칼럼)로피탈에 대한 고찰
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(글 쓰기에 앞서 로피탈의 정리 자체는 우리가 흔히 알고 있는 로피탈 풀이와는 거리가 있으므로 역로피탈이니 뭐니 이런 갑론을박은 차치하고 고딩들이 쓰는 로피탈을 전제로 서술 하겠습니다)
우선 로피탈이 무엇인지 알아보고 갑시다
저는 이 글에서 여러분들이 로피탈 자체에 대해서 뿐만 아니라 제대로 된 인사이트도 가져갔으면 좋겠습니다
저는 활용하라 혹은 하지마라 라는 단편적인 의견보다는
로피탈에 대한 총체적인 맥락에 대해서 얘기해보고자 합니다
아마 이 글을 읽고 제대로 이해하셨다면 로피탈을 자유롭게 쓰셔도 무방하실겁니다
이 문제 풀어보십쇼 (최대한 쉬운 문제로 가져왔습니다)
로피탈을 사용해보면 분자 분모를 각각 미분하여 b=4인걸 바로 알아낼 수 있습니다
그러나, 문제에선 a도 구해야하기 때문에 양변에 lim x->1 (x-1)=0를 곱해주면 a=4인걸 쉽게 알 수 있습니다
여기서 만약 b를 안구했다 생각하고 a=4를 넣어보면 식이 아래와 같이 나오죠
이 식을 만약 처음 마주했다면 로피탈이고 뭐고 그냥 (x-1) 묶으면 바로 4가 나온다는 걸 알 수 있습니다
그래서 로피탈 비효율론자들이 존재하는거고요
일단 맛보기 문제를 풀어봤으니
로피탈을 옹호하는 사람들이 좋아하는 문제를 알아봅시다
(f(x)가 미분 가능하다는 전제입니다)
이거를 만약 정석대로 풀게된다면 일단 미분계수꼴을 찾기 위해f(x^2)와 x^2f(1)을 따로따로 봐야하고 각각 -f(1) +f(1)을 이용하여 수렴식을 두개로 쪼갠 뒤 f(x^2)-f(1)/(x^2-1) 식을 유도하는 어쩌구 저쩌구 매우 길어집니다
위에서 배운 로피탈을 사용한다면 분자는 2f(1)-2f'(1) 분모는 1이라는 식이 바로 나오게됩니다
그러나, 한계도 명확한게 합성함수 미분법에 대하여 알아야 한다는거죠
이 문제를 통해 로피탈에 대한 한가지 인사이트를 얻을 수 있습니다
로피탈이 유용해지는 경우는 ‘미분계수가 잘 안보일 때’입니다
반대로 말하면 미분계수가 뭔지도 제대로 모르는데 로피탈을 쓴다는건 어불성설이죠
그래서 더욱이 로피탈 반대론자들은 그래서 저런 문제에서도 미분계수를 찾는 연습을 해야하는데 로피탈 쓰고 있으면 어쩌냐 라는 주장을 하는겁니다
그리고, 제 의견을 덧붙이자면 로피탈 자체보다는 로피탈 증명 과정이 더 중요하다고 생각합니다.
f(a)=g(a)=0이기 때문에 분자 분모를 각각 미분계수 꼴로 만들면 그것이 f'(a)/g'(a)와 같다는 이 과정을 보면
결국엔 로피탈도 미분계수를 만드는 과정이라고 보시면 됩니다
앞서 문제에서도 제가 f(x^2)-f(1)/(x^2-1) 식을 유도한다고 했는데
이와 같이 분자 분모에 필요한 식을 유도할줄만 안다면 사실 로피탈을 안써도 로피탈을 쓴 것과 같은 효과를 낼 것입니다
더욱이 선택과목이 미적분이신 분들한테는요
긴 글 읽어주셔서 감사합니다
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