어드밴스드 사잇값정리
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함수 f(x)가 [a, b] 연속이고 f(x)=0인 상수구간 존재하지 않을때
1. f(a)f(b)<0이면 (a, b)에 부호변화지점 홀수번(1, 3, 5, ...) 존재한다
2. f(a)f(b)>0이면 (a, b)에 부호변화지점 짝수번(0, 2, 4...) 존재한다
3. f(x)=0인 상수구간이 존재하면 상수구간 직선을 하나의 점처럼 취급하면 1, 2가 성립한다
ex1. 사차함수는 부호변화가 0번, 2번, 4번 중 하나만 있을수 있고 각 케이스에 따라 근의 형태를 분류할 수 있다
ex2. 삼차함수는 반드시 부호변화를 갖고 그 지점은 인수가 한개 또는 3개이다
어드밴스드 어드밴스드 사잇값 정리
함수 f(x)가 [a, b] 연속이고 상수구간 존재하지 않을때
1. x=a근방 증감과 x=b근방 증감이 반대면 (a, b)에 극대극소가 홀수번 (1, 3, 5, ...) 존재한다
2. x=a근방 증감과 x=b근방 증감이 같다면 (a, b)에 극대극소가 짝수 번 (0, 2, 4, ...) 존재한다
3. 상수구간이 존재한다면 상수구간 직선을 하나의 점처럼 취급하면 1, 2가 성립한다
볼록성까지 확장시키면 어드밴스드 어드밴스드 어드밴스드 사잇값정리로도 개념화 할 수 있지만 그정도로 복잡하게 변곡점 개수를 추론시키는 문제는 없다시피 하기 때문에...
어드밴스드 사잇값정리와 어드밴스드 어드밴스드 사잇값정리는 아래에서 위로 세는 존재 조건이므로
여기에 f(x) 최대 실근개수나 f'(x) 최대 실근개수를 조사하여 리미트가 주어지면
존재성과 유일성 논리로 실근개수, 극대극소 개수가 특정되거나 소수의 유한한 케이스로 좁혀지는 경우가 많다
대표적으로 170921(나), 171130(가)
함수추론 문제에서 유용하게 썼던 인사이트인데
언제 잊어버리게 될지 몰라서 남겨봄
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교과서상 정의에서 연속함수라 정의할 수 있는그냥 직관적으로 끊기지 않고 쭉 이어져있는 연속함수는 다 돼요