[칼럼] 거리곱과 241122

Question

안녕하세요 제 친구 중에는 수학을 굉장히?(제 기준에서) 잘하는 현역 친구가 있습니다

그런데 이런 평화로운 일요일 대낮에 갑자기 사진 한 장을 띡 보내더라고요

(글씨체가 상당히 더럽고 정제되어있지 않아서 첨부는 안 할게요)

그리고 막 뭐라뭐라 하는데 결론은

거리곱 관점 활용하면 241122 케이스 분류 없이 풀 수 있음ㅇㅇ

이 말이더라고요 (241122=24학년도 11월 평가원(수능) 22번 문제)

그리고 저한테 이걸 좀 정제해보래요 지는 그런 거 못한다고

그래서 해봤습니다

그래서 이 글은 그 친구의 고능한 풀이를 소개해보는 글이에요 (친구가 오르비 글감 투척 이러더라고요)

우선 다들 아실테지만 그래도 거리곱이 뭔지에 대해 알아보고 갈게요

거리곱이 뭐냐

의미를 살려 읽어볼게요(샤라웃투피램)

‘거리’, ‘곱‘이니 뭔가 거리를 곱하는 거지 않을까요? 맞습니다

(함숫값 구하는 것도 있는데 우선 미분계수를 구하기 위한 거리곱 공식에 대해 이야기해볼게요)

다음과 같은 미분계수 기본 식이 있죠

(f(x)는 y=f(a)와 서로 다른 세 점에서 만나는 3차함수로 잡을 거고

지금부터 이 글에서 f는 무슨함수 a는 상수 이런 건 귀찮으니 싹 생략할게요)

이 값이 수렴하려면 분모가 0으로 가니 분자도 0으로 가야하죠? 이를 활용해서 식을 좀 써보면

라는거죠

훅훅 지나갔는데 여기까지는 사실 당연한 이야기고 우린 여기서 f’(a)가 궁금하기에 식을 이렇게 전개해봤어요

k는 최고차항의 계수고, ‘거리’곱이니 기하학적 해석이 동반되어야겠죠? 즉, a-b와 a-c가 의미하는 걸 찾아내야 해요

자 머릿속에 제가 위에서 말한 조건을 만족시키는 삼차함수와 y=f(a)를 그려보세요

‘거리‘와 ’a-b, a-c’……

‘거리’가 뭘까요? 머릿속의 삼차함수와 y=f(a)에서 거리라고 할 만한 건…아하! 교점의 x좌표 차이군요(?)

정확히는 ‘거리‘는 항상 양수니까 b-a와 c-a가 거리겠네요

b-a는 a-b와, c-a는 a-c와 절댓값만 같고 부호가 다르죠?

즉, 최고차항의 계수에 우리가 구하려는 지점으로부터 함수 위의 y값이 동일한

다른 지점들까지의 거리를 곱해준 뒤 그 부호만 얼렁뚱땅 조정해주면 된다는 소리예요

설명이 많이 허술하긴 한데 어디까지나 다음에 제시될 풀이를 이해하기 위한 것이고

거리곱에 대한 구체적인 이해가 더 필요하시다면 저보다 훌륭하신 다른 많은 분들의 설명을 찾아보시길 바랄게요

빠르게 문제로 넘어가보겠습니다

위와 같죠? 어마무시한 문제입니다..

본격적으로 이 문제에 빠져들어볼게요

우선 f(x)는 최고차항의 계수가 1, f‘(-1/4)=-1/4이고 f’(1/4)<0이니 감소하는 부분이 있는 전형적인 삼차함수의 꼴이겠네요

근데 여기에서 f’(-1/4)=-1/4를 보고 거리곱을 떠올린거예요

즉, “거리”에 집중해야 하는데 우리가 알고있는 정보에 의하면

1/4-(-1/4)=1/2이고 -1/4와 1/4는 모두 삼차함수의 감소하는 구간에 존재합니다. 이를 그림으로 나타내보면

아까 1/4-(-1/4)=1/2인 점을 언급했죠? 좀 느낌이 오시는지 모르겠는데

우선 거리를 이용해서 뭔가 정보를 얻어내려는 것이니 대략적인 그림을 더 그려보겠습니다

구체적인 위치에 너무 연연하지 않는 선에서요

α, β를 다음과 같이 잡으면

계속해서 언급하고 있는 1/4-(-1/4)=1/2인 점으로부터 ℓ₂가 1/2보다는 꽤나 크겠다는 점을 알 수 있어요

(1/4이 -1/4랑 β 사이에 존재할테니까요)

근데 1/2보다 꽤나 큰 ℓ₂에 ℓ₁을 곱했더니 1/4이 된다고요?

(딱 거리곱에서의 이야기이고, 최고차항의 계수는 1로 주어졌잖아요)

그럼 ℓ₁이 1/2보다도 작은, 엄청 작은 값이 되겠네요!

(엄청이랑 꽤나는 주관적인 표현이긴 한데, 이해하는 것이 중요하므로 계속 남발해서 쓰고 있네요 계속 쓸게요(?))

ℓ₁이 엄청 작은 값이 된다는 건 곧 -1/4이 f(x)가 극댓값을 가지도록 하는 x에 엄청 가깝다는 뜻이겠죠?

이를 살려서 그림을 다시 그려보면

위와 같습니다

1/4이 너무 왼쪽으로 가면 -1/4이 f(x)가 극댓값을 가지도록 하는 x에 엄청 가깝다고 하기 어려워지고

따라서 이 정도로 적당히 그렸어요

여기까지 해두고, 우린 아직까지 박스 안의 정보를 하나도 활용하지 않았죠? 올라가서 다시 찾아보기 귀찮으실테니 적어보면

함수 f(x)에 대하여

f(k-1)f(k+1)<0

을 만족시키는 정수 k는 존재하지 않는다.

입니다. 이 말은 곧

함수 f(x)와 정수 k에 대하여

f(k-1)f(k+1)≥0

이 항상 성립한다.

와 같겠죠?

f(x)는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수잖아요, 궁극적으로 -∞에서 ∞까지 증가하는 거죠

그럼 x축과 적어도 한 점에서 만나죠? 그 최초의 점을 (2개 이상일 수도 있으니까)

-∞에서부터 쭉 증가시켜보면서 생각해봅시다

그 근방에서의 부호가 가장 중요한 것이 될 테니까요

그 전에 위 그래프에서의 상황을 부분적으로 떼와서 설명에 활용해볼게요

자, x축과 만나는 최초의 지점의 x좌표를 m이라고 해봅시다

우선 m의 값이 -1보다 작으면 안된다는 것이 바로 보이네요 그렇게 되면

f([m]-1]f([m]+1)<0

([m]+1≤-1이겠죠)

이게 되거든요 (설명의 편의를 위한 가우스 기호 등장)

같은 논리로 -1인 경우도 안 됩니다

(머릿속으로 상상해보시면 금방 납득할 수 있어요)

그럼 -1과 0 사이인 경우에는? 글쎄요

이 경우에 우선 확실한 것은 f(-2)<0라는 것이죠? 그럼 그 즉시 f(0)=0이라는 점을 알 수 있어요

그럼 f(-1)<0이라는 것도 자명하죠? 그 즉시 f(1)≤0라는 점도 알 수 있고요

먼저 f(1)<0이라고 해봅시다

그럼 1보다 큰 지점에서 f(x)=0의 근이 하나 이상 반드시 존재하겠죠? 그 점의 x좌표를 n이라고 하면 역시

f([n])f([n]+2)<0

이기에 안 됩니다

마지막 남은 경우는 f(1)=0인 경우예요

이 경우에는 아무 문제가 없습니다

f(-2)f(0)=f(-1)f(1)=0이고 그 외에서는 f(k-1)f(k+1)>0이겠죠

이때 f(x)=x(x-1)(x-a)로 둘 수 있습니다

(당연히 이 a는 앞에서 거리곱에 대해 설명할 때 등장한 a와는 완전히 무관해요)

근데 우린 f’(-1/4)=-1/4라는 구체적인 미분계수값, 즉, 미지수 하나를 줄일 수 있는 정보를 알고 있습니다

기분좋게 이를 활용해주면 a=-5/8라는 것을 구해낼 수 있어요

따라서 문제에서 구하라는 답 f(8)=483을 구해낼 수 있습니다

처음에 케이스 분류 없이 풀어낼 수 있다고 했는데 방금 한 것 아니냐고요?

글쎄요 제 친구가 보내준 사진에는

이렇게 써있던데요;

아무튼 여기서 중요한 건 거리곱을 활용해 -1, -1/4, 0 등의 위치를 대략적으로 잡을 수 있었고

이게 이 문제를 풀어내는 데 큰 도움이 되었다는 사실 같아요

(f(-1)과 f(0)의 값 비교 등)

이런 방식으로 접근해서 풀 수 있는 다른 기출이 있는지는 모르겠네요

시간이 된다면 다음 글감으로 남겨두도록 하고 이쯤에서 글 마치도록 하겠습니다

안녹산 · Accepted Answer

그냥.. 정수점 부호 -----00+++ 만 조건이 되는것을 발견했다면 2경우만 해보면 가능했어가지고 그리했는데
이것도 참신한 방법이네요

jh._.0327 · Answer

정보글은 일단 개추야

early_bird · Answer

오 이것도 좋은 접근이네요

[칼럼] 거리곱과 241122

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