세 숫자 [eqn: 1,```2,```3]을 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`]가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는? [3점][2004학년도 수능 가나14]

⑤

① [eqn: 1,```2,```3]을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수 : [eqn: rm`_3 PI_4]

② [eqn: 1,```3]을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수 : [eqn: rm`_2 PI_4]

③ [eqn: 2,```3]을 중복 사용하여 만든 네 자리의 자연수 : [eqn: rm`_2 PI_4]

따라서, [eqn: 1`]과 [eqn: 2`]가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는

[eqn: rm`_3 PI_4`-`(rm`_2 PI_4`+rm`_2 PI_4`)`+`1=50]

(단, 더해진 [eqn: 1`]은 [eqn: 3333]이 두 번 빠지므로 한 번은 더해준다.)

① [eqn: 58]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: 7`]개의 문자 [eqn: a,``a,``b,``b,``c,``d,``e``]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a``]끼리 또는 [eqn: b``]끼리 이웃하게 되는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점][2004년 6월 나30]

600

(i) [eqn: a] 끼리 이웃하는 경우의 수는 [eqn: a, a`]를 묶어서 하나로 생각하면

[eqn: 6! over 2! =360] (가지)

(ii) [eqn: b`]끼리 이웃하는 경우의 수는 [eqn: b,~b`]를 묶어서 하나로 생각하면

[eqn: 6! over 2! =360] (가지)

(iii) [eqn: a`]는 [eqn: a`]끼리 [eqn: b`]는 [eqn: b`]끼리 동시에 이웃하는 경우의 수는

[eqn: 5! =120] (가지)

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 360+360-120= 600] (가지)

[eqn: 1,```2,```2,```4,```5,```5]를 일렬로 배열하여 여섯 자리 자연수를 만들 때, [eqn: 300000`]보다 큰 자연수의 개수를 구하시오.[4점][2005학년도 수능 나30]

90

[eqn: 300000]보다 큰 자연수는 다음과 같이 구분하여 생각할 수 있다.

(i) 십만자리의 수가 [eqn: 4`]인 경우의 수는 [eqn: 1,```2,```2,```5,```5]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: 5! over{ 2! 2 !} = 30](개)

(ii) 십만자리의 수가 [eqn: 5`]인 경우의 수는 [eqn: 1,```2,```2,```4,```5]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: 5! over{ 2 !} = 60](개)

따라서, (i), (ii)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 30+60 =90](개)

[eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지의 홀수 중에서 서로 다른 두 수를 선택할 때, 두 수의 합이 [eqn: 3`]의 배수가 되는 경우의 수는?[4점][2006학년도 수능 나28]

⑤

[eqn: 1`]부터 [eqn: 30`]까지의 홀수 중에서 [eqn: 3`]으로 나눈 나머지가

[eqn: r] ([eqn: r=0,```1,```2])인 집합을 [eqn: A_r]라 하면

[eqn: A _{0} = LEFT { 3,```9,```15,```21,```27 RIGHT }],

[eqn: A _{1} = LEFT { 1,```7,```13,```19,```25 RIGHT }],

[eqn: A _{2} = LEFT { 5,```11,```17,```23,```29 RIGHT }]

이 때, 두 수의 합이 [eqn: 3]이 되는 경우는 다음과 같다.

i) ([eqn: A_1]의 원소)+([eqn: A_2]의 원소)인 경우

[eqn: `_5 C_1 times _5 C_1 =][eqn: 5×5=25](가지)

ii) ([eqn: A_0]의 원소)+([eqn: A_0]의 원소)인 경우

[eqn: `_5 C_2 =][eqn: 5×4 over 2 = 10](가지)

이상에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 25+10=35](가지)

① [eqn: 43]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 35]

일곱 개의 문자 [eqn: A], [eqn: A], [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E] 중에서 [eqn: 3]개의 문자를 뽑아 일렬로 나열할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. [3점][2007년 4월 가19]

73

(ⅰ) [eqn: A]를 3개 선택하는 경우 : 1가지

(ⅱ) [eqn: A]를 2개 선택하는 경우 : [eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES {3!} over {2!} =12]가지

(ⅲ) [eqn: A]를 1개 선택하는 경우 : [eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES3! =36]가지

(ⅳ) [eqn: A]를 선택하지 않는 경우 : [eqn: {} _{4} rm P _{3} =24]가지

따라서 [eqn: 1+12+36+24`=73]가지

자연수 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8]에서 어느 두 수의 합도 [eqn: 9]가 되지 않는 서로 다른 [eqn: 4]개의 수를 뽑아 네 자리의 자연수를 만들려고 한다. 이 때, 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수는? [[eqn: 4]점][2010년 4월 가39]

①

두 수의 합이 [eqn: 9]가 되는 네 개의 집합 [eqn: LEFT { 1,~8 RIGHT } ,~ LEFT { 2,~7 RIGHT } ,] [eqn: LEFT { 3,~6 RIGHT } ,~ LEFT { 4,~5 RIGHT }]에 대하여 각각의 집합에서 하나의 원소를 뽑아 네 수를 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: 2 ^{4} TIMES 4!`=384]가지이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 424]	③ [eqn: 464]	④ [eqn: 504]	⑤ [eqn: 544]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 8`]장의 카드 중에서 동시에 [eqn: 5`]장의 카드를 선택하려고 한다. 선택한 카드에 적혀 있는 수의 합이 짝수인 경우의 수는? [4점][2016년 3월 나17]

②

[출제의도] 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.

선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수이고 [eqn: 1`]부터 [eqn: 8`]까지의 모든 자연수의 합이 [eqn: 36`]으로 짝수이다. 여기서 선택한 카드에 적혀 있는 [eqn: 5`]개의 수의 합이 짝수인 경우는 선택되지 않는 카드 [eqn: 3`]장에 적혀 있는 세 수의 합이 짝수인 경우와 같다.

세 수의 합이 짝수가 되는 경우는 세 수가 모두 짝수이거나, 세 수 중 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우이다.

ⅰ) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{3} =4]

ⅱ) 세 수 중 짝수 [eqn: 1`]개, 홀수 [eqn: 2`]개인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES _{4} rm C _{2} =4times6=24]

ⅰ), ⅱ)로부터 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+24=28]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

다음 조건을 만족시키는 네 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]로 이루어진 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수를 구하시오. [4점][2017년 3월 가26]

6

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

네 자연수의 합이 [eqn: 6`]인 경우는 [eqn: 1+1+1+3`] 또는 [eqn: 1+1+2+2`]의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: 1+1+1+3`]인 경우
[eqn: 1 times1 times1 times3 =3`]이므로 곱이 [eqn: 4`]의 배수가 아니다.

(ⅱ) [eqn: 1+1+2+2`]인 경우
[eqn: 1 times1 times2 times2 =4`]이므로 곱이 [eqn: 4`]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해서 조건을 만족시키는 네 자연수는 [eqn: 1`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 2`]이다.

따라서 가능한 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수는 [eqn: {4!} over {2!2!} =6]

(가) [eqn: a+b+c+d=6`]

(나) [eqn: a TIMES b TIMES c TIMES d`]는 [eqn: 4`]의 배수이다.

남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 2]명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 한 줄에 [eqn: 2]개의 의자가 있고 모두 [eqn: 5]줄로 되어 있다. 남학생 [eqn: 1]명과 여학생 [eqn: 1]명이 짝을 지어 [eqn: 2]명씩 같은 줄에 앉을 때, [eqn: 4]명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점][2006년 6월 나30]

160

놀이 기구의 좌석을 다음과 같이 나타내면

A
B

(i) A행의 좌석에서 [eqn: 2`]개를 택하여 남학생 두 명을 앉히는 방법의 수는 [eqn: `_5 \P_2 = 5 times 4 = 20`] (가지)

각각의 옆자리에는 여학생을 앉히는 방법의 수는 [eqn: 2`](가지)

이므로 구하는 방법의 수는 [eqn: 20 times 2`=40] (가지)

마찬가지로, A행의 두 좌석에 여학생을 앉히는 방법을 생각하면 구하는 경우의 수는 [eqn: 20 times 2`=40] (가지)

(ii)남학생 [eqn: 1`]명과 여학생 [eqn: 1`]명을 택하여 A행의 두 좌석에서 앉히면 그 옆자리에 앉는 사람은 주어진 조건에 의해 자동으로 결정되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: `_2 \C_1 times `_2 \C_1 times `_5 \P_2 = 2 times 2 times20] [eqn: =80](가지)

따라서 (i), (ii)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 40 + 40 + 80 = 160] (가지)

어른 [eqn: 2]명과 어린이 [eqn: 3]명이 함께 놀이 공원에 가서 어느 놀이기구를 타려고 한다. 이 놀이기구는 그림과 같이 앞줄에 [eqn: 2]개, 뒷줄에 [eqn: 3]개의 의자가 있다. 어린이가 어른과 반드시 같은 줄에 앉을 때, [eqn: 5]명이 모두 놀이기구의 의자에 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점][2007학년도 수능 나23]

72

어른 2명이 앉는 방법 : [eqn: 2 TIMES 3TIMES 2`! =12]가지

어린이 3명이 앉는 방법 : [eqn: 3!`=6]가지

[eqn: THEREFORE ```12 TIMES 6=72]가지

그림과 같이 다섯 개의 영역으로 나누어진 도형이 있다.
각 영역에 빨간색, 노란색, 파란색 중 한 가지 색을 칠하는데, 인접한 영역은 서로 다른 색을 칠하여 구별하려고 한다.
칠할 수 있는 방법의 수를 구하시오. [4점][2007년 10월 가나24]

36

그림에서 [eqn: {rmA}], [eqn: {rmB}`]영역에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: 3``]가지, [eqn: 2``]가지이다.

(ⅰ) [eqn: \C], [eqn: \D``]영역에 같은 색을 칠하고 [eqn: \E``]영역을 칠하는 경우 : [eqn: 2TIMES2``]가지

(ⅱ) [eqn: \C], [eqn: \D``]영역에 다른 색을 칠하고
[eqn: \E``]영역을 칠하는 경우 : [eqn: 2TIMES1]가지

[eqn: THEREFORE] [eqn: 3 TIMES 2 TIMES( 2 TIMES 2 + 2 TIMES1) =36]

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 가족이 있다. 이 가족 [eqn: 6]명이 그림과 같은 [eqn: 6]개의 좌석에 모두 앉을 때, 할아버지, 할머니가 같은 열에 이웃하여 앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점][2008년 9월 가나23]

64

할아버지, 할머니가 앉는 열과 아버지, 어머니가 앉는 열을 정하는 경우의 수는 2(가지)

그 각각에 대하여 아들과 딸이 앉는 열을 정하는 경우의 수는 2(가지)

1열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

2열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는 [eqn: 2×2 ×4 ×4` = 64`](가지)

남학생 [eqn: 4]명, 여학생 [eqn: 2]명이 그림과 같이 [eqn: 9]개의 자리가 있는 원탁에 다음 두 조건에 따라 앉으려고 할 때, 앉을 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [[eqn: 4]점][2013년 7월 가27]

48

(ⅰ) 남학생 [eqn: 4]명 중 [eqn: 2]명씩 조를 만드는 경우의 수 [eqn: {} _{4} rm C it _{2} TIMES ` {1} over {2!}]

(ⅱ) [eqn: 2]명의 학생과 [eqn: 1]개의 빈자리를 묶어서 생각하면 [eqn: 3]개의 묶음을 원형으로 배열하는 원순열의 경우의 수 [eqn: (3-1)!]

(ⅲ) 같은 조의 학생끼리 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2^3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: therefore] [eqn: {}_4 {rm C}_2 times` 1 over2! times (3-1)! times 2^3 `=` 48]

	(가) 남학생, 여학생 모두 같은 성별끼리 [eqn: 2`]명씩 조를 만든다. (나) 서로 다른 두 개의 조 사이에 반드시 한 자리를 비워둔다.

여학생 [eqn: 3`]명과 남학생 [eqn: 6`]명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 [eqn: 1`]명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. [eqn: 9`]명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 [eqn: n` TIMES 6!`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) [4점][2017년 3월 가15]

②

[출제의도] 순열의 성질과 원순열이 활용된 실생활 문제를 해결한다.

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 달라야 하므로 각각 [eqn: 1`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 3`]명이고 이를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

남학생을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 6!]

그러므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! times 3! times 6!][eqn: =12 times 6!]

따라서 [eqn: n= 12]

[다른 풀이]

여학생 [eqn: 3`]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: (3-1)! =2!]

각 경우에 대하여 여학생과 여학생 사이 세 곳에 앉는 남학생의 수는 모두 다르므로 남학생 [eqn: 6`]명이 [eqn: 3`]명, [eqn: 2`]명, [eqn: 1`]명의 세 조로 나뉘어 여학생과 여학생 사이에 앉아야 한다.

이와 같이 남학생을 세 조로 나누는 경우의 수는

[eqn: rm _{6} rm C _{3} TIMES _{3} C _{2} TIMES _{1} C _{1} = {6!} over {3!`2!}]

각 경우에 대하여 세 조를 여학생과 여학생 사이의 세 곳에 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

각 경우에 대하여 남학생끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES 2! TIMES 1!]

이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES {6!} over {3!2!} TIMES 3! TIMES 3! TIMES 2! TIMES 1!`=12 TIMES 6!]

따라서 [eqn: n=12`]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

직사각형 모양의 잔디밭에 산책로가 만들어져 있다. 이 산책로는 그림과 같이 반지름의 길이가 같은 원 [eqn: 8]개가 서로 외접하고 있는 형태이다.

40

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B지점

A지점

[그림 1]

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A

B

[그림 2]

P

Q

[그림 1]에서 A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수는 [그림 2]에서 A 지점에서 출발하여 실선을 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수와 같다.

(1) A → P → B의 경우

[eqn: left( 4! over {2!``2!}` - 1 right) × 4! over 3! = 5 × 4 = 20`](가지)

(2) A → Q → B의 경우

[eqn: 4! over 3! × left( 4! over {2!``2!}` - 1 right)= 4×5 = 20`](가지)

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20+20 = 40`](가지)

[eqn: \A]지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 [eqn: \B]지점에 도착하는 경우의 수를 구하시오. (단, 원 위에 표시된 점은 원과 직사각형 또는 원과 원의 접점을 나타낸다.)[4점][2009학년도 수능 나25]

그림과 같이 직사각형으로 이루어진 도로망이 있다. [eqn: RM`A]지점에서 [eqn: RM`B]지점까지 최단거리로 갈 때, [eqn: RM`P]와 [eqn: RM`Q]두 지점을 모두 지나는 경로의 수를 구하시오 [3점][2010년 4월 가40]

24

[eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]로 가는 길: [eqn: 2]가지
[eqn: rmP]에서 [eqn: rmQ]로 가는 길: [eqn: 2]가지
[eqn: rmQ]에서 [eqn: rmB]로 가는 길: [eqn: 6]가지
따라서, 구하고자 하는 경로의 수는

[eqn: 2 TIMES 2 TIMES 6=24]가지이다.

그림과 같이 마름모 모양으로 연결된 도로망이 있다.
이 도로망을 따라 [eqn: rmA`]지점에서 출발하여 [eqn: rmB`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는? [3점][2012년 9월 가05]

④

A

C

B

A 지점에서 C 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!2!} =6]

C 지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!2!} =6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6times6=36]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 교차로 [eqn: rmP`]와 교차로 [eqn: rm Q`]를 지날 때에는 직진 또는 우회전은 할 수 있으나 좌회전은 할 수 없다고 한다. 이때, [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rmB`]지점까지 최단거리로 가는 방법의 수를 구하시오. [4점][2004년 10월 가나24]

두 집합 [eqn: X``= LEFT { 1 RIGHT .], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: LEFT. 5 RIGHT }], [eqn: Y``= LEFT { 1 RIGHT .], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: LEFT . 7 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 모두 만족하는 함수 [eqn: f`:`X``` -> `Y] 의 개수는? [3점][2008년 4월 가36]

①

조건에 의하여 순서가 정해지므로

[eqn: 1],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 4]에서 [eqn: 3]개를 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm {} _{4} C _{3} =4]

[eqn: 6],[eqn: 7]에서 [eqn: 1]개를 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm {} _{2} C _{1} =2]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm {} _{4} C _{3} TIMES _{2} C _{1} =8]

(ㄱ) [eqn: f(4)=5]

(ㄴ) 집합 [eqn: X] 의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여
[eqn: x _{1} <x _{2}] 이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x _{2} )]이다.

①  [eqn: 8]	②  [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

집합 [eqn: A="{"1,~2,~3,~4"}"]에서 [eqn: A]로의 함수 [eqn: f] 중에서,
[eqn: f(1)<f(2) <= f(3)] 을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?[3점][2010년 대전11월 가나07]

①

[출제의도] 규칙을 찾아 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmi)] [eqn: f(1)<f(2)=f(3)]일 때, [eqn: f(1),~f(2)=f(3)]을 정한 후, [eqn: f(4)]를 정하면 되므로 [eqn: `_4 rm C_2 times `_4 rm C_1 =24]

[eqn: rm ii)] [eqn: f(1)<f(2)<f(3)]일 때, [eqn: f(1),~f(2),~f(3)]을 정하는 것은 [eqn: 4]개에서 [eqn: 3]개를 정하는 경우이므로 [eqn: ` _{4} rm C _{3} TIMES ` _{4} rm C _{1} =16]

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: `_4 rm C_2 times `_4 rm C_1 + ` _{4} rm C _{3} TIMES ` _{4} rm C _{1} =24+16=40]

① [eqn: 40]	② [eqn: 44`]	③ [eqn: 48`]	④ [eqn: 52`]	⑤ [eqn: 56`]

집합 [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2`]인
부분집합을 두 개 선택할 때, 선택한 두 집합이 서로 같지
않은 경우의 수를 구하시오. [4점][2017년 6월 가27]

45

집합 [eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2`]인 부분집합은 [eqn: rm { `_5 C_2` }][eqn: `=`10]개가 있으므로 이 [eqn: 10`]개 중에서 [eqn: 2`]개를 선택하는 방법의 수를 구하면

[eqn: `_10 {rmC}_2 `=` {10 times 9} over2 `=`45]이다.

집합 [eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5,``6 RIGHT }`]에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

18

[출제의도] 경우의 수를 이용하여 함수의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

조건 (나)에서 [eqn: f(2n)<f(n)<f(3n)]이므로

[eqn: n=1]일 때, [eqn: f(2)<f(`1)<f(3)]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: f(4)<f(2)<f(6)]

[eqn: f(4)<f(2)<f(1)<f(3)] 이고 [eqn: f(2)< f(6)`]이므로

[eqn: 6`]개의 숫자 중 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(6)]에 대응될 [eqn: 5`]개를 선택하면 [eqn: f(5)`]에 대응될 나머지 한 수와 [eqn: 5`]개의 수 중 [eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 수가 정해진다.

[eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 [eqn: f(6)`]에 대응될 수를 선택하면 [eqn: f(1)`]과 [eqn: f(3)`]에 대응되는 수도 정해진다.

구하는 경우의 수는 [eqn: 6`]개의 숫자 중 [eqn: 5`]개를 선택하는 경우의 수 [eqn: {`}_{6}` \C _5]와 [eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 [eqn: f(6)`]에 대응되는 수를 선택하는 경우의 수 [eqn: 3`]의 곱과 같다.

따라서 [eqn: {`}_{6}` \C _5 times 3][eqn: = 18]

(가) 함수 [eqn: f(x)`]는 일대일 대응이다.

(나) [eqn: 1 LEQ n LEQ 2`]일 때, [eqn: f(2n)<f(n)<f(3n)`]이다.

함수 [eqn: f(x)`]의 개수를 구하시오. [4점][2017년 10월 가26]

다음 표와 같이 3개 과목에 각각 2개의 수준으로 구성된 6개의 과제가 있다. 각 과목의 과제는 수준 Ⅰ의 과제를 제출한 후에만 수준 Ⅱ의 과제를 제출할 수 있다. 예를 들어 ‘국어 [eqn: A] [eqn: ->] 수학 [eqn: A] [eqn: ->] 국어 [eqn: B] [eqn: ->] 영어 [eqn: A] [eqn: ->] 영어 [eqn: B] [eqn: ->]수학 [eqn: B] ’ 순서로 과제를 제출할 수 있다.

과목 수준	국어	수학	영어
Ⅰ	국어 [eqn: A]	수학 [eqn: A]	영어 [eqn: A]
Ⅱ	국어 [eqn: B]	수학 [eqn: B]	영어 [eqn: B]

6개의 과제를 모두 제출할 때, 제출 순서를 정하는 경우의 수를 구하시오.[4점][2009년 9월 나30]

90

국어 [eqn: A,B]는 배열순서가 정해져 있으므로 같은 문자로 취급한다. 수학 영어도 마찬가지로 생각하면

[eqn: aabbcc]와 같은 문자를 배열하는 방법의 수와 같다.

[eqn: therefore 6! over2!2!2! = 90]가지

두 인형 [eqn: rm A,```B]에게 색이 정해지지 않은 셔츠와 바지를 모두 입힌 후, 입힌 옷의 색을 정하는 컴퓨터 게임이 있다. 서로 다른 모양의 셔츠와 바지가 각각 [eqn: 3]개씩 있고, 각 옷의 색은 빨강과 초록 중 하나를 정한다. 한 인형에게 입힌 셔츠와 바지는 다른 인형에게 입히지 않는다. [eqn: rm A]인형의 셔츠와 바지의 색은 서로 다르게 정하고, [eqn: rm B]인형의 셔츠와 바지의 색도 서로 다르게 정한다. 이 게임에서 두 인형 [eqn: rm A,```B]에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정할 때, 그 결과로 나타날 수 있는 경우의 수는?[4점][2010학년도 수능 나14]

④

[eqn: rmA]인형의 셔츠의 모양을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]가지

[eqn: rmB]인형의 셔츠의 모양은 [eqn: rmA]인형의 셔츠의 모양과 다르므로 [eqn: rmB]인형의 셔츠의 모양을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]가지

마찬가지로 [eqn: rmA]인형과 [eqn: rmB]인형의 바지의 모양을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: 3]가지와 [eqn: 2]가지

한편, [eqn: rmA]인형의 셔츠와 바지의 색이 서로 다르므로 셔츠와 바지의 색은 (빨강, 초록), (초록, 빨강)의 [eqn: 2]가지

마찬가지로 [eqn: rmB]인형의 셔츠와 바지의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]가지

따라서, [eqn: rmA]인형에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: (3 TIMES 3) TIMES 2=18](가지)

[eqn: rmB]인형에게 셔츠와 바지를 입히고 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: (2 TIMES 2) TIMES 2=8](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는 [eqn: 18 TIMES 8=144](가지)

① [eqn: 252]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 180]	④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 108]

그림과 같이 최대 6개의 용기를 넣을 수 있는 원형의 실험기구가 있다. 서로 다른 6개의 용기 [eqn: A,``B,``C,``D,``E,``F]를 이 실험 기구에 모두 넣을 때, [eqn: A]와 [eqn: B]가 이웃하게 되는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

②

A와 B를 한 묶음으로 생각해서 5개를 원형의 실험기구에 넣는 경우의 수는 [eqn: (5-1)! = 4! = 24]

또한, A와 B가 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2! = 2]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 24 TIMES 2 = 48]

[3점][2011년 9월 가06]

① [eqn: 36]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 60]	④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 84]

장미 [eqn: 8`]송이, 카네이션 [eqn: 6`]송이, 백합 [eqn: 8`]송이가 있다. 이 중 [eqn: 1`]송이를 골라 꽃병 [eqn: \A`]에 꽂고, 이 꽃과는 다른 종류의 꽃들 중 꽃병 [eqn: \B`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이를 고르는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 종류의 꽃은 서로 구분하지 않는다.) [4점][2016년 10월 가26]

20

[출제의도] 합의 법칙을 이해하여 경우의 수를 구한다.

ⅰ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 장미를 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

ⅱ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 카네이션을 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 장미가 [eqn: a`]송이, 백합이 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)], [eqn: (7,``2)], [eqn: (8,``1)]의 [eqn: 8`]이다.

ⅲ) 꽃병 [eqn: rmA`]에 백합을 꽂은 경우
꽃병 [eqn: rmB`]에 꽂을 꽃 [eqn: 9`]송이 중 카네이션이 [eqn: a`]송이, 장미가 [eqn: b`]송이라 하면 [eqn: (a,``b)`]로 가능한 경우의 수는 [eqn: (1,``8)], [eqn: (2,``7)], [eqn: (3,``6)], [eqn: (4,``5)], [eqn: (5,``4)], [eqn: (6,``3)`]의 [eqn: 6`]이다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6+8+6=20]

꽃병 [eqn: rm A]

꽃병 [eqn: rmB]

이틀 동안 진행하는 어느 축제에 모두 다섯 개의 팀이 참가하여 공연한다. 매일 두 팀 이상이 공연하도록 다섯 팀의 공연 날짜와 공연 순서를 정하는 경우의 수는? (단, 공연은 한 팀씩 하고, 축제 기간 중 각 팀은 [eqn: 1]회만 공연한다.) [3점][2017년 6월 가13]

③

첫째 날 공연하는 팀의 수를 [eqn: x `]라 하고

둘째 날 공연하는 팀의 수를 [eqn: y `]라 하자.

[eqn: x+y=5`]이고 [eqn: x ge2 ,~y ge2 `]이므로

[eqn: x=2,~y=3 `]또는 [eqn: x=3,~y=2 `] 이다.

[eqn: i)`] [eqn: x=2,~y=3 `]일 때 다섯 팀을 분할하면 [eqn: rm { `_5 C_2 times `_3 C_3 =10 ` }]이고

공연하는 순서를 정하는 방법의 수는 [eqn: 2 ! times 3! =12`] 이다.

따라서 공연 날짜와 공연순서를 정하는 경우의 수는

[eqn: 10 times12=120 `]가지이다.

[eqn: ii)`] [eqn: x=3,~y=2 `]일 때 다섯 팀을 분할하면 [eqn: rm { `_5 C_3 times `_2 C_2 =10 ` }]이고

공연하는 순서를 정하는 방법의 수는 [eqn: 3 ! times 2! =12`] 이다.

따라서 공연 날짜와 공연순서를 정하는 경우의 수는

[eqn: 10 times12=120 `]가지이다.

[eqn: i)`]과 [eqn: ii)`]의 경우를 모두 더하면 전체 경우의 수는

[eqn: 120+120=240 `~]가지이다.

① [eqn: 180]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]	④ [eqn: 270]	⑤ [eqn: 300]

그림과 같이 [eqn: 6`]개의 섬이 다리로 연결되어 있다. 흰색, 노란색, 파란색 깃발이 각각 [eqn: 2`]개씩 총 [eqn: 6`]개 있을 때, 이 [eqn: 6`]개의 깃발을 섬에 한 개씩 세우고자 한다. 다리로 연결된 이웃한 두 섬에는 같은 색의 깃발을 세우지 않는다고 할 때, 깃발을 세우는 경우의 수는? (단, 같은 색의 깃발끼리는 서로 구별하지 않는다.) [3점][2017년 10월 가13]

④

[출제의도] 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 6개의 섬에 ①부터 ⑥까지의 번호를 부여하자.

②번 섬은 다른 [eqn: 4`]개의 섬과 다리로 연결되어 있으므로 ②번 섬에 세우는 깃발의 색부터 먼저 고려한다.

②번 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는 [eqn: 3`]

②번 섬에 세우는 깃발과 같은 색의 다른 깃발은 항상 ⑥번 섬에 세워야 한다.

남은 두 색의 깃발 중 한 가지 색을 선택하여 ①번 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는 [eqn: 2`]

①번 섬에 세우는 깃발과 같은 색의 다른 깃발은 ③번 또는 ⑤번 섬에 세워야 한다.

그러므로 두 섬 중 한 섬을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2`]

나머지 두 섬에는 남은 깃발을 세운다.

따라서 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는

[eqn: 3 times 2 times 2][eqn: =][eqn: 12]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

서로 다른 공 [eqn: 4]개를 남김없이 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 나누어 넣으려고 할 때, 넣은 공의 개수가 [eqn: 1]인 상자가 있도록 넣는 경우의 수는? (단, 공을 하나도 넣지 않은 상자가 있을 수 있다.)[4점][2018학년도 수능 가18]

②

[출제의도] 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 수 있는가?

(ⅰ) 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가 [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0]인 경우
서로 다른 [eqn: 4]개의 공을 [eqn: 3]개, [eqn: 1]개로 나누는 경우의 수는
[eqn: {} _{4} rmC _{3} times _{1} C _{1} = _{4} C _{1} times _{1} C _{1} =4times1=4]
[eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0]을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]
따라서 서로 다른 공 [eqn: 4]개를 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가

[eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 0], [eqn: 0]인 경우의 수는
[eqn: 4times12=48]

(ⅱ) 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]인 경우
서로 다른 [eqn: 4]개의 공을 [eqn: 2]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개로 나누는 경우의 수는
[eqn: {} _{4} rmC _{2} times _{2} C _{1} times _{1} C _{1} =6times2times1=12]
[eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]
따라서 서로 다른 공 [eqn: 4]개를 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가

[eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]인 경우의 수는

[eqn: 12times12=144]

(ⅲ) 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]인 경우
서로 다른 공 [eqn: 4]개를 서로 다른 상자 [eqn: 4]개에 넣은 공의 개수가

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1]인 경우의 수는
[eqn: 4!`=24]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 48+144+24=216]

① [eqn: 220]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 212]	④ [eqn: 208]	⑤ [eqn: 204]

[eqn: LEFT { `1`,``2`,``3`,``4` RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { `1`,``2`,``3`,``4`,``5`,``6`,``7`` RIGHT }]로의 함수 중에서
[eqn: x _{1} <x _{2} ````]일 때, [eqn: f(x _{1} ) GEQ f(x _{2} )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오. [4점][2005년 6월 가40]

210

구하는 함수의 개수는 공역의 7개의 원소 중에서 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: THEREFORE ` _{7+4-1} C _{4} = _{10} C _{4} =210]

[eqn: (a+b+c)^4 (x+y)^3``]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오. [4점][2012년 5월 나27]

흰색 탁구공 [eqn: 8]개와 주황색 탁구공 [eqn: 7]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는? [4점][2014학년도 수능 나18]

① [eqn: 295]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 305]	④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 315]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,~b,~ c ``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,~ b,~ c) ``]의 개수는? [4점][2014년 6월 가20]

㈎ [eqn: a+b+c = 6]

㈏ 좌표평면에서 세 점 [eqn: (1,~ a) ,~ (2,~ b),~(3,~ c) ``]가
한 직선 위에 있지 않다.

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: abc=2 ^{n} ``]을 만족시키는 1보다 큰 자연수 [eqn: a`,``b`,``c``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c``)`]의 개수가 28일 때, [eqn: n``]의 값을 구하시오.[4점][2014년 9월 가26]

９

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: abc`=`2^n``]을 만족시키는

[eqn: 1`]보다 큰 자연수 [eqn: a`,``b`,``c``]는 [eqn: 2^p](단, [eqn: p]는 자연수)꼴이므로

[eqn: a`=`2^x`,~b`=`2^y`,~c`=`2^z]이라 하면 [eqn: 2^x+y+z`=`2^n] 이고

[eqn: x+y+z`=`n] 을 만족시키는 자연수 [eqn: x`,~y`,~z]의 순서쌍 [eqn: (x,~y`,~z)] 개수가 [eqn: 28]일 때이다.

즉, [eqn: `_3 H _n-3 `=`_n-1 C_n-3 `=`_n-1 C_2 `=` {(n-1)(n-2)} over2 `=`28]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9]이다.

연립방정식
[eqn: cases{x+y+z +3w=14 _`#x+y+z+w =10 ^`]
을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: (x, ``y, ``z, ``w)]의 개수는? [4점][2015학년도 수능 나18]

②

[eqn: x+y+z+3w=14``` CDOTS ``(ㄱ)]

[eqn: x+y+z+w=10````` CDOTS ``(ㄴ)]

(ㄱ)에서 (ㄴ)을 변끼리 빼면

[eqn: 2w=4````````````````` THEREFORE w=2]

(ㄴ)에서 [eqn: w=2]를 대입하여 정리하면 [eqn: x+y+z=8]

따라서, [eqn: x+y+z=8`]을 만족하는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,``y`,``z``]의 순서쌍 [eqn: (`x`,``y`,``z``)]의 개수는 서로 다른 3개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{3+8-1} C _{8} ``=` _{10} `C _{2} `= {10 TIMES 9} over {2 TIMES 1} =45]

이때, [eqn: w`]는 항상 2이므로 순서쌍 [eqn: (`x`,``y`,``z`,``w`)]의 개수도 45이다

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, ``b, ``c)]의 개수를 구하시오. [4점][2015학년도 수능 가26]

220

[eqn: a TIMES b TIMES c``]가 홀수이므로, [eqn: a`,``b`,``c``]는 모두 홀수이다

이때, [eqn: a LEQ b LEQ c LEQ 20`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c``)]는

[eqn: 1`,``3`,``5`,`` CDOTS `,`19``]에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {} _{10} H _{3} = _{12} C _{3} `= {12 TIMES 11 TIMES 10} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =220]

(가) [eqn: a times b times c]는 홀수이다.

(나) [eqn: a leb lec le20]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,~y`,~z`,~u``]의 모든 순서쌍 [eqn: (`x`,~y`,~z`,~u`)``]의 개수를 구하시오. [4점][2015년 6월 가27]

68

[eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6]인 경우의 수에서 [eqn: x`=`u]인 경우의 수를 빼면 된다.

[eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6] 을 만족하는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_4 H` _6 `=`` _4+6-1 C `_6 `=``_9 C_6 `=`84]이고

① [eqn: x`=`u`=`0``]일 때

[eqn: y+z`=`6]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_6 `=``_7 C_6 `=`7``]가지

② [eqn: x`=`u`=`1``]

[eqn: y+z`=`4]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_4 `=``_5 C_4 `=`5``]가지

③ [eqn: x`=`u`=`2``]

[eqn: y+z`=`2]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_2 `=``_3 C_2 `=`3``]가지

④ [eqn: x`=`u`=`3``]

[eqn: y+z`=`0]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: y`=`0`,~z`=`0``]인 [eqn: 1``]가지

따라서 구하는 순서쌍 ([eqn: x`,~y`,~z`,~u]) 의 개수는

[eqn: 84-(7+5+3+1)`=`68``]가지이다.

(가) [eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6]

(나) [eqn: x` !=`u``]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d``]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수를 구하시오. [4점][2015년 9월 가27]

32

① [eqn: {d`=`2``} ``]일 때,

[eqn: a`=`2p`,~b`=`2q`,~c`=`2r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 2p`+`2q`+`2r`=`18``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`9`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와 같으므로 [eqn: {`_3 H _9-3 `=``_8 C_6 `=``_8 C_2 `=`28``}]가지이다.

② [eqn: d`=`3``]일 때,

[eqn: a`=`3p`,~b`=`3q`,~c`=`3r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면 [eqn: 3p`+`3q`+`3r`=`17``]을 만족시키는 자연수 [eqn: p`,~q`,~r``]은 존재하지 않는다.

③ [eqn: {d`=`4``}``]일 때,

[eqn: a`=`4p`,~b`=`4q`,~c`=`4r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면 [eqn: 4p`+`4q`+`4r`=`16``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`4`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와 같으므로 [eqn: {`_3 H _4-3 `=``_3 C_1 `=`3``}]가지이다.

④ [eqn: {d`=`5``}``]일 때,

[eqn: a`=`5p`,~b`=`5q`,~c`=`5r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면 [eqn: 5p`+`5q`+`5r`=`15``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`3`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]은 [eqn: (1`,~1`,~1)``]밖에 없으므로 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는 1가지이다.

⑤ [eqn: d ge6``]이면 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]은 존재하지 않는다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는 [eqn: 28`+`3`+`1 `=`32``]가지이다.

(가) [eqn: a`+`b`+`c`+d`=`20]

(나) [eqn: a`,~b`,~c``]는 모두 [eqn: d```]의 배수이다.

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d ``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, ```b, ```c , ``` d `) `]의 개수는? [4점][2015년 9월 나19]

①

1) [eqn: d = 0]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 10]

(나)조건의 [eqn: a+b+c Le 5 `]에 모순

2) [eqn: d=1 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 7]

(나)조건의 [eqn: a+b+c Le 5 `]에 모순

3) [eqn: d = 2 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 4]   ∴ [eqn: `_3 `{\H}_4 `=` 15]

4) [eqn: d = 3 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 1]   ∴ [eqn: `_3 `{\H}_1 `=` 3]

1), 2), 3), 4)로부터 구하고자 하는 순서쌍 [eqn: (a, ```b, ```c, ```d )`]의 개수는 [eqn: 15+3 `=`18]

(가) [eqn: a+b+c+ 3d `=` 10]

(나) [eqn: a+b+c Le 5]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: e`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d,```e)]의 개수는?[4점][2016학년도 수능 나17]

④

[출제의도]  중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

[eqn: 0]인 것 [eqn: 2]개를 정하는 경우의 수는

[eqn: {} _{5} rmC _{2} = {5 TIMES 4} over {2 TIMES 1} =10]	[eqn: ······] ㉠

[eqn: a=b=0]일 때 [eqn: c+d+e=10]을 만족시키는 자연수 [eqn: c,~d,~e]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( c,~d,~e RIGHT )]의 개수는

[eqn: c=c'+1], [eqn: d=d'+1], [eqn: e=e'+1](단, [eqn: c',~d',~e']는 음이 아닌 정수)

라 하면

[eqn: LEFT ( c'+1 RIGHT ) + LEFT ( d'+1 RIGHT ) + LEFT ( e'+1 RIGHT ) =10]

[eqn: c'+d'+e'=7]

을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( c',~d',~e' RIGHT )]의 개수와 같으므로

[eqn: {} _{3+7-1} rmC _{7}][eqn: = _{9} rmC _{7} = _{9} C _{2}][eqn: = {9 TIMES 8} over {2 TIMES 1} =36]	[eqn: ······] ㉡

㉠, ㉡에서 구하고자 하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 10 TIMES 36=360]

(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: e`] 중에서 [eqn: 0`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(나) [eqn: a+b+c+d+e=10]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]	④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

세 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여
[eqn: 1 le |`a`| le|`b`| le|`c`| le 5]
를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는?[4점][2016학년도 수능 가14]

③

[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

주어진 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT | `]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT | RIGHT ) `]의 개수는 [eqn: 5] 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

이때 [eqn: a,~b,~c`]는 각각 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있으므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수는 [eqn: LEFT ( LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT | RIGHT ) `]의 개수의 [eqn: 2 ^{3}]배와 같다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: {} _{5} rmH _{3} TIMES 2 ^{3}][eqn: = _{5+3-1} rmC _{3} TIMES 8] [eqn: = _{7} rmC _{3} TIMES 8][eqn: = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3 TIMES 2 TIMES 1} TIMES 8][eqn: =280]

① [eqn: 360]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 280]	④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 200]

방정식 [eqn: x+y+z+5w=14]를 만족시키는 양의 정수
[eqn: x,~y,~z,~w`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z,~w RIGHT )]의 개수는?[4점][2016년 6월 나18]

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

사과, 감, 배, 귤 네 종류의 과일 중에서 [eqn: 8`]개를 선택하려고 한다. 사과는 [eqn: 1`]개 이하를 선택하고, 감, 배, 귤은 각각 [eqn: 1`]개 이상을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 각 종류의 과일은 [eqn: 8`]개 이상씩 있다.) [4점][2016년 6월 가27]

36

선택되는 8개 중에 사과의 개수를 [eqn: x], 감의 개수를 [eqn: y], 배의 개수를 [eqn: z], 귤의 개수를 [eqn: w] 라 하면

[eqn: x+y+z+w=8] [eqn: (x leq1,~ y geq 1, ~ z geq 1,~ w geq 1)]

ⅰ) [eqn: x=0] 일 때

[eqn: y+z+w=8] [eqn: (y geq 1, ~ z geq 1,~ w geq 1)]이고

[eqn: y=y'+1], [eqn: z=z'+1], [eqn: w=w'+1]이라 하면

[eqn: y'+z'+w'=5] [eqn: (y' geq 0, ~ z' geq 0,~ w' geq 0)]이므로

구하는 경우의 수는 [eqn: `_{3} {rmH}_{5} =`_{7} {rmC}_{5} =21]

ⅱ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: y+z+w=7] [eqn: (y geq 1, ~ z geq 1,~ w geq 1)]이고

[eqn: y=y'+1], [eqn: z=z'+1], [eqn: w=w'+1]이라 하면

[eqn: y'+z'+w'=4] [eqn: (y' geq 0, ~ z' geq 0,~ w' geq 0)]이므로

구하는 경우의 수는 [eqn: `_{3} {rmH}_{4} =`_{6} {rmC}_{4} =15]

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: 36]가지이다.

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT (`][eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`` right)]의 개수는? [4점][2016년 7월 나17]

②

[출제의도] 중복조합을 활용하여 추론하기

네 자연수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d`] 중 홀수가 [eqn: 2`]개인 경우의 수는 [eqn: {} _{4} rm C it _{2} `=6`]

[eqn: a`,~b`,~c`,~d`] 중 두 홀수를 [eqn: 2x+1`,~2y+1],

두 짝수를 [eqn: 2z+2`,~2w+2`]라 하자.

(단, [eqn: x`,~y`,~z`,~w` RIGHT .]는 음이 아닌 정수)

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) + LEFT ( 2y+1 RIGHT ) +(2z+2)+(2w+2)=12]

[eqn: x+y+z+w=3`]

[eqn: {} _{4} rm H it rm _{3} `=` _{6} rm C _{3} `=`20]

따라서 [eqn: 6 TIMES 20=120]

(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`] 중에서 홀수의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(나) [eqn: a+b+c+d=12]

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 132]	④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 156]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a`,```b`,```c`` RIGHT ) `]의 개수를 구하시오. [4점][2017학년도 수능 가나27]

(가) [eqn: a+b+c=7]

(나) [eqn: 2^{`a} times 4^{`b}]은 [eqn: 8]의 배수이다.

다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c)`]의 개수를 구하시오. [4점][2017년 10월 나28]

96

[출제의도] 중복조합을 이해하여 순서쌍의 개수를 구한다.

[eqn: 180=2 ^{`2} TIMES 3 ^{`2} TIMES 5`]이므로

조건 (가)를 만족하는 [eqn: LEFT ( a,`b,`c RIGHT ) `]의 개수는

[eqn: a=2 ^{`x _{`1}} `3 ^{`y _{`1}} `5 ^{`z _{`1}}], [eqn: b=2 ^{`x _{`2}} `3 ^{`y _{`2}} `5 ^{`z _{`2}}], [eqn: c=2 ^{`x` _{3}} `3 ^{`y _{`3}} `5 ^{`z _{`3}} `]에서

(단, [eqn: i=1,``2,``3`]에 대하여 [eqn: x _{`i} ,``y _{`i} ,``z _{`i} `]는 음이 아닌 정수)

[eqn: x _{`1} +x _{`2} +x _{`3} =2], [eqn: y _{`1} +y _{`2} +y _{`3} =2], [eqn: z _{`1} +z _{`2} +z _{`3} =1]

[eqn: rm rm _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`2} TIMES ` _{3`} H _{`1}][eqn: = rm ` _{4`} C _{`2} TIMES ` _{4`} C _{`2} TIMES _{3`} C _{`1}][eqn: =108] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)는 [eqn: a != b], [eqn: b != c], [eqn: c != a`]이므로

이를 만족하지 않는 경우는

[eqn: a=b] 또는 [eqn: a=c] 또는 [eqn: b=c`]이다.

이 중 [eqn: a=b=c`]인 경우는 존재하지 않는다.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중 두 수가 같은 순서쌍은

[eqn: (1,``1,``180)], [eqn: (2,``2,``45)], [eqn: (3,``3,``20)], [eqn: (6,``6,``5)`]

[eqn: (1,``180,``1)], [eqn: (2,``45,``2)], [eqn: (3,``20,``3)], [eqn: (6,``5,``6)`]

[eqn: (180,``1,``1)], [eqn: (45,``2,``2)], [eqn: (20,``3,``3)], [eqn: (5,``6,``6)`]이므로

조건 (나)를 만족하지 않는 순서쌍의 개수는 [eqn: 12] [eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

따라서 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 108-12=96]

(가) [eqn: abc=180]

(나) [eqn: (a-b)(b-c)(c-a) != 0`]