64. 삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx]가 구간 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 극솟값과 극댓값을 모두

갖게 하는 실수 [eqn: (a,`b)]의 범위를 구하시오. (東京大)

65. [eqn: a]는 실수이다. 기울기가 [eqn: m]인 두 직선이 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3ax ^{2}]상의 서로 다른 두 점

[eqn: A,`B]에 각각 접한다. 이하의 물음에 답하시오.

(1) 선분 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: C] 라 할 때, [eqn: C]는 곡선 [eqn: y=x ^{3} -3ax ^{2}]상의 점임을 보이시오.

(2) 직선 [eqn: AB]의 방정식을 [eqn: y=-x-1]이라 할 때, [eqn: a+m]의 값을 구하시오. (一橋大)

68. 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +3ax+b`]([eqn: a,`b]는 정수)에 대해, 이하의 물음에 답하시오.

(1) [eqn: f(x)]가 극값을 갖게하는 [eqn: a]의 범위를 구하시오.

(2) [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 차이가 32일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

(3) (2)에서 구한 [eqn: a]의 값에 대해, 구간 [eqn: -4 LEQ x LEQ 4]에서의 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이

5라고 한다. 이 구간에서의 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: b-k]의 값을 구하시오.

(防衛大)

79. 2차이하의 다항함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c]에 대하여, [eqn: S= int _{0} ^{2} {□f`'(x)□`dx}]를 생각하자.

(1) [eqn: f(0)=0,``f(2)=2]를 만족할 때, [eqn: S]를 [eqn: a]에 대한 함수로 표현하시오.

(2) [eqn: f(0)=0,``f(2)=2]를 만족하며 [eqn: f(x)]가 변화할 때, [eqn: S]의 최솟값을 구하시오. (東京大)

87. 함수 [eqn: y=-x ^{4} +2x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]로 둘러싸인 부분이 3개이고 각각의

면적이 모두 같을 때, [eqn: k]의 값을 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)라 하자. [eqn: p+q]의 값을

구하시오. (廣島大)

53. (1) [eqn: y=sin`x`(- {pi } over {2} LEQ x LEQ {pi } over {2} )]의 역함수를 [eqn: y=f(x)]라 하자. [eqn: f`'(x)]를 구하시오.

(2) 함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} (e ^{x} + {1} over {e ^{x}} )]에 대하여 [eqn: g(x)= {d} over {dx} f(x)]라 하자. 그리고 [eqn: g(x)]의

역함수를 [eqn: h(x)]라 할 때, [eqn: (x ^{2} +1) {d ^{3}} over {dx ^{3}} h(x)+3x {d ^{2}} over {dx ^{2}} h(x)]를 구하시오.

56. 함수 [eqn: y(x)]의 이계도함수를 [eqn: y''(x)]로 표기한다. 관계식 [eqn: x ^{3} +(x+1)left{y(x)right}^{3} =1]이

성립할 때, [eqn: y''(0)]의 값을 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)라 하자. [eqn: p+q]의 값을

구하시오. (立敎大)

58. [eqn: c]는 [eqn: c<1]을 만족하는 실수이고, [eqn: f(x)]는 미분 가능한 함수이다. 이때, 임의의 [eqn: x]에

대하여 [eqn: f` prime (x)<c]를 만족한다. 이하의 명제가 성립함을 보이시오.

(1) [eqn: x GEQ 0]에서 [eqn: f(x)-f(0) LEQ cx]가 성립할 때, [eqn: x GEQ 0]에서 [eqn: f(x)-f(0) GEQ cx]가

성립한다.

(2) 방정식 [eqn: f(x)=x]는 1보다 작은 실수해를 가진다. (東京大)

64. 좌표평면상에서 연립부등식 [eqn: x ^{2} +(y-1) ^{2} LEQ 1,```x GEQ {sqrt {2}} over {3}]이 만족하는 영역을 [eqn: D] 라 하자.

이때, 직선 [eqn: l]은 원점을 통과하는 직선으로 [eqn: D] 와 공통인 선분을 갖는다. 이 선분의

길이의 최댓값을 [eqn: L]이라 하자. [eqn: L]의 값을 [eqn: a]라 하자. 그리고 [eqn: L]이 최대일 때, 직선 [eqn: l]이

[eqn: x]축과 이루는 각도를 [eqn: theta `(0< theta < {pi } over {2} )]라 할 때, [eqn: cos` theta]의 값을 [eqn: b]라 하자.[eqn: 180(ab) ^{2}]의 값을 구하시오. (東京大)

66. 직선 [eqn: y=px+q] 와 곡선 [eqn: y=log`x]가 교점을 갖게 하는 실수 [eqn: p,`q]의 필요충분조건을

구하시오. (京都大)

80. [eqn: x GEQ 0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= {cases{x&``````````(0 LEQ x LEQ 1)#0&``````````(x>1)}}] 와 같이 정의하기로 한다.

이때, [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {`n int _{0} ^{1} {f(4nx(1-x))dx}}]의 값을 [eqn: {q} over {p}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)라 하자. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (京都大)

89. 좌표공간상의 원점 [eqn: O`(0,`0,`0)]을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 생각하자. 우측의

개형도와 같이 [eqn: y]축의 음의 방향에서 태양광선이 [eqn: y]축과 이루는 각은 [eqn: {pi } over {6}]이다. 태양광선의

그래프는 [eqn: (0,` sqrt {3} ,`1)]과 평행하다고 할 때, 이하의 물음에 답하시오.

(1) 구의 [eqn: z GEQ 0] 부분에서 [eqn: xy]평면상에 생기는 그림자를 생각하자. [eqn: k]는 [eqn: -1<k<1]을

만족하는 실수이다. [eqn: xy]평면상에서 [eqn: x=k]일 때, 구의 외부에 생기는 그림자 부분의

[eqn: y]좌표를 [eqn: k]에 대해 표현하시오.

(2) 이 문제에서 제시한 그림자의 면적을 [eqn: p pi]라 하자. [eqn: 20p]의 값을 구하시오.

(3) [eqn: z GEQ 0]일 때, 구의 외부에서 태양광선이 닿지 않는 부분의 부피가 [eqn: {2} over {9} (p sqrt {3} -q pi )]이다.     [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (九州大)

主題 13. [eqn: A(-1,`0),`B(1,`0)]을 지름의 양끝으로 하는 좌표평면상의 원을 생각하자. 호 [eqn: AB]

상의 두 점 [eqn: P,`Q]에 대해, 현 [eqn: PQ]를 접어 호 [eqn: PQ]를 [eqn: x]축에 접하게 할 때, 접점의

[eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하자. [eqn: t]가 [eqn: -1]과 [eqn: 1]사이를 움직일 때, 현 [eqn: PQ]가 통과하는 영역의

면적을 [eqn: (p pi -q)](단, [eqn: p,`q]는 유리수)라 하자. [eqn: 60(p+q)]의 값을 구하시오. (廣島大)

98. 수직선상에서 운동하는 두 점 [eqn: P, Q]가 있다. 원점에서 출발한 두 점의 [eqn: t]초후의 속도를

각각 [eqn: v _{P} (t)=at`(t GEQ 0,`a>0)], [eqn: v _{Q} (t)= {cases{0&``````(0 LEQ t<1)#t`logt&``````(t GEQ 1)}}]로 정한다.

(1) [eqn: Q]는 반드시 [eqn: P]를 추월함을 보이시오.

(2) [eqn: Q]가 [eqn: P]를 추월하기 전에, [eqn: P]와 [eqn: Q] 사이의 거리가 최대가 되는 시각 [eqn: t]와 그 거리를

구하시오. (愛媛大)

100. 연속함수 [eqn: f(x)]가 이하의 관계식을 만족한다.

[eqn: f(x)=1+ int _{0} ^{x} {(x-t)f(t)dt}]

이때, 이하의 물음에 답하시오.

(1) [eqn: phi (x)=f(x)+f`'(x)]라 할 때, [eqn: {phi '(x)} over {phi (x)}]를 구하시오.

(2) [eqn: f(x)]를 구하시오. (鳥取大)

主題 5. 2 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여, 함수 [eqn: f _{n} (x)]를 [eqn: f _{n} (x)=(x-1)(2x-1) CDOTS CDOTS (nx-1)]

로 정의한다. 이때, [eqn: n] 이하의 임의의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: f _{n} (x)]가 구간                [eqn: {1} over {k+1} <x< {1} over {k}] 에서 적어도 한 개의 극점을 가짐을 보이시오. (九州大)

46. 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b,``g(x)= {1} over {x+1}]에 대해 [eqn: lim _{x` rarrow `p} {` {f(x)-g(x)} over {(x-p) ^{2}}}]가 수렴하는 극한값을 갖게 하는 [eqn: a,`b]의 값을 구하고, 그 극한값을 구하시오.  (早稻田大)

14. 공간좌표상의 점 [eqn: O]와 삼각뿔 [eqn: ABCD]가 다음의 조건을 만족한다.

[eqn: OA=OB=OC=1,```OD= sqrt {5} ,```` ANGLE AOB= ANGLE BOC= ANGLE COA,# # {vec{OA}} + {vec{OB}} + {vec{OC}} + {vec{OD}} = {vec{0}}]

삼각뿔 [eqn: ABCD] 에 내접하는 구의 반지름의 길이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {5}](단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)  이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.  (早稻田大)

18. 네 점 [eqn: O,`A,`B,`C] 는 정사면체의 꼭지점이다. 각 변의 길이가 1이고, [eqn: OA,`BC] 위에

각각 점 [eqn: P,`Q]가 있을 때, [eqn: □ {vec{OP}} `□=x,``````□ {vec{BQ`}} `□=y]라 하자. 이때, [eqn: □ {vec{PQ`}} □]의 최솟값은 [eqn: {1} over {sqrt {k}}]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오. (類 高知大)

主題 1. 3개의 벡터 [eqn: {vec{a}} `=(1,`2),` {vec{b}} `=(-2,`1),` {vec{c}} `=(-1,`-1)]와 단위벡터 [eqn: {vec{n}}]을 정의하자.

이때, [eqn: ( {vec{a}} BULLET {vec{n}} `) ^{2}+( {vec{b}} BULLET {vec{n}} `) ^{2}+( {vec{c}} BULLET {vec{n}} `) ^{2}]의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그때의 [eqn: vec { n}]을

각각 구하시오.

主題 3(試練 3). 공간 내의 세 점 [eqn: A(2,`2,`2),`B(0,`0,`2),`P(x,`y,`z)]가 있을 때, 이하의 물음에

답하시오.

(1) 생략

(2) 점 [eqn: P]가 [eqn: ANGLE APB= {pi } over {2}]를 만족하며 움직일 때, 직각삼각형 [eqn: APB]의 넓이의

최댓값을 구하시오.

(3) 점 [eqn: P]가 [eqn: ANGLE APB= {pi } over {2}]이고 [eqn: z=2]를 만족하며 움직이고, 삼각형 [eqn: APB]의

넓이가 최대이다. 이때, 점 [eqn: L(1,`1,`4)]에 위치한 광원이 [eqn: xy]평면위에

만드는 삼각형 [eqn: APB]의 정사영의 넓이를 구하시오. (廣島大)

2. 삼각형 [eqn: ABC]는 [eqn: ANGLE BAC`= {pi } over {2} ,`□ {vec{AB}} `□=1,`□ {vec{AC}} `□= sqrt {3}]을 만족하는 삼각형이다. 삼각형 [eqn: ABC]의 내부의 점 [eqn: P]가 [eqn: {{vec{PA}}} over {□ {vec{PA}} □} +{{vec{PB}}} over {□ {vec{PB}} □} +{{vec{PC}}} over {□ {vec{PC}} □} = vec { 0}]을 만족할 때, [eqn: (□ {vec{PA}} □+□ {vec{PB}} `□+□ {vec{PC}} `□) ^{2} = {q} over {p}]

(단, [eqn: p,`q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (東京大)