부엉모 5회 수학 손풀이 + 코멘트 (공통, 미적분)
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해당 조건을 직관적인 동치조건으로 빠르게 바꿔주고 (0,0)에서 f(x)에 그은 접선의 기울기를 묻고 있음을 파악했습니다.
AC의 기울기가 BC의 기울기의 3배임을 보고 A와 C x간격 1/2임을 파악했습니다. 주기가 1이므로 1/2간격 -> y좌표 역수취하고 부호 바꿔준 것임을 알 수 있고, 조건에 제시된 삼각형의 넓이를 이용하여 k값을 구했습니다. 이후 닮음을 이용하여 C,D x좌표차를 구해주고 피타고라스로 마무리했습니다.
우선 g(x)의 x>t에서의 함수는 (t,f(t))위의 기울기가 -1인 직선임을 인지하고, 해당 적분함수의 최댓값이 0이도록 하는 모든 실수가 0에서부터 시작하는 것을 보고 작은 실근이 x=0임을 파악했습니다. 이후 t=3일때 적분값이 다시 0찍으면서 경계가 발생하겠구나 -> 계산으로 마무리 해주었습니다.
직사각형과 내부의 직각삼각형을 제시, AE와 ED의 길이의 비, AE와 ED를 포함하는 삼각형의 sin법칙의 비 (대변의 길이 동일, 대각의 sin비) 를 제시했으므로 AE와 ED를 대변으로 하는 각을 미지수로 두고 각을 구해주었습니다. 이후 삼각형 AEB, DEC에서 cos법칙 비례식 세워서 마무리해주었습니다.
마지막 계산에서 조금 헤맸네요.
g(x^2)을 대략적으로 그려서 x=-1,1에서 불연속임을 파악해주고 해당 불연속점을 메꿀 수 있도록 속함수 f(x)를 적절히 세팅해주었습니다.' f(0)=1인데, g(x^2)이 x=0에서의 불연속을 메꿔줄 수 없으므로 g(f(x))가 x=0에서 불연속을 가지면 안되겠네? -> x=0에서 밑으로 접하는 형태여야겠다' 를 파악하는 것이 포인트였습니다.
예.. 뭐.. 할 말이 없네요.. 수능이 아니라서 다행입니다
20번은 그냥 발문 따라가며 잘 풀어줍시다.
해당 극한의 존재조건을 't>=0에서 f(t)=+-t 교점의 개수가 3개이고, 해당지점에서 절댓값f(x)가 미분가능하다' 정도로 동치파악해주었습니다. 그러므로 x=0에서 반드시 접하는 형태여야하고, 나머지 교점 2개 나오도록 적당히 그려주면 쉽게 풀리는 문제입니다.
두 함수가 y=x+k대칭임을 우선 확인했습니다. 이후 f(x)와 4f(x)+2가 어떤 관계인지 봤더니 x,y방향으로 각각 +2씩 평행이동된 상태이더군요. 교점 두개가 기울기가 1인 직선 위에 있으니 바로 두 점 사이의 x,y 간격 2로 확정했습니다. 이후 계산벅벅하여 풀었습니다.
음함수 미분 잘 해줍시다.
제시된 적분식을 부분적분 해준 후, 남아있는 적분식이 위에 제시된 항등식을 적분한 꼴이 아닐까 의심했습니다. 확인해보니 맞더군요. 그래서 제시된 항등식의 양변을 부정적분해주었고, 계산 진행하였습니다. 그래서 k값까지는 잘 구했는데... f(1/e)와 f(e)에 관한 합과 차의 결과를 이미 둘 다 구해놨음을 인지하지 못하고 삥삥 돌아갔습니다. 그 과정에서 부호 실수가 나왔고 인수분해를 잘못해줘서 오답을 고르게 되었습니다.
이차방정식의 두 실근의 합과 곱 공식을 이용하여 제시된 조건을 잘 계산하면 r값이 두개로 나옵니다. 여기서 서로 다른 두 실근을 가짐에 주목하여 제시된 이차방정식의 판별식 > 0 임을 사용하여 공비의 범위를 알아내야 합니다. 저는 여기서 조금 헤맸네요.
g(x)를 'f(x)와 1/1+x^3의 합성함수에 절댓값을 씌운함수' 정도로 이해해주고 속함수의 개형을 파악한 후 조건에 맞게 f(x)를 세팅했습니다. 절댓값 함수인 g(x)가 x=-1이외의 모든 지점에서 미분가능함에 주목하여, f'(0)=0이고 f(1)=0임을 잘 파악해주면 되겠습니다.
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너무 좋은 풀이 감사드려요GOAT
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대대대