문과 미적분 공부할떄팁.
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미적분 공부하는데 인강을 보거나 요리조리 보면서 느낀건데
부정적분과 정적분을 정확히 구분해주는 분이 거의 없는거 같더라고요
문과미적은 결과만 알면 된다고해서.
그러면서 미분의 반대가 적분이다 이런 말로 얼렁뚱땅넘어가고 공부하다보면
막히는 부분이 분명히 나올것입니다 . 공부하면서 이런거 느껴본신분 없나요 본질을 알지못하면 분명 껄끄러워요
개인적인 생각이지만 결과뿐만 아니라 과정또한 매우중요하다고 생각합니다
제친구포함 이과애들도 몇명이 잘 구분해서 설명을 못해주더라고요
그래서 이것저것 찾아봐서 혼자 공부했는데 이해한 이후로는 모든게 명쾌해지더라고요
단순히 결과암기를 통한 문제유형화해서 풀기 , 이런식으로 공부하기보다는
그걸 배우는 ''목적'' 이라든지 과정을 공부하는것또한 매우중요하다고 생각합니다[개인적 생각이지만 고득점 문제푸는관건이 아닐까요..아님말고요..]
저와같은 의문[정적분/부정적분 구분 ] 이런거 생기면 그떄그떄 해소하시길 바래요
개인적으로추천하는건 NewTon 잡지 2011년 2월호 ''뉴턴의 미분과 적분''
읽어보시는거 추천해드려요. 미적분의 기원부터 원리까지 자세히 설명해줍니다
글구 고등학생이 읽어서 이해안될만한 부분이 없습니다. 구분구적법도 나오고요
글구 저와같은 의문가지셧던분은 ''미적분학의 기본원리'' 검색하시면 대학교수님이 쉽게 증명해주신거있는데
읽어보시는거 추천해드립니다[http://navercast.naver.com/contents.nhn?contents_id=4658]
그리고 이건 제가 심심해서 연습장에 써본건데 도움되시는 분들은 읽어보시길.
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어떤 삼차함수가 있습니다 [제가읽은책에서는 포탄의 포물선으로 비유합니다.]
삼차함수가 그각각에서 진행방향이 계속바뀝니다 포물선으로 그어지면서.
그 각각에서 진행방향은 접선을 그었을때 기울기를 나타내지요.
뉴턴책에서는 포탄이 떨어지는 위치를 예측하기 위해 미적분을 하지만 뭐 그런건 아니라서 각설하고
각각의 접선의 기울기를 모두 구할수 있으면 그래프의 개형을 파악할수 있습니다
근데 각각 구하기가 너무귀찮죠. 따라서 x값에 1.2.3. .. 말고 미지수인 x를 대입하고
식을 세우면 f'[x] 라는 식이 나오고 이를 도함수라 부릅니다
이 도함수에 x값을 대입할떄 [만약 1을 대입하면 f'[x]함수값은 x=1에서의 기울기를 나타내죠.] 그러기에
함수값인 f'[x] 값의 변화에 따라 원함수의 기울기가 변하는 것이기때문에 그래프의 개형을 파악할수 있습니다
그래서 도함수의 그래프를 그리고 + - 구간으로 나누죠. 그리고 + - 가 바뀌는 즉
f'[x]=0 이 되는 구간이 극값을 가지게 됩니다.[물론 항상은 아닙니다] 만약 삼차함수의 도함수인 어떤 이차함수에서
서로다른 두 실근을 가진다고 하면 각각 극대값/극소값이 되겠죠.
여기까지 미분입니다.
그리고 부정적분은 어떤 도함수를 알때 그 도함수를 통해 원함수의 식을 파악하기 위한겁니다
즉 미분의 정반대의 의미를 가지게 됩니다
정적분과 부정적분은 다르다고 생각합니다.
구분구적법의 아이디어를 얻어서 구한 어떤 함수의 특정구간에서의 넓이는
정적분으로 나타낼수 있습니다 그것이 정의고요.
예를들어 y=1 이라는 함수가 있다고 생각합니다 < f[x]
그럼 [0.x] 구간의 넓이는 x가 되겠죠
이를 적분할경우 y=x 라는 식이 나오게 됩니다 < F[x]
위에서 구한 넓이값인 x는 y=x 즉 x에서의 함수값과 같습니다
따라서 구분구적번 기본문제 f[x]= x^2 에서 [0.1] 구간의 넓이값이 1/3 이 나오게 되는데
이 1/3 의 의미는 f[x]를 F[x]의 도함수로 생각했을떄
원래함수인 F[x] 에서 1을 대입했을떄 함수값인 F[1]과 같게 됩니다. F[0]=0이기에 생략했습니다.
따라서 정적분의 기본정리인 Sab f[x] dx = F[b]- F[a] 의 의미는
f[x]의 [a.b]구간에서의 넓이는 f[x]를 도함수로 봣을떄
그 원래함수인 F[x]의 함수값 F[b]에서 F[a]를 뺸것이 됩니다
따라서 부정적분과 정적분은 다르다고 볼수있을것입니다.
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죄송요 글이 꼬여서 수정좀함 ;;
도움되셧으면 댓글하나만 달아주세염
개념원리만 봐도 정적분 부정적분, 정적분의 정의에서 무한급수.. 이런거 다 이해가게끔 나오던데요.. 곡선의 길이는 혼자 연구좀 했지만 그외 것들은 괜찮던데 ㅎ
헷 그런가요 개념원리는 안봐봤는데 친구꺼 인강교재보니까 구분도 안되있고 정석에도 자세히안써잇길래용... ㅎ
곡선길이공식 팁 드리자면
위치를보고 곡선길이(거리)를 구하는건데
위치는 방향성이 있는 벡터이고, 곡선 길이는 방향성이 없는 스칼라에요. 벡터에서 스칼라로 못바꾸죠.
위치를 미분하면 속도가 되고 이값역시 벡터입니다. 속도를 스칼라값인 속력으로 바꾸려면 제곱해서 루트안에 넣어주면 되고 이것은 스칼라값인
속력이 됩니다
속력을 다시 적분하면 스칼라값인 거리(곡선의 길이)가 되는거죠..
제가 책잡고 한 다섯시간 보다가 얻은 결과인데 도움되셨으면 ㅠ
감사합니다 ㅎㅎㅎ
부정적분은 적분을 위한 계산 훈련
정적분부터 진짜 적분이라고
한석현쌤이 말씀하시던데 ㅎㅎ;;
네 저도 그렇게 생각합니다
부정적분이 미분의 반대[ 계산 ] 을 위한거구
정적분이 넓이를 구하는 진짜적분이죠
원래는 미분과 적분은 따로연구한 학문인데
과정에서 연결고리가 나와서 우연히 된거죠 구분구적법 -> 정적분
오 한석현쌤 잘가르쳐주신거네요 ㅎㅎ
쌤이 적분이 먼저 연구되고 그 담에 미분이 발견됫는데
결과적으로면 미분->적분 이게 맞기에 교과서 순서가 미적분이라고.. ㅎㅎ
엄연히 교과서에 다른 단원으로 구분되있는걸 같은걸로 가르치는강사가 몰상식한ㄱ듯;;
제말은 구분이 되있는데 그과정에대해 정확히 알려주지 않았다는 뜻입니다
즉 왜다르고 어디가 다른지 정확히 설명해주지않고
문제풀이를 위한 수단으로서만 가르켜준것 같아서요
좋은 글 감사합니다...ㅎㅎ
혹시 뉴턴잡지 어디서 사는지 아시나요?
저는 아버지가 사다주셔서 ㅎㅎ 인터넷이나 아니면 도서관에 있을껄요
와 링크 정말감사합니다
제가 미적분을 이번에 공부하게 되면서 이부분이 애매했었어요..
그래서 박승동선생님 질문게시판에 올리니까 답변을 안달아 주시더라구요..
결국 애매한상태로 남아있었는데 이글 보고 해소 됐네요!!
헤헤 다행이네요 열공하세요~ !
아.. 저도 승동쌤이 제 질문만 비켜가시던데 쉽게 이해할 수 있을 거 같아요!ㅎㅎ