고등수학문제 질문좀 드릴게요
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고1수학 정리하다가 본문제인데
x²+y²=399
를 만족시키는 (x,y)순서쌍이 존재하지 않음을 증명하여라
단 x,y는 정수이다
이렇게 나왔는데 이런거 어떻게 푸세요 ?ㅠㅠ
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그럼 x^2나 y^2나 둘중에 하나는 짝수가 되고 홀수가되야 하니...
일일히 해보면 ㅋㅋㅋㅋ.....
답지에서는
xy를
4k+1
4k+2
4k+3
4k
이렇게 나누고 399를 4로 나누면 나머지가 3인데
위에 저식들을 제곱하고 그중2개를 골라서 더했을때 나올수있는 나머지들의 종류가 0 1 2 여서 안된다네요
학생의 머리에서 떠오를수가 있는건지흑휴
아 이거 ㅋㅋㅋ 저 중3때 일일히 해보다가 발견한거 였는데 ㅋㅋㅋㅋ
지금은 까먹고 ㅠㅠ
밑에 답이있네영ㅋㅋㅋㅋ
x와 y를 3k, 3k+1, 3k+2로 놓고 생각하면
제곱했을 때 3k 아니면 3k+1 중 하나가 나와야 합니다.
이때 두수의 합이 3의 배수이므로 x와 y가 모두 3의 배수여야하고
제곱하면 x,y는 9의 배수여야합니다, 9의 배수끼리의 합은 9의 배수여야하는데 399는 9의 배수가 아니므로
정수인 x,y는 존재할 수 없습니다
헐...답지보다 좋은거 같아여 !
감사요~
제가 멍청해서 잘 이해를 못하겠어요 ㅠㅠ
모든 정수는 3k, 3k+1, 3k+2 로 나타낼 수 있잖아요. (k=.....-3 -2 -1 0 1 2 3..........)
그러면 이 정수를 제곱하면 9k^2 9k^2+6k+1 9k^2+12k+4가 되겠죠? 이를 3으로 묶어보면 3K 3K+1 3K+1 꼴로 나타납니다.
즉 제곱하면 3의배수이던가 3의 배수+1 꼴이 되는거죠. 이때 우변이 3의 배수이고 3k, 3k+1를 중복 선택 가능하게 해서 더했을 때 3의 배수가 나올 수 있는 경우는 3의 배수 두개를 고르는 방법밖에 없구요.
그러면 둘다 X=3K Y=3L 로 나타내봅시다. 제곱하면 9K^ 9L^2 이구요. 더하면 9(K^2+L^2)입니다. 우변이 9의 배수가 아니니 좌변의 K와 L은 정수 범위에서는 찾을 수가 없으므로
만족하는 정수는 없습니다.
이게 더 복잡한거 같네요 ㅠㅠ
잘 푸셨는데요.. 제곱의 합은 4로 나눈 나머지가 보통은 조금 더 편합니다.
정수의 제곱은 4k, 4k+1 꼴 뿐이라서 두 정수의 제곱의 합은 4k+3 꼴은 나올 수가 없습니다.
참고로, 세 정수의 제곱의 합은 4^t(8k+7) 꼴만 불가능하고 나머지 경우는 항상 가능합니다.
괴수분들은 당할수가ㅜ없군요 ㅠ