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수알못 [629213] · MS 2015 · 쪽지

2016-04-27 17:56:54
조회수 264

수학 노베 질문좀 받아줍쇼 ㅠ

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/0008341065

도형 f(x,y)=0 가 있는데 이것을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동을 시키면 f(x',y')=0 가 된다고 합니다.

그럼 우리가 구하고자 하는거는 x'과 y'과의 관계식으로 평행이동을 한 후의 관계식을 찾고싶어 합니다.

f(x,y)위의 점 (x,y) 는 평행이동을 하면 점(x+a,y+a)가 되겠죠 그러므로 x'= x+a , y'=y+a 이게 성립합니다.

식을 바꿔서 x=x'-a , y=y'-b 가 된다고 합니다.

그리고 원래의 식 f(x,y) 에 대입을 해서 f( x'-a , y'-b ) 가 됩니다.

여기서 이해가 안가는데요 원래의 식 f( x , y) 를 f( x'-a , y'-b )=f(x-a, y-b) 이걸로 바꿨다면 이 둘은 같은 도형을 나타내는 식이 아닌가요?

그런데  예를 들어 f(x, y)=x+2y=0이고 x축으로 1만큼 y축으로 2만큼 평행이동 한다면 f(x-1, y-2)=x+2y-5=0 으로 다른식이 나오는거 아닌가요?

그리고 또한 만약 같은 식이라고 할 경우 그래프 모양은 같지만 그 지역(?)이 다른건데 식이 달라져야 정상 아닌가요??

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수알못 [629213]

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  • 지뢰찾기 · 515915 · 16/04/27 18:44 · MS 2014

    질문의 요지가 뭐죠
    뭘 물으시는지 감이 안잡힙니다...

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  • 제우스 이빨 · 642764 · 16/04/27 19:05 · MS 2016

    영감

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  • 수알못 · 629213 · 16/04/27 19:13 · MS 2015

    f(x, y)=0를 x축으로 a만큼 y축으로 b만큼 평행이동 시킨 f(x',y')=0은

    x'=x+a, y'=y+b 이고

    x=x'-a , y=y'-b 이므로 x' 와 y'의 관계식은 f(x'-a, y'-b)=0이 됩니다

    그렇다면 저 관계식은 평행이동한 저 도형의 방정식은 f(x, y)와 결국 같은 도형의 방정식이 되는데

    일단 이것이 맞나요?

    맞다면 왜 x+2y=0이라는 도형의 방정식과 x축으로 2만큼 y축으로 평행이동한 도형의 방정식은 같은식이 안나오나요?

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  • 지뢰찾기 · 515915 · 16/04/27 19:34 · MS 2014

    평행이동한 방정식은 f(x'-a,y'-b)=0 이 아니라, f(x-a, y-b) 입니다
    옮겼는데 식은 당연히 달라져야죠
    x'과 y' 도 본질적으론 x y랑 똑같아요
    식이 헷갈리지 않도록 다르게 써준 것 뿐입니다

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  • 수알못 · 629213 · 16/04/27 19:43 · MS 2015

    엥 평행이동한 도형의 방정식이 f(x'-a, y'-b) 이고 이것이 x'과 y' 사이의 관계식에 족하는 것이 중요한 것이고 문자의 형태는 상관이 없으므로
    f(x-a,y-b)로 나타내는거 아닌가요?

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  • 지뢰찾기 · 515915 · 16/04/27 19:47 · MS 2014

    관계식에 족한다?
    어떤 의미로 쓰신 표현인지요

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  • 수알못 · 629213 · 16/04/27 19:49 · MS 2015

    제가 아까 지식인에 검색해서 본 답변입니다
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    [질문]
    도형의 평행이동 궁금해미치는점 (내공50)
    choi****  마감률  93%  2010.02.05.
    답변 1 72 본문 작게 보기가  본문 크게 보기가

    어떤 도형을 f(x,y)=0 이라고 합시다.
    도형위의 점을 P(x,y)라고 하면
     
    x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동한 점을 P'(x',y') 라고 하면
     
    x'=x+m  y'=y+n
     
    x=x'-m  y=y'-n
     
     
    이 식을 f(x,y)=0에 대입하면
     
    f(x'-m,y'-n)=0 이렇게 나오는데
     
    여기서, 왜, 도대체 왜.
    '를 지우고
    f(x-m,y-n)=0 이라고 표시하는지 이해가 안갑니다.
     
     
    인터넷을 뒤적거려보니
    1)x'보단 x가 편하니까
    2)같은 임의의 문자이므로
    3)원래 x,y 로 표시하니까
    이렇게 설명되어 있는데 무슨 이게 말이 됩니까.
     
    제가 반박을 한번 해보면
    1)그럼 처음부터 이동시킨 P'의 좌표를 (x,y)라 안하고 왜 (x',y')라 했나요?
      줏대좀 챙겨 어쩔땐 x가 편할때 있고 어쩔땐 x'가 더 편하나?
     
    2)그럼 x=x' 라는 식이 성립한다는 말인데
      (x,y)=(x',y') 도 성립하나? 아니잖아. 아 땀나
     
    3)(x',y')=(3,2)라 하고 (x,y)=(1,1)이라 하면
      (x',y')는 (x,y)를 x축으로 2만큼 y축으로 1만큼 평행이동시킨건데
      3)번 말대로 하면
      f(x'-m,y'-n) = f(x-m,y-n) 이 성립
      대입해보면
      f(3-2,2-1) = f(1-2,1-1)
      f(1,1) = f(-1,0)
      말이 되는가?
     
    제발 좀 억지로 하지말고 수학적 근거를 통해 설명해주십시오.
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     camry62 
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    질문자네티즌 채택
    질문자인사옿ㅎㅎㅎ 감사해요
    도형의 방정식이란, 도형위의 임의의 점 (x,y)에서, x 와 y 사이의 관계식입니다..
    처음 도형 위의 임의의 한 점을 (x,y) 로 하면, x,y 사이에는 f(x,y)=0 이란 관계식이 성립합니다....
     
    이 도형위의 점을 평행이동한 점을 (x',y')라고 할때..
    우리의 목적은, 새로운 x' 와 y' 사이의 관계식을 찾는겁니다..
    x' 와 y'의 관계식을 찾으면, 그것이 바로, 평행이동한 새로운 도형의 방정식입니다..
    하지만, x' ,y' 사이의 관계식을 직접 구할수 없어서, 원래의 x,y 사이의 관계식인 f(x,y)=0 을 이용합니다..
     
    평행이동의 정의에 의해, x'=x+m , y'=y+n 이 성립하지만,
    이것만으로는  x' y' 간에 아무런 관계식이 도출되지 않잔아요.
     
    그런데, 여기서..
    x=x"-m , y=y'-n 이 성립하고..
    여기서의 x,y 사이에는  f(x,y)=0 이란 관계식이 성립하므로..
     
    x, y 대신에  위 식을 대입하면..
    f(x'-m,y'-n)=0 ...
    분명히 이 식은 우리가 찾으려는 x' , y' 간의 관계식이되고, 평행이동한 새 도형의 방정식입니다.
     
    문자를 x', y' 에서 다시 x,y로 바꾸어도 괜찮은 이유는..
    위에서 구한 새로운 관계식이 x' 와 y' 사이의 관계식이면 족한것이지, 문자의 형태는 의미가 없기때문입니다..(x,y) 로 바꾸는것이 처음 도형에서 (x,y)과 혼용이라서 불편하다면, (t,u)나 (a,b) 등 어느 문자로 표시해도 관계식의 형태는 같습니다..

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  • 지뢰찾기 · 515915 · 16/04/27 20:35 · MS 2014

    님이 정확히 뭐가 궁금하신지 아직도 잘 모르겠네요
    f(x,y)=0을 a랑 b씩 평행이동하면
    f(x-a, y-b)=0이 됩니다
    x' y' 쓰기 귀찮으니까 t u 로 쓸게요

    f(t-a,u-b)=0이라는 식이 f(x-a,y-b)=0이라는 식으로 펑 바뀌는 게 이해가 안된다는 건가요...?

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  • 수알못 · 629213 · 16/04/27 21:16 · MS 2015

    님께서 쓰신 f(x, y)=0을 a랑 b씩 평행이동 시키면
    f(x-a, y-b)가 어떻게 바로 나올 수 있죠? 물론 만약 x, y가 0,0을 지날경우 평행이동한 식에 a, b를 집어넣어야 성립하므로 이런식으로는 알겠는데요
    일단 차근차근 여쭙겠습니다
    이 식을 유도하는 과정에서 평행이동 시킨 점을 t, u로 잡으면
    t=x+a, u=y+b가 되잖아요 근데 평행이동 시킨 도형의 방정식,즉 t와 u사이간에 관계식을 구해야하는데 저것만으로는 구할 수가 없으니
    x=t-a, y=u-b라는 식을 도출시켜서 기존의 f(x, y)에 대입을 시키면
    f(t-a,u-b)=0 이 나오고 이건 평행이동을 시킨 t와 u사이에 관계식이며,즉 평행이동 시킨 도형의 방정식이잖아요
    그러면 여기서 이해가 안되는 것이 f(t-a, u-b)라는 관계식은 x값에 다른 문자를 대입하고 y값에 다른 문자를 대입한것일 뿐이니까
    f(x, y)=0하고 같은식이 되는거죠?
    여기까지 제말이 이해가 가시나요?ㅠ

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  • 수알못 · 629213 · 16/04/27 21:46 · MS 2015

    그러니까 단순히 말하자면
    평행이동 시킨점을 t, u로 본다면
    x=t-a y=u-b가 성립하므로
    원래 식 y=f(x)에 t-a, u-b를 대입하면
    u-b=f(t-a)라는 관계식이 나오고 t-a는 어차피 x랑 같고 u-b는 y랑 같으니까 이 관계식이나
    y=f(x)나 같은거잖아요

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  • 지뢰찾기 · 515915 · 16/04/27 23:50 · MS 2014

    t-a는 x와 같고 u-b는 y와 같죠
    맞습니다
    그렇기 때문에 f(t-a, u-b)=0 이 여전히 성립하는 것이죠

    근데 f(x,y) 와 f(t-a,u-b)는 같은 식이지만, f(t-a, u-b)라는 식은, 이제부터 이 그래프를 xy 평면이 아니라 tu 평면에 그려라 라는 말을 함축하고 있는 거예요

    즉, 평면이 두 개 있는데, 한쪽 평면에서 f(x,y)의 그래프는 다른 쪽 평면에서 f(x-a,y-b)(사실은 tu의 세계이지만 좌표축 이름이야 내 맘대로 정하면 되는 것) 에 대응된다고 할 수 있는 겁니다

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