네이버에서 찾앗음

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평균 자체는 아니고 평균에 일정값을 곱한 것이지요.

미분이란 게 접선의 기울기잖아요. 일정한 구간의 평균 기울기를 구하려면 그것들을 하나하나 다 미분해서 구할 수도 있지만 그냥 두 구간의 끝을 이어서 기울기를 구하면 되지요. 적분이란 건 이걸 역이용한 것입니다.

즉 f(a)와 f(b)의 값을 알면 이것이 미분 가능이라면 a
f'(x)의 [a,b] 구간의 평균값을 알면 f(a)와 f(b)의 차를 알 수 있지 않을까요? 그 값을 a-b로 나누면 그게 바로 f(a)와 f(b) 사이의 평균 기울기죠. 이 평균을 이용하면 넓이도, 부피도, 이동 거리도 구할 수 있는 것입니다.

즉 f(x)= x^2의 0에서 2까지 넓이를 구한다고 합시다.
일단 우리는 0에서 2까지 구간에서 f(x)의 평균값을 구해야 합니다. f(x)의 역도함수를 F(x)라 하면 F(x)의 기울기가 f(x)이니까 F(x)의 평균 기울기가 바로 f(x)의 평균값 아닐까요? 그럼 F(x)의 평균 기울기는 F(2)-F(0)을 구간의 길이 2로 나눈 값입니다. 그러면 4/3가 나오지요.
바꾸어 말하면 f(x)의 0에서 2까지의 값은 포물선을 그리므로 다 다르겠지만 그 평균은 4/3란 말입니다. 그러면 가로의 길이 2, 세로의 길이가 4/3인 직사각형 넓이와 똑같아지는 것이지요. 그래서 8/3입니다.

물론 실제 적분 문제를 풀 때는 나누기 2와 곱하기 2를 하니까 하나마나가 돼서 역도함수만 구해서 차를 구하면 바로 나오는 것입니다. 그러나 문제를 푸는 정확한 과정에는 이 과정도 들어가는 거죠.

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쪼끔이해가딜락말락하네요