미분가능과 도함수
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미분이 가능해야 도함수를 구할수 있는거죠..? 즉 미분을 때려 f' 을 구한다는게 미분가능성을 모를땐 못하는거 맞나요..?
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후후
넴.
미분이 가능해야 도함수를 구할 수 있는게 아니라 도함수가 존재해야 미분 가능한 것입니다.
그게 아닙니다. 미분가능성은 한 점에서의 미분가능성으로 정의되며, 미분가능한 함수란 그 함수의 정의역 전체의 집합에 있는 각 점마다 미분가능한 점일 때, 그 함수를 미분가능한 함수라고 부르는 것입니다. 그렇게 구한 함수를 구할 수 있다면그것을 도함수라고 합니다. 다만 미분가능하지 않은 점이 있다면 정의역에서 그러한 점들을 포기한 최대의 집합을 새로운 정의역으로 잡아서 그것을 도함수라고 합니다. 예를들어 f(x)=abs(x), 즉 절댓값으로 정의된 함수의 경우 원래 함수는 정의역이 실수 전체의 집합이었지만, x=0에서 미분가능하지 않기 때문에 그 점을 포기하여 도함수를 구합니다. 즉 양의 실수에서 f'(x)=1 음의 실수에서 f'(x)= -1이라고 정의하게 됩니다.
정리하자면 선후관계는 도함수가 먼저 있어서 미분가능성을 따지는 것이 아니라, 미분가능한 점들을 모아놓아서 그 미분계수들을 각각 구한 함수가 도함수라는 얘기입니다. 수학에서는 정의되는 순서, 위계성이 중요하기에 명확히해야 하는 부분입니다.
애초에 제가 말한 미분 가능하다는 건 함수가 미분가능 하다는 것, 즉 정의역 내의 모든 점에서 미분 가능하다는 걸 의미하는 거였고, 도함수 부분은 조금 생략을 했던거 같네요. 함수의 정의역내의 모든 점에서 도함수가 잘 정의 되면 미분가능하단 이야기였습니다.
이 내용을 생략한 이유는, 미분이 가능해야 도함수를 구할 수 있는게 아니라는걸 말하고 싶어서였지 , 미분가능성의 정의가 미분계수가 존재한다는 건지 몰라서가 아닙니다.
물론 미분 가능하면 (정의역 전체에서) 도함수가 잘 정의되고, 도함수가 잘 정의 되면 미분가능한게 맞는 명제이긴 한데, 미분 가능해야 도함수가 존재한다는 게 뉘앙스가 좀 이상해서요. 뉘앙스가 이상하다는 게, 미분 가능해야 미분 계수가 존재해서 도함수가 존재한다 이게 자연스러운 흐름이지, 애초에 미분계수가 존재한다는 전제로 나오는 개념인 도함수가 존재함에서 미분가능성을 끌어내는 건, 잘못된 명제는 아니지만 자연스럽지는 못하다고 생각된다는 뜻입니다.
"미분 가능해야 미분 계수가 존재해서 도함수가 존재한다 이게 자연스러운 흐름" 이 부분은 오히려 저의 주장을 뒷받침하는 것입니다. 두번째로 남긴 댓글을 보시면
미분가능한 점 -> 그러한 점들을 모아서 미분계수를 구함 -> 그것을 함수로 만든 것이 도함수
딱 제가 설명한 내용입니다.
저는 미분가능해야 도함수가 존재한다고 말한 적이 없습니다. 미분가능한 함수면(if) 정의역 전체에서 미분가능하다는 것을 말하기에 그것의 도함수는 구할 수 있지만 역으로 꼭 그래야만(only if) 성립하지는 않습니다. 그것은 계속해서 일관되게 주장하고 있습니다.
"미분계수가 존재한다는 전제로 나오는 개념인 도함수가 존재함에서 미분가능성을 끌어내는 건 자연스럽지 못하다." 역시 저의 주장이 아니라 thdrhwk님의 주장 "도함수가 존재해야 미분 가능한 것입니다."에 대한 반박입니다. 정확히 본인의 주장이 틀렸음을 인정하고 계신 부분입니다.
도함수가 존재해야 미분가능하다는 명제는, 미분 가능하면 도함수가 존재한다는 명제와 동치입니다.
요약하면, 전 ~해야를 필요조건으로 받아들였고, 질문자는 도함수 존재-> 미분 가능 이라는 명제가 맞냐고 물으신거고, 전 미분가능 ->도함수 존재가 더 자연스럽다 생각해서 댓글을 단겁니다. 처음 댓글에 '아니라'는 잘못된거 같네요.
네, 여기 적으신 댓글의 내용은 모두 맞는 말씀입니다. 하지만 처음 적으신 내용은 참이 아닙니다. "미분이 가능해야 도함수를 구할 수 있는게 아니라 도함수가 존재해야 미분 가능한 것입니다" 에서 미분가능한 함수와 도함수는 사실상 별개의 내용임을 먼저 짚고 넘어가야 할 것 같습니다.
미래엔 미적분1 교과서 94페이지를 보시면 '미분가능한 함수'를 정의역에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능할 때, 함수 y=f(x)는 미분가능한 함수라고 정의하고 있습니다. 즉, 미분가능한 함수는 '정의역 전체의 집합에서 미분가능하여, 도함수도 같은 정의역을 갖는 함수'라고 정리할 수 있겠습니다.
허나 도함수는 얘기가 다릅니다. 위에서 말했다시피 도함수는 정의되지 않는 부분을 포기하여 최대의 집합을 잡습니다.
그럼 말씀하신 "미분이 가능해야 도함수를 구할 수 있는게 아니라 도함수가 존재해야 미분 가능한 것입니다." 부분을 살펴보겠습니다.
1. 미분이 가능하면 도함수를 구할 수 있다. -> 이 부분만 보면 참이 맞습니다. 즉, 미분가능한 함수는 애초에 정의역이 f(x) 정의역 전체의 집합이고, 도함수는 그것보다 정의역이 작거나 같기 때문에 항상 도함수를 구할 수 있습니다. 다만 필요충분조건 관계는 아닙니다.
2. 도함수가 존재해야 미분 가능한 것입니다. -> 거짓인 명제입니다. f(x)=abs(x)는 R-{0}이라는 정의역으로 도함수가 존재하지만, f(x)가 미분가능한 함수라고는 할 수 없습니다. 이 부분에 대해서는 해석의 여지에 따라 다소 차이가 있겠습니다만, 도함수 존재성의 전제조건을 '정의역 전체에서 미분가능한 함수'로 하느냐, 아니면 저처럼 정의역에서 일부 점을 포기한 것 역시 도함수로 취급할 것이냐의 차이가 있겠습니다. 다만 전자의 경우로 해석하면 절댓값함수의 f'(x)는 무엇이라 언급할지, 학생들에게 '도함수'라는 용어 없이 어떻게 가르칠 것인지에 대한 과제가 남아있습니다.
1과 2는 같은 명제입니다. 미분가능 하면 도함수가 존재한다, 도함수가 존재해야 미분가능하다 둘다 미분가능->도함수 존재 라는 명제입니다. 아까도 말했지만 p해야 q이다는 p를 필요조건이라 생각해 q->p로 해석 했습니다. 여기서 제가 말한 도함수 존재는 (정의역에서)를 생략한 것이구요. 정의역에서를 생략한게 잘 못 됐다는 건 제 2번째 댓글에서 시인한 것 같습니다.
아마 그럼 같은 내용으로 인지하고 의사소통 미스였나봅니다. 교과서에 명시되지 않은 부분에 대한 해석의 차이겠지요. 토론하시느라 수고하셨습니다.