[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)

미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은

대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.

특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,

접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해

그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.

이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면

많은 요소들을 고려해야 합니다.

미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,

아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.

특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는

이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.

그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에

함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면

그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.

이 글에서는 함수식이

f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여

도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해

얘기하고자 합니다.

도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은

다음의 3단계로 이루어집니다.

  (1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사

    ① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성

    ② 정의역과 x절편

    ③ y값의 부호

    ④ 점근선

  (2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시

  (3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기

이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1

    ③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음

        구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0

    ④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0

        x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함

  (2)단계

    x축 위에 x절편을 표시한 다음,

    y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시

    점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시

  (3)단계

    (2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

이 정도면 비슷하죠? ^^

계속해서 다른 예도 살펴봅시다.

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2

    ③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음

        구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0

    ④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0

        x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함

  (2), (3)단계

    (함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에

     그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2

    ③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음

        구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,

        구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0

    ④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함

        x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함

        x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0

        x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0

        (분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면

        y = x -3 + 2/x 가 되고,

        x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음

        따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3

  (2), (3)단계

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2

    ③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음

        구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0

    ④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함

        x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0

  (2), (3)단계

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1

    ③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음

        구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0

    ④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0

        x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0

  (2), (3)단계

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

  (1)단계

    ① 그래프 대칭성 없음

    ② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2

    ③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음

        구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0

    ④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함

        x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1

        x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1

        x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함

  (2), (3)단계

위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.

(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)

지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…

그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지

절대 만능은 아닙니다.

그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?

f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이

실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수

또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.

여기에 맞지 않다면

증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을

파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.

예를 들어 다항함수 부분이

실수 범위에서 인수분해되지 않으면

x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.

다음은 함수 의 그래프입니다.

이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에

x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면

극대, 극소가 나타나지 않습니다.

그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^