같은 종류의 사탕 9개를 같은 종류의 봉지 5개에 빈 봉지가 없도록 나누어 넣는 방법의 수는?[3점][2007학년도 수능 가36]

④

[eqn: 9]의 [eqn: 5] 분할을 모두 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 9][eqn: = 5+1+1+1+1][eqn: =4+2+1+1+1]

[eqn: =3+3+1+1+1][eqn: =3+2+2+1+1]

[eqn: =2+2+2+2+1]

따라서, 구하는 방법의 수 [eqn: p`(9,~5) =5]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

서로 다른 인형 5개를 3개의 가방 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]에 남김없이 넣으려고 할 때, 각 가방에 인형을 적어도 1개 이상 넣는 경우의 수를 구하시오. [4점][2017년 7월 가26]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,```b`,``c`,``d`,``e````]의 모든 순서쌍 [eqn: (``a`,``b`,``c`,``d`,``e``)`]의 개수를 구하시오. [4점][2017년 대구8월 가27]

(가) [eqn: a LEQ b LEQ c LEQ d LEQ e]

(나) [eqn: (a+b)(c+d+e)=12]

다음은 두 자연수 [eqn: m``]과 [eqn: n``(m`＜n`)`]에 대하여
[eqn: `_m C_m `+ _m+1 C_m ``+`` cdots ``+` _n C_m]
의 값을 이항정리를 이용하여 구하는 과정이다.

[eqn: x``]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수라 하자.

[eqn: `_m C_m ``]은 다항식 [eqn: (1+x`)^m ``]에서 [eqn: x^m ``]의 계수이다.

[eqn: `_m+1 C_m ``]은 다항식 [eqn: (1+x`)^m+1`]에서 [eqn: x^m ``]의 계수이다.

⋮

[eqn: `_n C_m ``]은 다항식 [eqn: (1+x`)^n`]에서 [eqn: x^m ``]의 계수이다.

따라서

[eqn: `_m C_m `+ _m+1 C_m `+`` cdots ``+`` _n C_m `]

은 다항식 [eqn: BOX{````(가)````}] 에서 [eqn: x^m ``]의 계수이다.

그러므로

[eqn: ` _{m} C _{m} `+ _{m+1} C _{m} `+`` CDOTS ``+`` _{n} C _{m} `=` BOX{````(나)````}]

이다.

위의 과정에서 (가)와 (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?[4점][2004년 6월 나17]

(가)	(나)

① [eqn: {(1+x)^n+1 - (1+x)^m}_` over x]	[eqn: `_n+1 C_m+1]

② [eqn: {(1+x)^n+1 - (1+x)^m}_` over x]	[eqn: `_n+1 C_m]

③ [eqn: (1+x)^n+1 - (1+x)^m]	[eqn: `_n+1 C_m]

④ [eqn: {(1+x)^n+1 - 1}_` over x]	[eqn: `_n+1 C_m+1]

⑤ [eqn: {(1+x)^n+1 - 1}_` over x]	[eqn: `_n+1 C_m]

자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: f(n)= sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {} _{2k} rm C _{1} + _{2k} rm C _{3} + _{2k} rm C _{5} + CDOTS + _{2k} rm C _{2k-1} RIGHT )]

일 때, [eqn: f``(5)`]의 값을 구하시오. [4점][2005년 9월 가나25]

682

[eqn: `_2k C_0 +`_2k C_2 + `_2k C_4+ … +`_2k C_2k][eqn: =`_2k C_1 +`_2k C_3 + `_2k C_5+ … +`_2k C_2k-1]

[eqn: = 2^2k over 2 = 2^2k-1 = 2․4^k-1]

∴ [eqn: f`(5) =sum_k=1^5 2․4^k-1][eqn: = {2(4^5 -1)} over 4-1 = 2․1023 over 3 = 2․341 = 682 ``]

다항식 [eqn: (1+ax)^7 `]의 전개식에서 [eqn: x `]의 계수가 [eqn: 14`]일 때, [eqn: x^2 `]의 계수를 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점][2006년 9월 나30]

84

[eqn: (1+ax)^7`]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_7 C_r``(ax)^r` = ``_7 C_r ``a^r``x^r`] ([eqn: r= 0 ,1,2, cdots , 7 `])

이므로 [eqn: x^r`]의 계수는 [eqn: `_7 C_r``a^r`]이다.

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: `_7 C_1 ``a = 7a`]이므로 [eqn: 7a = 14`]에서 [eqn: a=2`]

따라서, [eqn: x^2`]의 계수는 [eqn: `_7 C_2 `a^2 = 21 cdot 4 = 84`]

다음은 [eqn: n]이 [eqn: 2] 이상의 자연수일 때 [eqn: sum from k=1 to n`k(`_n`C_k`)^2] 의 값을 구하는 과정이다.

[증명]

두 다항식의 곱
[eqn: (a_0`+a_1`x+cdots`+a_n-1`x^n-1`)(b_0`+b_1`x+cdots+b_n`x^n`)]에서
[eqn: x^n-1]의 계수는 [eqn: a_0`b_n-1`+a_1`b_n-2`+cdots+a_n-1`b_0][eqn: CDOTS (＊)]이다.
등식 [eqn: (1+x)^2n-1`=(1+x)^n-1`(1+x)^n]의 좌변에서 [eqn: x^n-1]의 계수는 이고, [eqn: (＊)]을 이용하여 우변에서 [eqn: x^n-1]의 계수를 구하면 [eqn: sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times])이다.
따라서 [eqn: =sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times]) 이다.
한편 [eqn: 1`<=`k`<=`n]일 때, [eqn: k times _n`C_k`=n times `_n-1`C_k-1]이므로
[eqn: sum from k=1 to n`k(`_n`C_k`)^2][eqn: =sum from k=1 to n`(n times`_n-1`C_k-1`times])
[eqn: =n times sum from k=1 to n`(`_n-1`C_k-1`times])
[eqn: =] 이다.

(가)

(나)

(가)

(나)

(나)

(나)

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

③

[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{2n-1}]에서 [eqn: x ^{n-1}]의 계수는 이고
[eqn: LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n-1} ` LEFT ( 1+x RIGHT ) ^{n}]을 이용하여 [eqn: x ^{n-1}]의 계수를 구하면

[eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n-1} `C _{k-1} `` TIMES BOX{` _{n} C _{n-k```}} ` RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n} C _{k-1} ` TIMES _{n} C _{n-k} RIGHT )]이다.

한편, [eqn: 1<=k<=n]일 때, [eqn: k` TIMES _{n} C _{k} =`n TIMES _{n-1} C _{n-k}] 이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{n} `k` LEFT ( {} _{n} C _{k} RIGHT ) ^{2} =` sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( n` TIMES _{n-1} `C _{k-1} ` TIMES _{n} `C _{n-k} RIGHT )]

[eqn: =n` TIMES sum _{k=1} ^{n} ` LEFT ( {} _{n-1} C _{k-1} ` TIMES ` _{n} C _{n-k} RIGHT )]

[eqn: =n` TIMES _{2n-1} `C _{n-1}]

[eqn: = {n} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]

[eqn: c f)] [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `!} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) `!`n`!} `= {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `!} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) `!`n`!} TIMES ` {2n} over {n} ` TIMES {1} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} ` TIMES ` {LEFT ( 2n RIGHT ) !} over {n!`n!} = {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]
※ 추가 설명
[eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} = {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]은 다음과 같이 설명할 수 있다.
집합 [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~···,~2n RIGHT }]에서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n} C _{n}]이다.
이것을 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.
① [eqn: 1]을 반드시 포함하는 경우의 수는 [eqn: 1]을 미리 뽑았으므로 나머지 [eqn: LEFT ( 2n-1 RIGHT )]개의 수에서 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]개의 수를 더 뽑으면 되기 때문에 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]
② [eqn: 2]를 포함해서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1}]
③ [eqn: 2n]을 포함해서 [eqn: n]개의 수를 뽑는 경우의 수는 [eqn: {} _{2n-1} C _{n-1}]
그런데 각각의 수는 모두 [eqn: n]가지 경우에 중복되게 계산되었으므로 위 경우의 수의 합은 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} ` TIMES 2n` TIMES ` {1} over {n}]
이것이 [eqn: {} _{2n} C _{n}]과 같아야 하므로 [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} ` TIMES 2= _{2n} C _{n}]
∴ [eqn: {} _{2n-1} `C _{n-1} `= {1} over {2} ` TIMES _{2n} C _{n}]

(가)	(나)	(다)

① [eqn: `_2n`C_n]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n+1]

② [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n]

③ [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k]	[eqn: n over2 times`_2n`C_n]

④ [eqn: `_2n`C_n]	[eqn: `_n`C_n-k+1]	[eqn: n times`_2n`C_n+1]

⑤ [eqn: `_2n-1`C_n-1]	[eqn: `_n`C_n-k]	[eqn: n times`_2n`C_n]

[eqn: A`]학생의 주머니에는 빨간 구슬 [eqn: 2`]개와 노란 구슬 [eqn: 3`]개, [eqn: B`]학생의 주머니에는 노란 구슬 [eqn: 1`]개와 파란 구슬 [eqn: 4`]개가 들어 있다. 두 명의 학생이 각자의 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 색깔에 따라 승부를 가리는데, 빨간 구슬이 노란 구슬에 이기고, 노란 구슬은 파란 구슬에 이기고, 파란 구슬은 빨간 구슬에 이긴다고 한다. 이 때, [eqn: A`]학생이 이길 확률은? (단, 같은 색의 구슬이 나왔을 때는 구슬을 한 개씩 더 꺼내어 승부를 가리고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.) [[eqn: 4`]점][2008년 7월 가나16]

②

[eqn: A]학생이 이기는 경우는 세 가지

ⅰ) [eqn: A]:빨강-[eqn: B]:노랑: [eqn: {2} over {5} TIMES {1} over {5} = {2} over {25}]

ⅱ) [eqn: A]:노랑-[eqn: B]:파랑: [eqn: {3} over {5} TIMES {4} over {5} = {12} over {25}]

ⅲ) [eqn: A]:노랑-[eqn: B]:노랑 [eqn: ->] [eqn: A]:노랑-[eqn: B]:파랑: [eqn: {3} over {5} TIMES {1} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES 1= {3} over {50}]

합의 법칙에 의하여 [eqn: {4 + 24 + 3} over 50 = 31 over 50]

① [eqn: {29} over {50}]	② [eqn: {31} over {50}]	③ [eqn: {33} over {50}]	④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {37} over {50}]

주머니 [eqn: \A]와 [eqn: \B]에는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 다섯 개의 구슬이 각각 들어 있다. 철수는 주머니 [eqn: \A]에서, 영희는 주머니 [eqn: \B]에서 각자 구슬을 임의로 한 개씩 꺼내어 두 구슬에 적혀 있는 숫자를 확인한 후 다시 넣지 않는다.
이와 같은 시행을 반복할 때, 첫 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 서로 다르고, 두 번째 꺼낸 두 구슬에 적혀 있는 숫자가 같을 확률은? [4점][2009학년도 수능 가나16]

①

철수가 주머니 A에서 어느 한 숫자를 선택하고

영희가 주머니 B에서 그와 다른 숫자를 선택할 확률은

[eqn: `_5 rmC_1 × `1over5 × 4over5`= 4over5`]

철수는 두 사람이 꺼낸 첫 번째 숫자 [eqn: 2]개를 제외한 나머지 [eqn: 3]개의 숫자 중에서 한 개를 선택하고, 영희는 그와 같은 숫자를 선택해야 하므로 그 확률은 [eqn: 3over4 × 1over4 = 3over16`]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 4over5 × 3over16 = 3over20`]

[eqn: rmA]                 [eqn: rmB]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

① [eqn: {3} over {20}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {7} over {20}]

주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: m,```n]이라 하자. [eqn: i^{m} CDOT(- i`) ^n]의 값이 [eqn: 1]이 될 확률이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고 [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2009학년도 수능 나22]

23

[eqn: i^m cdot (-i)^n = (-1)^n cdot i^m+n`]이므로

[eqn: i^m cdot (-1)^n`]의 값이 1이 되는 경우는

[eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]

또는 [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]이다.

(1) [eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]인 경우는

[eqn: (2,```2),```(2,```6),```(4,```4),```(6,```2),```(6,```6)]의 [eqn: 5]가지

(2) [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]인 경우는

[eqn: (1,```1),```(1,```5),```(3,```3),```(5,```1),```(5,```5)]의 [eqn: 5]가지

따라서, 구하는 확률은 [eqn: 5+5 over 36 = 5over18`]이므로

[eqn: p+q = 18+5 = 23`]

주머니 안에 스티커가 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개 붙어 있는 카드가 각각 [eqn: 1]장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 [eqn: 1]장을 꺼내어 스티커 [eqn: 1]개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 [eqn: A]라 하자. 시행을 [eqn: 6]번 하였을 때, [eqn: 1]회부터 [eqn: 5]회까지는 사건 [eqn: A]가 일어나지 않고, [eqn: 6]회에서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률을 [eqn: {q} over {p}]라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2010년 9월 가나24]

11

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 [eqn: (a, b, c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)

의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

[eqn: P(A^C ) =1- 3+3+3 OVER 27 = 2 OVER 3]

또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째 , 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 OVER 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 OVER 3 = 2 OVER 9]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 11]

한국, 중국, 일본 학생이 [eqn: 2]명씩 있다. 이 [eqn: 6]명이 그림과 같이 좌석번호가 지정된 [eqn: 6]개의 좌석 중 임의로 [eqn: 1]개씩 선택하여 앉을 때, 같은 나라의 두 학생끼리는 좌석 번호의 차가 [eqn: 1] 또는 [eqn: 10]이 되도록 앉게 될 확률은? [[eqn: 4]점][2011학년도 수능 나17]

④

[eqn: 6]명의 학생을 [eqn: 6]개의 좌석에 앉히는 방법의 수는 [eqn: 6!](가지)

또한, 같은 나라의 두 학생끼리 좌석번호의 차가 [eqn: 1] 또는 [eqn: 10]이 되도록 앉으려면 다음과 같이 세 가지 방법이 있다.

[eqn: LEFT ( i RIGHT )~ LEFT ( 11,~12 RIGHT ),~ LEFT ( 21,~22 RIGHT ),~ LEFT ( 13,~23 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( ii RIGHT )~ LEFT ( 11,~21 RIGHT ),~ LEFT ( 12,~13 RIGHT ),~ LEFT ( 22,~23 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( iii RIGHT ) ` LEFT ( 11,~21 RIGHT ) ,~ LEFT ( 12,~22 RIGHT ) ,~ LEFT ( 13,~23 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( i RIGHT )]의 방법에 세 나라를 정하는 방법의 수는 [eqn: 3!](가지)

각 좌석에 두 학생을 앉히는 방법의 수는 [eqn: 2 ^{3}](가지)

따라서 [eqn: LEFT ( ii RIGHT ),~ LEFT ( iii RIGHT )]의 방법으로 앉히는 방법의 수는 같으므로

구하고자 하는 확률은

[eqn: {3! TIMES 2 ^{3} TIMES 3} over {6!} = {1} over {5}]

① [eqn: {1} over {20}]	② [eqn: {1} over {10}]	③ [eqn: {3} over {20}]	④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

주머니 [eqn: A]에는 흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: B]에는 흰 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 주머니 [eqn: A]에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 흰 공이면 흰 공 [eqn: 2]개를 주머니 [eqn: B]에 넣고 검은 공이면 검은 공 [eqn: 2]개를 주머니 [eqn: B]에 넣은 후. 주머니 [eqn: B]에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼낼 때 꺼낸 공이 흰 공일 확률은? [4점][2014학년도 수능 나15]

⑤

주머니 [eqn: \A]에서 흰 공을 꺼내는 경우와 검은 공을 꺼내는 경우로 나누어 생각하면

ⅰ) 흰 공을 꺼내는 경우     [eqn: 2 over 5 times 3 over 6 = 1 over5]

ⅱ) 검은 공을 꺼내는 경우   [eqn: 3 over5 times 1 over 6 = 1 over 10]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 확률은  [eqn: 1 over 5 + 1 over 10 = 3 over 10]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {7} over {30}]	④ [eqn: {4} over {15}]	⑤ [eqn: {3} over {10}]

그림과 같이 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5], [eqn: 6]의 숫자가 한 면에만 각각 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 일렬로 놓여 있다. 주사위 한 개를 던져서 나온 눈의 수가 [eqn: 2]이하이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드 [eqn: 1]장을 뒤집고, [eqn: 3]이상이면 가장 작은 숫자가 적혀 있는 카드부터 차례로 [eqn: 2]장의 카드를 뒤집는 시행을 한다. [eqn: 3]번째 시행에서 [eqn: 4`]가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 확률은?
(단, 모든 카드는 한 번만 뒤집는다.) [4점][2015년 7월 가18]

③

[출제의도] 확률의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

주사위 한 개를 던져서 나오는 눈의 수가

[eqn: 2] 이하일 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( it A RIGHT ) = {1} over {3}]

[eqn: 3] 이상일 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {2} over {3}]

[eqn: 3]번째 시행에서 [eqn: 4]가 적혀 있는 카드가 뒤집어질 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: ABA] 또는 [eqn: ABB]인 경우의 확률 :

[eqn: {1} over {3} TIMES {2} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {3} + {2} over {3} RIGHT ) = {2} over {9}]

(ⅱ) [eqn: AAB]인 경우의 확률 :

[eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {2} over {27}]

(ⅲ) [eqn: BAA] 또는 [eqn: BAB`]인 경우의 확률 :

[eqn: {2} over {3} TIMES {1} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {3} + {2} over {3} RIGHT ) = {2} over {9}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {2} over {9} + {2} over {27} + {2} over {9} = {14} over {27} `]

① [eqn: { 4} over { 9}]	② [eqn: {13} over { 27}]	③ [eqn: {14} over {27}]	④ [eqn: { 5} over { 9}]	⑤ [eqn: {16} over {27}]

주머니에 [eqn: 1,~1,~2,~3,~4`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4`]개의 공을 동시에 꺼내어 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 공에 적혀있는 수를 [eqn: a,~b,~c,~d`]라 할 때, [eqn: a le b le c le d`]일 확률은? [4점][2015년 9월 가15]

①

1) 1을 두 개 포함한 경우 [eqn: left( 1,~1,~ BOX{`} ,~box {`} right)]

1의 공 두 개를 다른 것으로 취급해 계산한다.

[eqn: {`` _{2} C _{2} TIMES ` _{3} C _{2} `` TIMES 2!} over {{} _{5} P _{4}}]

2) 1을 한 개 포함한 경우(1,2,3,4)

[eqn: {`` _{2} C _{1} TIMES ` _{3} C _{3} ``} over {{} _{5} P _{4}}]

1), 2)에 의하여

[eqn: THEREFORE {1} over {20} + {1} over {60} = {1} over {15}]

① [eqn: 1 over 15]	② [eqn: 1 over 12]	③ [eqn: 1 over 9]	④ [eqn: 1 over 6]	⑤ [eqn: 1 over 3]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~ b`]라 하자. 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -7x+10`]에 대하여
[eqn: f(a)f(b)<0`]이 성립할 확률은? [4점][2016년 6월 가14]

④

시행의 결과 나올 수 있는 순서쌍 [eqn: (a`,~b)]의 개수는 [eqn: 36]가지이다.

[eqn: f(x)`=` x^2 -7x+10]의 그래프를 그려보면

[eqn: f(1)>0 `,~f(2)`=`0 `,~f(3)<0 `,~f(4)<0`,~f(5)`=`0`,~f(6)>0]

임을 알 수 있다.

[eqn: f(a)f(b)<0]이 성립하는 순서쌍 [eqn: (a`,~b)]은

[eqn: (1`,~3)`,] [eqn: (1`,~4)`,] [eqn: (3`,~1)`,] [eqn: (3`,~6)`,] [eqn: (4`,~1)`,] [eqn: (4`,~6)`,] [eqn: (6`,~3)`,] [eqn: (6`,~4)]

로 [eqn: 8``]개다.

따라서 구하는 확률은 [eqn: 8 over36 `=`2over9]이다.

① [eqn: 1over18`]	② [eqn: 1over9`]	③ [eqn: 1 over6`]	④ [eqn: 2 over9`]	⑤ [eqn: 5 over18`]

흰 공 [eqn: 2`]개, 빨간 공 [eqn: 4`]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2`]개의 공을 동시에 꺼낼 때 꺼낸 [eqn: 2`]개의 공이 모두 흰 공일 확률이 [eqn: q over p`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)[3점][2016년 9월 가24나26]

16

흰 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 4]개가 주머니에 들어 있으므로

공 [eqn: 2]개를 꺼내는 전체 경우의 수는

[eqn: `_6` rmC_2 = {6 cdot 5} over{2 cdot 1} = 15]

꺼낸 공이 모두 흰 공일 경우의 수는

[eqn: `_2` rmC_2 = 1]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {1}over{15}]

두 주머니 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]에는 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀 있는 4장의 카드가 각각 들어 있다. 갑은 주머니 [eqn: rm A]에서, 을은 주머니 [eqn: rm B]에서 각자 임의로 두 장의 카드를 꺼내어 가진다. 갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2017학년도 수능 가26]

11

[출제의도] 확률의 정의를 이용하여 확률을 구할 수 있는가?

갑이 주머니 [eqn: rm A]에서 두 장의 카드를 꺼내고, 을이 주머니 [eqn: rm B]에서 두 장의 카드를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: `_4 rm C_2 times _4 C_2`=` 36]

갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같은 경우의 수는 다음과 같다.
[eqn: rm i)] 갑과 을이 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 숫자가 모두 같을 때,

이때의 경우의 수는 [eqn: `_4 rm C_2`=`6]

[eqn: rm ii)] 갑이 [eqn: 1]과 [eqn: 4]가 적힌 카드를 꺼내고 을은 [eqn: 2]와 [eqn: 3]이 적힌 카드를 꺼내거나 값이 [eqn: 2]와 [eqn: 3]이 적힌 카드를 꺼내고 을이 [eqn: 1]과 [eqn: 4]가 적힌 카드를 꺼낼 경우의 수 [eqn: 2]가지

[eqn: rm i),``ii)]에서 갑이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합과 을이 가진 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 같을 확률은

[eqn: 6+2 over 36`=` 2 over 9]

[eqn: therefore p+q`=` 11]

그림과 같이 [eqn: 1,~2,~3,~4`]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 카드가 각각 [eqn: 3`]장씩 [eqn: 12`]장이 있다. 이 [eqn: 12`]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3`]장의 카드를 선택할 때, 선택한 카드 중에 같은 숫자가 적혀 있는 카드가 [eqn: 2`]장 이상일 확률은? [4점][2017년 6월 가15]

⑤

같은 숫자가 적혀있는 카드가 2장 이상일 사건을 [eqn: A `]라 하면

3장 모두 다른 카드가 나오는 사건은 [eqn: A^C`]이다.

12장의 카드 중 3장의 카드를 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm { `_12 C_3 ` }]이고

3장이 모두 다른 카드가 나오는 경우의 수는

[eqn: 1,~2,~3,~4 `]중 [eqn: 3 `]개를 선택하는 방법의 수 [eqn: rm { `_4 C_3 ` }]이고

선택된 숫자가 적혀있는 카드 [eqn: 3`]장 중 하나씩을 선택하는 방법의 수는 각각 [eqn: rm { `_3 C_1 ` }]이므로

[eqn: {rmP}(A^C ``) =rm {`_4 C _3 times `_3 C_1 times `_3 C_1 times`_3 C_1 }over {`_12 C_3 }= 27 over 55]

따라서 [eqn: {rmP}(A)=1-{rmP} (A^C ``)=1- 27 over55 = 28 over55 `]이다.

① [eqn: {12} over {55}]	② [eqn: {16} over {55}]	③ [eqn: {4} over {11}]	④ [eqn: {24} over {55}]	⑤ [eqn: {28} over {55}]

[eqn: rmA,~A,~A,~B,~B,~C]의 문자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝 모두에 [eqn: rmA]가 적힌 카드가 나오게 나열될 확률은?[4점][2017년 9월 가10나15]

②

분모 : [eqn: {6!} over {3!2!} =60]

분자  : A

A 에서

A와 A 사이에 나머지를 배열하므로 [eqn: {4!} over {2!} =12]

∴ [eqn: p]=[eqn: {12} over {60} = {1} over {5}]

① [eqn: {3}over{20}]	② [eqn: {1}over{5}]	③ [eqn: {1}over{4}]	④ [eqn: {3}over{10}]	⑤ [eqn: {7}over{20}]

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )] 중에서 임의로 한 개를 선택한다. 선택한 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) !=0] 을 만족시킬 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2018학년도 수능 가28]

19

[출제의도] 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구하고 확률을 구할 수 있는가?

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 개수는

[eqn: {} _{3} rmH _{10} = _{3+10-1} C _{10} = _{12} C _{2} = {12times11} over {2times1} =66]

이 중에서 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]이 성립하려면 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 오직 두 개만 서로 같아야 한다.

그런데 [eqn: x=y]를 만족시키는 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 0,~0,~10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~1,~8 RIGHT )], [eqn: cdots], [eqn: LEFT ( 5,~5,~0 RIGHT )]

의 [eqn: 6]개이므로 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]을 만족시키는 순서쌍의 개수는

[eqn: {} _{3} rmC _{2} times6=3times6=18]

따라서 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]이 성립할 확률은

[eqn: {18} over {66} = {3} over {11}]

이므로 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( y-z RIGHT ) LEFT ( z-x RIGHT ) !=0]이 성립할 확률은

[eqn: 1- {3} over {11} = {8} over {11}]

따라서 [eqn: p+q=11+8=19]

어느 학교 전체 학생을 대상으로 지난 한 달 동안 컴퓨터를 사용한 시간에 대하여 조사하여, 컴퓨터를 매일 [eqn: 1`]시간 이상 사용한 집단 [eqn: \A`]와 그렇지 않은 집단 [eqn: \B`]로 분류하였다.
집단 [eqn: \A`]에 속한 학생은 전체 학생의 [eqn: 60%`]이었고, 이 중에서 [eqn: 70%`]의 학생이 안경을 착용하고 있었다. 그리고 집단 [eqn: \B`]에 속한 학생의 [eqn: 40%`]가 안경을 착용하고 있는 것으로 나타났다.
이때, 임의로 한 학생을 선택하였더니 안경을 착용하고 있었다. 이 학생이 집단 [eqn: \A`]에 속할 확률을 [eqn: { q_` } over { p^` }]라 할 때, [eqn: p`+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2005년 9월 가35]

50

A집단에 속하면서 안경을 착용한 학생은 전체의 [eqn: 0.6 TIMES 0.7 TIMES 100=`42%]

B집단에 속하면서 안경을 착용한 학생은 전체의 [eqn: 0.4 TIMES 0.4 TIMES 100=`16%]

따라서, 구하는 확률은

[eqn: { 0.42 } over { 0.42+0.16 } `=` { 24 } over { 58 } `=` { 21 } over { 29 }]

∴   [eqn: p`+`q`=`29`+`21`=`50`]

<참고>

각 집단에 속하는 안경을 착용한 학생과 안경을 착용하지 않은 학생의 비율은 다음 표와 같다.

구분	안경을 착용한 학생	안경을 착용하지 않은 학생	계
집단A	42%	18%	60%
집단B	16%	24%	40%
계	58%	42%	100%

여학생 [eqn: 100]명과 남학생 [eqn: 200]명을 대상으로 영화 [eqn: \A]와	영화 [eqn: \B]의 관람 여부를 조사하였다. 그 결과 모든 학생은 적어도 한 편의 영화를 관람하였고, 영화 [eqn: \A]를 관람한 학생 [eqn: 150]명 중 여학생이 [eqn: 45]명이었으며, 영화 [eqn: \B]를 관람한 학생 [eqn: 180]명 중 여학생이 [eqn: 72]명이었다. 두 영화 [eqn: \A,``\B]를 모두 관람한 학생들 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [4점][2007년 9월 나29]

④

학생들 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 영화 [eqn: \A`]를 관람한 사람인 사건을 [eqn: A`], 영화 [eqn: \B`]를 관람한 사람인 사건을 [eqn: B`], 여학생일 사건을 [eqn: C`]라 하면

[eqn: \P(A`∩B) = {150+180-300} over {300} = {1} over {10}]

[eqn: \P(A`∩B`∩C`) = {45+72-100} over {300} = {17} over {300}]

[eqn: THEREFORE ~\P(C∣A`∩ B`) =][eqn: { \P(C`∩A`∩ B`) }_` over { \P(A`∩B)}][eqn: =`{{17} over {300} } over { {1} over {10}} = {17} over {30}]

① [eqn: {31_`} over {60`}]	② [eqn: {8_`} over {15`}]	③ [eqn: {11_`} over {20`}]	④ [eqn: {17_`} over {30`}]	⑤ [eqn: {7_`} over {12`}]

어느 지역에서 발생한 식중독과 음식 [eqn: A]의 연관성을 알아보기 위해 [eqn: 300]명을 조사하여 다음 결과를 얻었다.

조사 대상 [eqn: 300]명 중에서 임의로 선택된 사람이 [eqn: A]를 먹은 사람일 때 이 사람이 식중독에 걸렸을 확률을 [eqn: p _{1}], [eqn: A]를 먹지 않은 사람일 때 이 사람이 식중독에 걸렸을 확률을 [eqn: p _{2}]라고 하자. [eqn: {p _{1}} over {p _{2}}]의 값은?  [4점][2010년 9월 나28]

③

[eqn: p_1 = 22 over 50], [eqn: p_2 = 24 over 250] 이므로 [eqn: p_1 over p_2 = {22 over 50} over {24 over 250} = 55 over 12]

① [eqn: {11} over {3}]	② [eqn: {25} over {6}]	③ [eqn: {55} over {12}]	④ [eqn: {21} over {4}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

[eqn: rm A`]역에서 출발하여 다른 역을 거치지 않고 [eqn: rmB `]역만을 거쳐 [eqn: rm C `]역으로 가는 기차가 있다. [eqn: rm A `]역에서 비어 있는 기차에 남자 [eqn: 90]명, 여자 [eqn: 60]명의 승객이 승차하였다. [eqn: rm B `]역에서는 남자 [eqn: 18]명, 여자 [eqn: 12]명의 승객이 하차하고 남자 [eqn: 60]명, 여자 [eqn: 60]명의 승객이 승차하여 [eqn: rm C`]역으로 이동하였다. [eqn: rm B `]역에서 [eqn: rm C `]역으로 가는 도중에 임의로 선택된 한 승객이 여자였을 때, 이 승객이 [eqn: rm A `]역에서 승차한 승객일 확률은? (단, 하차한 승객이 하차한 역에서 다시 승차하는 경우는 없다.) [4점][2012년 10월 나13]

④

	[eqn: rmA]역	[eqn: rmB]역
	승차	하차	승차
남자	[eqn: 90]	[eqn: 18`]	[eqn: 60`]
여자	[eqn: 60`]	[eqn: 12`]	[eqn: 60`]

[eqn: rmB`]역에서 [eqn: rmC`]역으로 가는 도중 기차에 타고 있는 승객의 수는 남자 [eqn: 90-18+60=132`], 여자 [eqn: 60-12+60=108`]이므로 전체 승객은 [eqn: 240`]이다.

여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {108} over {240}]이고, [eqn: rmA`]역에서 승차한 여자 승객이 선택될 확률은 [eqn: {60-12} over {240} = {48} over {240} `]이므로

구하는 확률은 [eqn: {{ 48} over {240 }} over { { 108} over {240 }} = {4} over {9}]

① [eqn: 1 over 9 `]	② [eqn: 2over 9 `]	③ [eqn: 1over 3`]	④ [eqn: 4 over 9 `]	⑤ [eqn: 5 over 9 `]

휴대 전화의 메인 보드 또는 액정 화면 고장으로 서비스센터에 접수된 [eqn: 200``]건에 대하여 접수 시기를 품질보증 기간 이내, 이후로 구분한 결과는 다음과 같다.

			(단위: 건)
구분	메인 보드 고장	액정 화면 고장		합계
기간 이내	[eqn: 90]	[eqn: 50]		[eqn: 140]
기간 이후	[eqn: a]	[eqn: b]		[eqn: 60]

접수된 [eqn: 200``]건 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1``]건이 액정 화면 고장 건일 때, 이 건의 접수 시기가 품질보증 기간 이내일 확률이 [eqn: 2 over 3``]이다. [eqn: a-b``]의 값을 구하시오. (단, 메인 보드와 액정 화면 둘 다 고장인 경우는 고려하지 않는다.) [3점][2013년 9월 가25 가25]

10

액정 화면 고장 건일 사건을 [eqn: A], 품질 보증 기간 이내일 사건을 [eqn: B]라고 하면

조건부 확률 [eqn: P(B□A)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)} `= {50} over {50+b} `= {2} over {3}]

∴[eqn: b=25], [eqn: a=60-b=35]   ∴[eqn: a-b=10]

어느 학교의 전체 학생 [eqn: 320]명을 대상으로 수학동아리 가입여부를 조사한 결과 남학생의 [eqn: 60%]와 여학생의 [eqn: 50%]가 수학동아리에 가입하였다고 한다. 이 학교의 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때 이 학생이 남학생일 확률을 [eqn: p_1], 이 학교의 수학동아리에 가입한 학생 중 임의로 [eqn: 1]명을 선택할 때 이 학생이 여학생일 확률을 [eqn: p_2]라 하자. [eqn: p_1 = 2p_2]일 때, 이 학교의 남학생의 수는? [4점][2015학년도 수능 가15]

④

남학생인 사건을 [eqn: A`], 수학동아리에 가입한 사건을 [eqn: B`]라 하자

[eqn: P`(B``□A)= {3} over {5}] 에서 [eqn: {P`(A SMALLINTER B)} over {P`(A)} = {3} over {5}]

[eqn: THEREFORE `P`(A SMALLINTER B)= {3} over {5} P(A)]

[eqn: P`(B``□A ^{C} )= {1} over {2}] 에서 [eqn: {P`(A ^{C} SMALLINTER B)} over {P`(A ^{C} `)} = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `P`(A ^{C} ` SMALLINTER B)= {1} over {2} P(A ^{C} `)= {1} over {2} LEFT { 1-P(A) RIGHT }]

이때,

[eqn: p _{1} =P`(A`□`B)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)}]

[eqn: p _{2} =P`(A ^{C} `□`B)= {P(A ^{C} SMALLINTER B)} over {P(B)}]

이고 [eqn: p _{1} `=`2``p _{2} `] 이므로

[eqn: {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)} = {2P(A ^{C} SMALLINTER B)} over {P(B)}]

[eqn: {3} over {5} P(A)=1-P(A)]

[eqn: THEREFORE `P(A)= {5} over {8}]

따라서, 구하는 남학생의 수는

[eqn: 320 TIMES {5} over {8} =200(명)]

① [eqn: 170]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 190]	④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 210]

어느 회사의 직원은 모두 [eqn: 60`]명이고, 각 직원은 두 개의 부서 [eqn: rmA], [eqn: rm B] 중 한 부서에 속해 있다. 이 회사의 [eqn: rm A```]부서는 [eqn: 20`]명, [eqn: rm B```]부서는 [eqn: 40`]명의 직원으로 구성되어 있다. 이 회사의 [eqn: rm A```]부서에 속해 있는 직원의 [eqn: 50%`]가 여성이다. 이 회사 여성 직원의 [eqn: 60%`]가 [eqn: rm B```]부서에 속해 있다. 이 회사의 직원 [eqn: 60`]명 중에서 임의로 선택한 한 명이 [eqn: rm B```]부서에 속해 있을 때, 이 직원이 여성일 확률은 [eqn: p`]이다. [eqn: 80p`]의 값을 구하시오. [4점][2016학년도 수능 나26]

표와 같이 두 상자 [eqn: rmA,~B`]에는 흰 구슬과 검은 구슬이 섞여서 각각 [eqn: 100`]개씩 들어 있다.

30

상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]에서 모두 흰 구슬을 [eqn: 1`]개씩 꺼낼 확률은

[eqn: a over 100 times 100-2a over 100 `]

이고, 상자 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]에서 모두 검은 구슬을 [eqn: 1`]개씩 꺼낼 확률은

[eqn: 100-a over 100 times 2a over 100 `]

이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: { a over 100 times 100-2a over 100 } over { a over 100 times 100-2a over 100 + 100-a over 100 times 2a over 100} `=` 2 over 9]

[eqn: Lrarrow] [eqn: 10a^2 `=` 300a]

∴ [eqn: a `=` 30]

(단위: 개)

	상자 [eqn: rmA]	상자 [eqn: rmB]
흰 구슬	[eqn: a]	[eqn: 100-2a]
검은 구슬	[eqn: 100-a]	[eqn: 2a]
합계	[eqn: 100]	[eqn: 100]

두 상자 [eqn: rmA,``B`]에서 각각 [eqn: 1`]개씩 임의로 꺼낸 구슬이 서로 같은 색일 때, 그 색이 흰색일 확률은 [eqn: {2} over {9} `]이다. [eqn: a`]의 값을 구하시오.[4점][2016년 6월 나27]

흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내어, 꺼낸 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 하자. 이 시행에서 [eqn: 2m geq n]일 때, 꺼낸 흰 공의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: {q} over{p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2017년 6월 나28]

43

[eqn: 3]개의 공을 꺼내므로 [eqn: m+n=3]

따라서 [eqn: 2m geq 3-m]

[eqn: therefore~m geq1]

ⅰ) [eqn: m=1]

흰 공이 [eqn: 1]개, 검은 공이 [eqn: 2]개일 확률이므로

[eqn: {`_{3}{rmC}_{1} times `_{4}{rmC}_{2} }over{`_{7}{rmC}_{3}}={18}over{35}]

ⅱ) [eqn: m=2]

흰 공이 [eqn: 2]개, 검은 공이 [eqn: 1]개일 확률이므로

[eqn: {`_{3}{rmC}_{2} times `_{4}{rmC}_{1} }over{`_{7}{rmC}_{3}}={12}over{35}]

ⅲ) [eqn: m=3]

흰 공이 [eqn: 3]개일 확률이므로

[eqn: {`_{3}{rmC}_{3}}over{`_{7}{rmC}_{3}}={1}over{35}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {{12}over{35}}over{{18}over{35}+{12}over{35}+{1}over{35}}={12}over{31}]

[eqn: therefore ~p+q=43]

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던져 나온 눈의 수가 같으면 한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던지고, 나온 눈의 수가 다르면 한 개의 동전을 [eqn: 2]번 던진다. 이 시행에서 동전의 앞면이 나온 횟수와 뒷면이 나온 횟수가 같을 때, 동전을 [eqn: 4]번 던졌을 확률은? [4점][2017년 6월 가17]

①

주사위의 눈이 같은 사건 [eqn: rm`A], 앞면과 뒷면이 나온 횟수가 같은 사건 [eqn: rm`B]라 하자.

주사위의 눈이 같아서 동전을 4번 던진 후 뒷면과 앞면이 나온 횟수가 같을 확률은

[eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)= {1} over {6} TIMES {{}_{4} rmC _{2}} over {2 ^{4}} = {1} over {6} TIMES {3} over {8} = {1} over {16} ```]

주사위의 눈이 달라서 동전을 2번 던진 후 뒷면과 앞면의 나온 횟수가 같을 확률

[eqn: {rmP}(A ^{C} SMALLINTER B ^{} )= {5} over {6} TIMES {{}_{2} rmC _{1}} over {2 ^{2}} = {5} over {6} TIMES {1} over {2} = {5} over {12} ````]

[eqn: {rmP}(A`|`B)= {{rmP}(A SMALLINTER B)} over {{rmP}(A SMALLINTER B)+ {rmP}(A ^{c} SMALLINTER B)} = {{1} over {16}} over {{1} over {16} + {5} over {12}} = {3} over {23}]

① [eqn: {3} over {23}]	② [eqn: {5} over {23}]	③ [eqn: {7} over {23}]	④ [eqn: {9} over {23}]	⑤ [eqn: {11} over {23}]

그림과 같이 주머니 [eqn: A ``]에는 [eqn: 1``]부터 [eqn: 6``]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 6``]장의 카드가 들어 있고 주머니 [eqn: B``]와 [eqn: C ``]에는 [eqn: 1``]부터 [eqn: 3``]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 3``]장의 카드가 각각 들어 있다. 갑은 주머니 [eqn: A``]에서, 을은 주머니 [eqn: B``]에서, 병은 주머니 [eqn: C``]에서 각자 임의로 [eqn: 1``]장의 카드를 꺼낸다. 이 시행에서 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을이 꺼낸 카드에 적힌 수보다 클 때, 갑이 꺼낸 카드에 적힌 수가 을과 병이 꺼낸 카드에 적힌 수의 합보다 클 확률이 [eqn: k ``]이다. [eqn: 100k``]의 값을 구하시오. [4점][2017년 9월 가28]

50

갑, 을, 병이 뽑은 카드 숫자의 전체 순서쌍 개수는

[eqn: 6 TIMES 3 TIMES 3=54``]

갑이 꺼낸 카드의 숫자가 을이 꺼낸 카드의 숫자보다 큰 사건을　사건 [eqn: A``]라 하고, 갑이 꺼낸 카드의 숫자가 을과 병이 꺼낸 카드에 적힌 수의 합보다 큰 사건을 사건 [eqn: B``]라 하자.

이 때, 사건 [eqn: A``]의 경우의 수를 보면

[eqn: (갑，을）＝（2`,``1)`,``(3`,``1)`,``(3`,``2)`,``(4`,``1)`,``(4`,``2)`,``(4`,``3)`,# ~~~~~~~~~~~``(5`,``1)`,``(5`,``2)`,``(5`,``3)`,``(6`,``1)`,``(6`,``2)`,``(6`,``3)``]

위의 [eqn: 12``]가지 경우마다 병이 꺼낸 카드의 숫자가 ３가지씩이므로　[eqn: 12times3=36``]가지이다．

[eqn: therefore``rmP(itA)= {36} over {54} = {2} over {3} ``]

사건 [eqn: A SMALLINTER B``]의 경우의 수는

갑	을	병
[eqn: 3``]	[eqn: 1``]	[eqn: 1``]
[eqn: 4``]	[eqn: 1#1#2``]	[eqn: 1#2#1``]
[eqn: 5``]	[eqn: 1#1#1#2#2#3``]	[eqn: 1#2#3#1#2#1``]
[eqn: 6``]	[eqn: 1#1#1#2#2#2#3#3``]	[eqn: 1#2#3#1#2#3#1#2``]

[eqn: 18``]가지 이므로 [eqn: rmP(itA SMALLINTERB)= { 18} over {54 }= { 1} over {3 }``]

[eqn: THEREFORE rm P( B |A)= rm {P( it A SMALLINTER B)} overP(A) = {{1} over {3}} over {{2} over {3}}``= 1over2 `]

[eqn: k= {1} over {2}``],　[eqn: 100k=50~``]

[eqn: rmA]대학교에서는 수시모집과 정시모집으로 입학생을 선발한다. 수시모집은 정시모집보다 먼저 실시하고, 수시모집에 지원하여 합격한 학생은 정시모집에 지원할 수 없다고 한다. 어떤 고등학생 [eqn: 3`]명이 [eqn: rmA]대학교의 수시모집에 지원하였을 때 합격할 확률은 각각 [eqn: 1 over 2 `]이고, 정시모집에 지원하였을 때 합격할 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}]이라고 하자. 이 학생 [eqn: 3`]명이 [eqn: rmA]대학교의 수시모집에 모두 지원하고, 이 중 불합격한 학생은 다시 [eqn: rmA]대학교의 정시모집에 지원한다고 할 때, [eqn: 3`]명 중 [eqn: 2`]명이 합격할 확률은? (단, 각 학생이 [eqn: rmA]대학교에 합격하는 사건은 서로 독립이다.) [4점][2009년 3월 가29]

①

[eqn: rmA`]대학교에 합격하려면 수시모집에서 합격하거나, 수시모집에서 불합격하고 정시모집에서 합격해야 하므로 한 학생이 [eqn: rmA`]대학교에 합격할 확률은

[eqn: {1} over {2} + {1} over {2} ` TIMES {1} over {3} `=` {2} over {3}]이다.

따라서 [eqn: 3`]명 중 [eqn: 2`]명이 합격할 확률은

[eqn: ` _{3} rm C _{2}` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )` = {4} over {9}]이다.

① [eqn: {4} over {9}]	② [eqn: {14} over {27}]	③ [eqn: {5} over {9}]	④ [eqn: {16} over {27}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

각 면에 [eqn: 1,~ 2,~ 3,~ 4 `]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자를 던져 밑면에 적힌 숫자를 읽기로 한다. 이 상자를 [eqn: 3`]번 던져 [eqn: 2`]가 나오는 횟수를 [eqn: m,~2`]가 아닌 숫자가 나오는 횟수를 [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: i ^{`|m-n|} `=` - i `]일 확률은? (단, [eqn: i = root-1]) [4점][2016년 6월 가19]

②

각 면에 [eqn: 1,~2,~3,~4`]의 숫자가 하나씩 적혀있는 정사면체를 한 번 던졌을 때 [eqn: 2 `]가 나오는 사건을 [eqn: A`]라 하면 2가 아닌 숫자가 나오는 사건은 [eqn: A^c `]이고 각각의 확률은 [eqn: {\P}(A)= 1over4 ,~{\P}(A^c ) = 3over4]이다.

이러한 정사면체를 [eqn: 3 `]번 던져서 사건 [eqn: A `]가 [eqn: m ``]번,

사건 [eqn: A^c `]가 [eqn: n `]번 나올 확률은 [eqn: `_3 {\C}_ m left( 1over4 right)^r left( 3over4 right)^n = `_3 {\C}_ m left( 1over4 right)^r left( 3over4 right)^3-m]이다.

주어진 조건 [eqn: i^{vertm-n vert} =-i`]에서

i) [eqn: m=3,~n=0 `]일 때 [eqn: i^{vertm-n vert} =i^3 =-i`]

ii) [eqn: m=2,~n=1 `]일 때 [eqn: i^{vertm-n vert} =i ``not=`-i`]

iii) [eqn: m=1,~n=2 `]일 때 [eqn: i^{vertm-n vert} =i ``not = `-i`]

iv) [eqn: m=3,~n=0 `]일 때 [eqn: i^{vertm-n vert} =i^3 =-i`]

이므로 조건을 만족하는 경우는 i) iv) 가 되어, 구하는 확률은

[eqn: rm `_3 C_ 0 left( 1over4 right)^0 left( 3over4 right)^3 +`_3 C_ 3 left( 1over4 right)^3 left( 3over4 right)^0][eqn: = 27over 64 + 1over64][eqn: = 7 over16]

① [eqn: 3 over 8]	② [eqn: 7 over 16]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 9 over 16]	⑤ [eqn: 5 over 8]

한 개의 동전을 [eqn: 6]번 던질 때, 앞면이 나오는 횟수가 뒷면이 나오는 횟수보다 클 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2018학년도 수능 나28]

43

[출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 확률을 구할 수 있는가?

앞면이 [eqn: 6]회, 뒷면이 [eqn: 0]회 나올 확률은 [eqn: {} _{6} {rmC} _{0} LEFT( {1} over {2} RIGHT) ^{6}]

앞면이 [eqn: 5]회, 뒷면이 [eqn: 1]회 나올 확률은 [eqn: {} _{6} rm C it _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

앞면이 [eqn: 4]회, 뒷면이 [eqn: 2]회 나올 확률은 [eqn: {} _{6} rm C it rm _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {} _{6} rm C it rm _{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + _{6} rm C it it _{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + _{6} rm C it rm _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

[eqn: = LEFT ( {} _{6} rm C it rm _{0} + _{6} rm C it rm _{1} + _{6} rm C it rm _{2} RIGHT)TIMESLEFT( { 1} over { 2}RIGHT)^6]

[eqn: = LEFT ( 1+6+15 RIGHT ) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6}]

[eqn: = {22} over {64} = {11} over {32}]

이므로

[eqn: p+q=32+11=43]

다음은 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: left(x+a^{2} right)^{n}]과 [eqn: (x^{2}-2a ) (x+a )^{n}]의 전개식에서 [eqn: x^{n-1}]의 계수가 같게 되는 두 자연수 [eqn: a]와 [eqn: n left(n geq 4 right)]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

①

[eqn: x^{2}(x+a)^{n}]의 전개식에서 일반항이

[eqn: x^{2}cdot_{n}{rmC}_{r}`a^{n-r}x^{r}={}_{n}{rmC}_{r}`a^{n-r}x^{r+2}]이므로

[eqn: x^{n-1}]의 계수는 [eqn: {}_{n}{rmC}_{n-3}`a^{3}]이다. 따라서 [eqn: box{~(가)~}`=_{n}{rmC}_{3}]    [eqn: cdots①]

[eqn: a^{2}n=_{n}{rmC}_{3}timesa^{3}-2a^{2}n]의 양변을 정리하면

[eqn: a={18}over{(n-1)(n-2)]이므로

[eqn: box{~(나)~}`=(n-1)(n-2)]    [eqn: cdots②]

[eqn: a]가 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4]이상의 자연수이므로 [eqn: n=4]이다.

따라서 [eqn: box{~(다)~}`=4]    [eqn: cdots③]

①, ②, ③에 의해

[eqn: f(n)=_{n}{rmC}_{3},~g(n)=(n-1)(n-2),~k=4]이다.

그러므로 [eqn: f(4)+g(4)=_{4}{rmC}_{3}+(4-1)(4-2)=4+6=10]

[eqn: left(x+a^{2} right)^{n}]의 전새식에서 [eqn: x^{n-1}]의 계수는 [eqn: a^{2}n]이다.

[eqn: (x^{2}-2a ) (x+a )^{n} = x^{2}(x+a )^{n}-2a(x+a )^{n}]에서

[eqn: x^{2}(x+a )^{n}]을 전개하면 [eqn: x^{n-1}]의 계수는 [eqn: box{``~㈎``~ }` timesa^{3}]이고,

[eqn: 2a(x+a )^{n}]을 전개하면 [eqn: x^{n-1}]의 계수는 [eqn: 2a^{2}n]이다.

따라서 [eqn: (x^{2}-2a ) (x+a )^{n}]의 전개식에서 [eqn: x^{n-1}]의 계수는

[eqn: box{``~㈎~`` }` timesa^{3} - 2a^{2}n]

이다. 그러므로

[eqn: a^{2}n = `box{``~㈎``~ }` timesa^{3} - 2a^{2}n]

이고, 이 식을 정리하여 [eqn: a]를 [eqn: n]에 관한 식으로 나타내면

[eqn: a={18} over{ box{``~㈏~``}]

이다. 여기서 [eqn: a]는 자연수이고 [eqn: n]은 [eqn: 4] 이상의 자연수이므로

[eqn: n= box{~``㈐~``}]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: f(k)+g(k)]의 값은? [4점][2017년 6월 가나19]

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

다음은 [eqn: n``]명의 사람이 각자 세 상자 [eqn: A,~B,~C``] 중 [eqn: 2``]개의 상자를 선택하여 각 상자에 공을 하나씩 넣을 때, 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수를 구하는 과정이다. (단, [eqn: n``]은 [eqn: 6``]의 배수인 자연수이고 공은 구별하지 않는다.)

①

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는 ‘(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(iii) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(i)의 경우 :

[eqn: n``]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n``]명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n``]개의 상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: {BOX{~ LEFT ( 가 RIGHT ) `` _{3} `{rmH} _{n} ~~}}``]이다.

(ii)의 경우 :

각 상자에 [eqn: 2n over3 ``]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 [eqn: 1``]이다.

(iii)의 경우 :

두 상자 [eqn: A,~B``]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 [eqn: C``] 에는 최대 [eqn: n``]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 [eqn: A,~B``]에 각각 [eqn: n over2 ``]개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: A,~B``]에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는

	[eqn: A``]상자	[eqn: B``]상자	[eqn: C``]상자
공의개수	[eqn: {n} over {2}``]	[eqn: {n} over {2}``]	[eqn: n``]
	[eqn: {n} over {2} +1``]	[eqn: {n} over {2} +1``]	[eqn: n-2``]
	[eqn: {n} over {2} +2``]	[eqn: {n} over {2} +2``]	[eqn: n-4``]
	[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]
	[eqn: {2n} over {3}``]	[eqn: {2n} over {3}``]	[eqn: {2n} over {3}``]
	[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]	[eqn: vdots``]
	[eqn: n``]	[eqn: n``]	[eqn: 0``]

위의 표와 같이 [eqn: A`,``B`,``C``] 세 상자 모두 공의 개수가 같은 것 포함하여 [eqn: {BOX{~ LEFT ( 나 RIGHT ) `` {n} over {2} `+1~~}} ``]이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: rm ` _{3} C _{2} TIMES LEFT ( {BOX{~ LEFT ( 나 RIGHT ) ` {itn} over {2} +1~~}} `-1 RIGHT )``]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는  [eqn: {BOX{~ LEFT ( 다 RIGHT ) ` _{3} `{rmH}` _{n} `- LEFT ( 1+ {3n} over {2} RIGHT ) ~}} ``]이다.

이를 종합하면

[eqn: f(n)`=` ``][eqn: `_3 rmH _{itn} ``], [eqn: g(n) `=` n over2 +1``], [eqn: h(n) `=` ` _{3} `{rmH}` _{n} `- LEFT ( 1+ {3n} over {2} RIGHT ) ~}} ``]이다.

따라서

[eqn: {f(30)}over{g(30)}`+`h(30) `=` {`_3 {rmH}_30 } over {30over2 +1} +_3 {rmH}_30 - left( 1+ {3 times30 }over2 right)``]

[eqn: `=``][eqn: 31+ 496-(1+45) `=` 481``]이다.

세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우는
‘(i) 세 상자에 공이 들어가는 모든 경우’에서 ‘(ii) 세 상자에 모두 같은 개수의 공이 들어가는 경우’와 ‘(iii) 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우’를 제외하면 된다.

(i)의 경우 :

[eqn: n``]명의 사람이 각자 세 상자 중 공을 넣을 두 상자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: n``]명의 사람이 각자 공을 넣지 않을 한 상자를 선택하는 경우의 수와 같다. 따라서 세 상자에서 중복을 허락하여 [eqn: n``]개의 상자를 선택하는 경우의 수인 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}``]이다.

(ii)의 경우 :

각 상자에 [eqn: 2n over3 ``]개의 공이 들어가는 경우뿐이므로 경우의 수는 [eqn: 1``]이다.

(iii)의 경우 :

두 상자 [eqn: A,~B``]에 같은 개수의 공이 들어가면 상자 [eqn: C``] 에는 최대 [eqn: n``]개의 공을 넣을 수 있으므로 두 상자 [eqn: A,~B``]에 각각 [eqn: n over2 ``]개보다 작은 개수의 공이 들어갈 수 없다. 따라서 두 상자 [eqn: A,~B``]에 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}} ``]이다.

그러므로 세 상자 중 두 상자에만 같은 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: rm { `_3 C _2 times left( {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}` -1 right) }``]이다.

따라서 세 상자에 서로 다른 개수의 공이 들어가는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}} ``]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n),~g(n),~h(n)``]이라 할 때, [eqn: {f(30)}over{g(30)}`+`h(30)``]의 값은? [4점][2017년 9월 가20]

① [eqn: 481``]	② [eqn: 491``]	③ [eqn: 501``]	④ [eqn: 511``]	⑤ [eqn: 521``]