(핵폭탄급) 등차수열

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상식적으로 생각했을때,

등차수열 An의 합 Sn이 최대(최소)가 되려면

An=0이 되어야 하는거 아닌가요?

예를 들어

공차(d)가 4이고, 첫째항(a)가 -40인 등차수열

An = 4n - 44 을 가정할게요.

An은 계속 증가합니다.

첫째항(-40) < 둘째항(-36) < 셋째항(-32) < ...

반면, Sn은 계속 감소합니다.

S1(-40) > S2(-76) > S3(-108) > ...

단, An = 0 이 되는 시점부터는 Sn이 증가하기 시작할겁니다.

그럼, An = 0 이 되는 시점에서 n = 11에서 Sn이 최솟값을 가질 것 같습니다.

그런데 실제로 Sn의 식을 통해 Sn이 최솟값을 가지는 n의 값을 유도해보면,

Sn = 2n^2 - 42n 을 미분하면,
(n^2은 n제곱)

Sn' = 4n - 42

Sn은 n = 42 / 4, 즉 n = 10.5에서 최솟값을 가집니다.

이 과정을 일반화 시켜서

공차를 2d로 잡고

An = 2dn - k (k는 임의의 상수)

Sn = dn^2 + (d - k)n 으로 두면

An = 0이 되는 n의 값(k / 2d)는

Sn이 실제로 최소가 되는 n의 값(k-d / 2d)와

항상 1/2 차이가 나네요.

An = 0일때의 n에서 Sn이 최솟값을 갖지않는 이유가 뭘까요??

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파오띵 [556931]

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서지공 · 496018 · 16/07/27 11:45 · MS 2014

n은...자연수...

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 11:47 · MS 2015

그 생각을 안해본건 아닌데요..

An = 0이 되는 n값도 항상 자연수는 아니던데요..

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힘내자나 · 635395 · 16/07/27 12:10 · MS 2015

초항과 d값에 따라 달라지겠지만 근사적으로 =0근처에서 최대 최소가 나오긴하죠

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 11:46 · MS 2015

10.5면 10 11에서 둘 다 되는 거 아닌가요

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 11:50 · MS 2015

뭐가용??

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 11:53 · MS 2015

A11=0이니까 S11=S10+A11=S10+0으로 S10과 S11에서 최솟값을 가질 것 같아요

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츄릅츄릅 · 669956 · 16/07/27 11:47 · MS 2016

불연속인데 막 미분하고 그러면 안되지 아늘까요

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 11:49 · MS 2015

읭.. 그냥 연속이라고 가정하고 미분하면 안되는건가여?

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힘내자나 · 635395 · 16/07/27 12:03 · MS 2015

등차수열자체가 이산이기 떄문에 미분자체가 성립안되잔아요

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초봄 · 603797 · 16/07/27 11:51 · MS 2015

저경우에서는 S10이랑 S11 둘다 되는거에요 a11이 0이니까 a1부터 a10까지 더한 S10이랑 S11이랑 같은거죠

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초봄 · 603797 · 16/07/27 11:53 · MS 2015

님은 Sn을 이차함수로 가정하고 k-d / 2d일때가 극값을 가진다고 했는데 k-d / 2d이 자연수가 아니라면 그건 Sn의 극값이라 할수 없는거죠

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:00 · MS 2015

그럼 An = 0이 되는 점이

n = 8.5라면

S8과 S9는 동일하고 모두 최솟값이 되는건가요?

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 12:03 · MS 2015

그러면 A9는 양수가 될 텐데요. (공차가 양수임을 가정)

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초봄 · 603797 · 16/07/27 12:04 · MS 2015

아니죠 a_1은 음수 d가 양수라 할때 a_8=0 이면 S7과 S8 모두 최솟값이 되는거죠

a_8.5=0 이면 a_8은 음수고 a_9는 양수이므로 S8만이 최소가 되겠네요

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:24 · MS 2015

아 잘못이해했었네요!!
고맙습니다. 그거는 이해를 했어요.

근데 제 질문의 요지는
An = 0 일때의 n값과
Sn이 최소일때의 n값이
다른이유가 무엇일까... 였어용

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김잉여 · 548081 · 16/07/27 11:52 · MS 2014

Ak >= 0 , Ak+1 < 0
인 K에서 Sk가 최대가되는거아님니까??

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제르맹 · 343315 · 16/07/27 11:52 · MS 2010

수열은 정의역이 자연수고 미분가능함수는 실수죠. 10.5를 수열에 넣을수가 없으니 그 근방에서 최소를 갖는거죠.

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:52 · MS 2015

고맙습니다
그 근방이라함은 +-1 정도라 보면 될까요?

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서지공 · 496018 · 16/07/27 12:00 · MS 2014

아하하 다시 정독해보니... Sn 식을 구할 때 시그마를 쓰잖아요? 이때 시그마가 자연수만을 더하는 것이다 보니 이런 오류가 생기는 것 같네요. 예시를 든 수열의 경우 Sn=2n^2-42n은 Σ4n-44를 계산한 결과인데, 이게 1부터 10.5까지 더하는 게 정의가 안 되잖아요? ...뭐 그렇다는 겁니다.

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:50 · MS 2015

아하
정확히는 이해가 안되지만 뭔가 느낌이 오네요.

고맙습니다!!

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 12:12 · MS 2015

공차가 양수인 경우를 가정하고 씁니다.
i) An=0인 자연수 n이 존재하는 경우
예를 들어 A10=0이라고 합시다.
그러면 A1 ~A9는 음수가 되고, 다음 항을 더하면 더할수록 값이 작아져서 S1>S2>S3>...>S9가 되겠죠.
그런데 A10=0으로 S9+A10=S9=S10이 되어 S9와 S10 두경우 모두에서 수열의 합이 최솟값을 갖습니다.
A11부터는 수열의 값이 양수가 되므로 더할 때마다 수열의 합은 점점 커져서 절댓값이 작은 음수가 되다가 어느 순간 양수가 되겠죠

ii)An=0인 자연수 n이 존재하지 않는 경우
이번에는 A9<0<A10이라고 합시다.
S1부터 S9까지는 음수를 더하니까 수열의 합은 계속 작아지게 되고, S10=S9+A10부터는 양수를 더하므로 다시 값이 점점 커져서 S9가 최솟값이 되겠네요

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:52 · MS 2015

오우.. 친절한설명 고맙습니다.
그냥 읽기만해도 이해가되네여

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 12:59 · MS 2015

저기 ii)에 대한 제 이해가 맞는지 좀 봐주시겠어요??

글 마지막에 사진하나 첨부해뒀습니다

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 13:00 · MS 2015

사진이 안 보이네요 ㅠㅠ

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파오띵 · 556931 · 16/07/27 13:01 · MS 2015

글 맨위로 갔네요!!
사진이 오른쪽으로누웠습니다ㅠㅠ

빨간색처럼은 될수없고
파란색처럼만 된단거죠?

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 13:03 · MS 2015

이건 생각 못 했네요...ㄷㄷ
좀 더 고민해보고 말씀드릴게요 ㅠㅠ

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화반(花判) · 581451 · 16/07/27 13:23 · MS 2015

http://orbi.kr/0008833524
글 읽어주세요 :)

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