도록 하는 [eqn: n`]의 최솟값은 16이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)`]를

112

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-미분법

[eqn: y= {-8x} over {x ^{2} +1} `]에서

[eqn: y`'= {-8(x ^{2} +1)+8x TIMES 2x} over {(x ^{2} +1) ^{2}} = {8(x-1)(x+1)} over {(x ^{2} +1) ^{2}}]

[eqn: y`'=0`]에서 [eqn: x=`-1````( BECAUSE ``x LEQ 0)]

함수 [eqn: y= {-8x} over {x ^{2} +1} `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]
[eqn: y`']	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: y]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 4]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]

직선 [eqn: y=t`]가 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프와 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 중 가장 작은 값이 [eqn: h(t)]이다.

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`] ([eqn: `a`,``b`,``c``]는 상수)라 하면

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0`]에서 연속이다.

[eqn: f(0)=c=0`] [eqn: CDOTS `㉠]

(가)에서 [eqn: lim _{t-> 4-} {} h(t)`<` lim _{t-> 4+} {} h(t)`=1`]이고,

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=`-1`]에서 극댓값 4를 가지므로

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 점 [eqn: (`1`,``4`)]를 지난다.

[eqn: g(1)=f(1)=1+a+b+c=4] [eqn: CDOTS `㉡]

(나)에서 [eqn: lim _{t -> p+} {} h(t)`>` lim _{t -> p-} {} h(t)`= {4} over {3} `]이므로

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x= {4} over {3} `]에서 극댓값 [eqn: p`]를 갖는다.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax+b`]이므로

[eqn: g`' LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) =f`' LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) =3 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} +2a TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) +b]

[eqn: = {16} over {3} + {8} over {3} a+b=0```` CDOTS `㉢]

즉, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

㉠, ㉡, ㉢에서 [eqn: a=-5,``b=8,``c=0`]이므로

[eqn: f(x)=x ^{3} -5x ^{2} +8x`]

[eqn: p=f LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) = LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{3} -5 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} +8 TIMES {4} over {3}]

[eqn: = {64} over {27} - {80} over {9} + {32} over {3} = {112} over {27}]

따라서 [eqn: 27p=112]

[eqn: g(x)= {cases{eqalign{``` {-8x} over {x ^{2} +1} ````````# `}&eqalign{(x LEQ 0)# }#```````f(x)&(x>0)}}]

이라 하고, 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 방정식 [eqn: g(x)=t`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 최솟값을 [eqn: h(t)`]라 하자. 함수 [eqn: h(t)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{t`-> `4-} {} h(t)`<` lim _{t`-> `4+} {} h(t)`=1]

(나) [eqn: lim _{t` -> `p+} {} h(t)`>` lim _{t` -> `p-} {} h(t)`= {4} over {3} `]인 양의 상수 [eqn: p`]가 존재한다.

[eqn: 27p`]의 값을 구하시오.

[4점][2017년 전북10월 가30]

[정답]

④

⑤

④

⑤

⑤

⑤

①

③

8

⑤

①

④

④

③

⑤

②

③

①

216

①

90

50

③

①

③

③

③

112

[해설]