3. [eqn: n]은 자연수이다. [eqn: n+1]개 항의 등차수열 [eqn: left{x _{ n}}right]과 등비수열 [eqn: left{y _{ n}}right]이 다음의 식을 만족한다.

[eqn: 1=x _{0} <x _{1} <x _{2} < CDOTS CDOTS <x _{n} =2,````1=y _{0} <y _{1} <y _{2} < CDOTS CDOTS <y _{n} =2]

이때, [eqn: P(n),`Q(n),`R(n),`S(n)]을 다음과 같이 정한다.

[eqn: P(n)= {x _{1} +x _{2} + CDOTS CDOTS +x _{n}} over {n} ,````Q(n)= root {n} of {x _{1} x _{2} CDOTS CDOTS x _{n}}# R(n)= {y _{1} +y _{2} + CDOTS CDOTS +y _{n}} over {n} ,````S(n)= root {n} of {y _{1} y _{2} CDOTS CDOTS y _{n}}#]

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {P(n)} ,`` lim _{n` rarrow ` INF } {Q(n)} ,`` lim _{n` rarrow ` INF } {R(n)} ,`` lim _{n` rarrow ` INF } {S(n)}]를 구하시오. (東北大, 2004)

5. 타원 [eqn: C: {x ^{2}} over {3} +y ^{2} =1]상의 [eqn: x]좌표가 양수인 점 중 정점 [eqn: A(0,`-1)]과의 거리가 최대인 점을 [eqn: P]라

하자. 그리고 또 다른 점 [eqn: Q]가 타원 [eqn: C]상을 움직일 때, 삼각형 [eqn: APQ]의 면적의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}](단,    [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (筑波大, 2004)

양의 실수 [eqn: x]에 대하여, 다음 부등식이 성립함을 보이시오.

[eqn: (1+ {1} over {x} ) ^{x} <e<(1+ {1} over {x} ) ^{x+ {1} over {2}}]  (東京大, 2016)

(1) 다음의 세 조건 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 모든 정수의 조(組) [eqn: (a _{1},`a _{2},`a _{3},`a _{4},`a _{5})]의

개수를 구하시오.

(A) [eqn: a _{1} GEQ 1]  (B) [eqn: a _{5} LEQ 4]  (C) [eqn: a _{i} LEQ a _{i+1} `(i=1,`2,`3,`4)]

(2) 다음의 세 조건 (A), (B), (C)를 모두 만족하는 모든 정수의 조(組) [eqn: (a _{1},`a _{2},`a _{3},`a _{4},`a _{5})]의

개수를 구하시오.

(A) [eqn: a _{1} GEQ 1]  (B) [eqn: a _{i} GEQ 0`(i=2,`3,`4,`5)]  (C) [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} LEQ4]

(東京醫齒大, 2006)

3. 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),`g(x)]가 다음의 네 조건을 만족한다.

(A) 임의의 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`(x)>0,``g(x)>0]

(B) 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x),``g(-x)=-g(x)]

(C) 임의의 실수 [eqn: x,`y]에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)]

(D) [eqn: lim _{x` rarrow `0} {{g(x)} over {x}} =2]

(1) [eqn: f(0),`g(0)]의 값을 구하시오.

(2) [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} - LEFT { g(x) RIGHT } ^{2}]를 구하시오.

(3) [eqn: lim _{x` rarrow `0} {{1-f(x)} over {x ^{2}}}]의 값을 구하시오.

(4) [eqn: f`'(x)]를 [eqn: g(x)]에 대해 표현하시오.

(5) 곡선 [eqn: y=f(x)g(x)], 직선 [eqn: x=a]와 [eqn: x]축이 둘러싸는 도형의 면적이 1일 때, [eqn: f(a)]의 값을         구하시오. (東京醫齒大, 2008)

3. 상자 속에 1부터 9까지의 자연수가 적힌 카드가 1장씩 들어있다. 이때 상자에서 카드를 한 장    뽑아 카드에 적힌 수를 기록하고 다시 상자 속에 넣는 시행을 3번 반복한다. 이때 기록된

숫자의 최솟값을 [eqn: m], 최댓값을 [eqn: M] 이라하자.

(1) [eqn: m>5]일 확률과 [eqn: M<5]일 확률의 합은 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값을        구하시오.

(2) [eqn: m LEQ 5 LEQ M] 일 확률은 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p-q]의 값을 구하시오.

(3) [eqn: k=1,`2,` CDOTS CDOTS ,`9]에 대해 [eqn: m LEQ k LEQ M] 일 확률을 [eqn: p(k)]라 하자. [eqn: p(k)]의 최솟값을 [eqn: t],              최댓값을 [eqn: T]라 할 때, [eqn: 729(T+t)]의 값을 구하시오. (新潟大, 2012)

4. 직각삼각형 [eqn: OPQ]의 빗변 [eqn: PQ]를 [eqn: n+1]등분한 점을 점 [eqn: P] 부터 순서대로 [eqn: M _{1} ,`M _{2} ,` CDOTS CDOTS ,`M _{n}]이라

하자. [eqn: {bar{OP}} `=a,`` {bar{OQ}} `=b]일 때, [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {{1} over {n} (OM _{1}^{``2}} +OM _{2}^{``2} + CDOTS CDOTS +OM _{n}^{``2} )]을 [eqn: a,`b]에 대해 표현하시오.

(新潟大, 1997)

3. [eqn: n]은 3 이상의 정수이다. 반지름이 1인 원에 내접하는 정[eqn: n]각형을 생각하자. 정[eqn: n]각형의 [eqn: n]개의     꼭짓점 중에서 서로 다른 세 점을 무작위로 골랐더니 삼각형이 되었을 때, 이 삼각형이

예각삼각형일 확률을 구하시오. (山梨大, 2015後)

4. 함수 [eqn: f(x)= lim _{n` rarrow ` INF } {{x ^{2n+1} +x ^{5} +x ^{3}} over {x ^{2n} +x ^{2} +1}}]의 그래프를 그리시오. (信州大, 2004)

3. 삼각형 [eqn: ABC]는 조건 [eqn: ANGLE B=2 ANGLE A,``BC=1]을 만족하는 삼각형 중에 면적이 최대인 삼각형이다.

[eqn: cos` ANGLE B= {sqrt {p} -q} over {8}](단, [eqn: p,`q]는 자연수)일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (京都大, 2014)

4. [eqn: a]는 실수이다. 함수 [eqn: f(x)]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: {cases{asin`x+cos`x&````(x LEQ {pi } over {2} )#x- pi &````(x> {pi } over {2} )}}]

(1) [eqn: f(x)]가 [eqn: x= {pi } over {2}]에서 연속이 되게 하는 [eqn: a]의 값을 구하시오.

(2) (1)에서 구한 [eqn: a]의 값에 대해, [eqn: x= {pi } over {2}]에서 [eqn: f(x)]는 미분가능함을 보이시오. (神戶大, 2007後)

4개의 숫자 1, 2, 3, 4를 사용하여 독립적으로 다섯자리의 숫자를 2개 만들고, 각각 [eqn: m,`n]이라     할 때, [eqn: m LEQ n]을 만족하는 모든 [eqn: (m,`n)]의 조의 개수를 구하시오. (鳥取大, 2015)

4. 평면상의 다각형의 각 변에 대하여 다음과 같은 조작을 실시한다.

[eqn: (*)]: 다각형의 변을 [eqn: AB]라고 가정하여, 변 [eqn: AB]의 삼등분점을 [eqn: A]와 가까운 점부터 순서대로           [eqn: C,`D]라 하고, 점 [eqn: C,`D,`E] 가 정삼각형이 되도록 다각형의 외부에 점 [eqn: E]를 잡는다.

한 변의 길이가 1인 정삼각형 [eqn: T _{0}]의 각변에 대해 조작 [eqn: (*)]를 실시한 도형을 [eqn: T _{1}], [eqn: T _{1}]에

조작 [eqn: (*)]을 실시한 도형을 [eqn: T _{2}]라 하고, 이와 같이 [eqn: T _{n}]에 조작 [eqn: (*)]을 실시한 도형을 [eqn: T _{n+1}]이라

하자.

(1) 다각형 [eqn: T _{n}]의 변의 개수 [eqn: a _{n}]과 한 변의 길이 [eqn: l _{n}]을 [eqn: n]에 대해 표현하시오.

(2) 다각형 [eqn: T _{n}]의 면적 [eqn: S _{n}]을 [eqn: n]에 대한 식으로 표현하고, [eqn: lim _{n`rarrow ` INF } {S _{n}}]이 발산하는지 또는 수렴하는지

판정하시오. 만약 수렴한다면 그 극한값을 구하시오.

(3) 다각형 [eqn: T _{n}]의 둘레의 길이 [eqn: L _{n}]을 [eqn: n]에 대한 식으로 표현하고, [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {L _{n}}]이 발산하는지 또는

수렴하는지 판정하시오. 만약 수렴한다면 그 극한값을 구하시오. (鳥取大, 2006)

2. 반지름이 1인 구 [eqn: O _{1}]에 내접하는 정육면체 [eqn: B _{1}]이 있다. 원 [eqn: O _{2}]는 이 정육면체 [eqn: B _{1}]에 내접하고,

정육면체 [eqn: B _{2}]는 원 [eqn: O _{2}]에 내접한다. 이와 같은 시행을 반복하여 구 [eqn: O _{n}], 정육면체 [eqn: B _{n}]을 얻는다.

구 [eqn: O _{n}]의 부피를 [eqn: V _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} =V _{1} +V _{2} + CDOTS CDOTS V _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {S _{n}} = {2} over {13} (p+ sqrt {q} )]

(단, [eqn: p,`q]는 자연수)일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (鳥根大, 2011)

4. [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이다. 원점 [eqn: O]를 중심으로 하는 단위원의 원주상의 서로 다른 3점 [eqn: A,`B,`C]가 조건

[eqn: (cos` theta ) {vec{OA}} +(sin` theta ) {vec{OB}} + {vec{OC}} `= {vec{0}}]을 만족한다. 삼각형 [eqn: ABC]의 둘레를 최대로 하는 [eqn: theta]의 값을

구하시오. (廣島大, 2012)

3. 반지름이 3cm인 반구 모양의 용기에 [eqn: 8 pi `cm ^{3}]만큼의 물이 차 있다. 이때 용기의 물의 중심에

반지름이 [eqn: r`cm]인 철 재질의 구를 넣었을 때, 수면의 상단과 접하였다. [eqn: r]의 값을 구하시오.

(山口大, 2015)

삼각형 [eqn: ABC]의 변 [eqn: BC,`CA,`AB]와 내접원과의 접점을 각각 [eqn: D,`E,`F]라 하자. 삼각형 [eqn: ABC]가

[eqn: ANGLE A= alpha ,` ANGLE B= beta ,` ANGLE C= {pi } over {2}]를 만족할 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 면적을 [eqn: S _{1}], 삼각형 [eqn: DEF]의 면적을

[eqn: S _{2}]라 하자. [eqn: {S _{2}} over {S _{1}}]의 최댓값을 구하시오. (札幌醫大, 2014)

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: (log _{`2} x) ^{3} -6log _{` sqrt {2}} x+k=0`]이 서로 다른 두 실근을 가질 때, [eqn: k]의 값과

그 해를 모두 구하시오. (名古屋市大, 2009)

사차함수 [eqn: f(x)=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]는 [eqn: y]축과 평행한 직선에 대하여 대칭이다.

(1) [eqn: a,`b,`c,`d]가 만족하는 관계식을 구하시오.

(2) 함수 [eqn: f(x)]는 두 이차식의 함성함수임을 보이시오. (京都附立醫大, 2006)

4. 곡선 [eqn: y=x ^{2} `(x>0)]과 [eqn: x]축에 동시에 접하고 반지름이 [eqn: {1} over {2}]인 원을 [eqn: C] 라 하자.

(1) 원 [eqn: C]의 방정식을 구하시오.

(2) 곡선 [eqn: y=x ^{2} `(x>0)]과 원 [eqn: C], [eqn: x]축으로 둘러싸인 면적의 넓이를 구하시오.

(和歌山縣立醫大, 2014)

4. 삼각형 [eqn: OAB]는 [eqn: OA=OB=2,`` ANGLE AOB= theta]를 만족하고, 선분 [eqn: OA]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점을

[eqn: C]라 하자. 그리고 세 점 [eqn: A,`B,`C] 를 모두 통과하는 원의 중심을 [eqn: P] 라 하자. [eqn: theta = {2} over {3} pi]일 때,

[eqn: □ {vec{OP}} `□]의 값을 구하시오. (金澤醫大, 2015)

7. [eqn: f(x)=acos`x,`g(x)=sin`x]가 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]에서 정의되어 있다. 곡선 [eqn: f(x)], [eqn: x]축과 [eqn: y]축으로

둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S], 곡선 [eqn: f(x)], 곡선 [eqn: y=g(x)], [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 면적을 [eqn: S _{1}]

이라 하자. [eqn: {S _{1}} over {S} = {2} over {3}]일 때, [eqn: a]의 값은 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값을          구하시오. (久留米大, 2012)

12. 삼차함수 [eqn: h(x)=px ^{3} +qx ^{2} +rx+s] 가 조건

(A) [eqn: h(1)=1,``````h(-1)=-1]

(B) 구간 [eqn: (-1,``1)]에서 극댓값 1, 극솟값 –1

을 만족시킨다.

(1) [eqn: h(x)]를 구하시오.

(2) 삼차함수 [eqn: f(x)]가 구간 [eqn: (-1,``1)]에서 [eqn: -1<f(x)<1]을 만족시킨다. [eqn: □x□>1]인 임의의 실수

[eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: □f(x)□<□h(x)□]가 성립함을 증명하시오. (東京大)

43. 주사위를 한번 던져 나온 수로 17을 나누었을 때의 나머지를 [eqn: X _{1}], 다시 주사위를 한번 던져 나온

수로 [eqn: X _{1}]를 나눈 나머지를 [eqn: X _{2}]라 하자. 이와 같은 시행을 반복하여 주사위를 던져 나온 수로

[eqn: X _{n}]을 나눈 나머지를 [eqn: X _{n+1}]이라 하자.

(1) [eqn: X _{3} =0]일 확률을 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(2) [eqn: X _{n} =5]일 확률을 [eqn: n]에 대한 식으로 표현하시오.

(3) 생략(확률의 점화식) (東京大)