수학문제 질문이요

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자연수로 이루어진 수열 {a(n)}에 대하여 a₁=a₂=1, a(n+2)=a(n+1)+2a(n) 일 때, a(n) >100을 만족하는 자연수 n의 최솟값을 구하여라

이런문제는 대입하는 방법밖에 없나요???다른 풀이 있으면 좀 알려주세요 ㅠㅠ (그리고 괄호 안에 있는 건 수열 항수입니다)

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고민해결 [272751]

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스트라디바리우스 · 309984 · 11/01/31 22:48 · MS 2009

a_(n+2)+a_(n+1)=2(a_(n+1) + a_n)
put a_(n+1)+a_n=b_n
->b_(n+1)=2b_n, b_1=1+1=2
b_n=2^n.
a_(n+1)+a_n=2^n...(A)
같은방법으로 이번엔 a_(n+2) -2a_(n+1)= -(a_(n+1)-2a_n)을 이용해 정리시
a_(n+1)-2a_n=(-1)^n....(B)
A에서 B를 빼면3a_n=2^n-(-1)^n
대충 2^n이 300보다 크면 a_n이 100보다 클테니, 답은 9겠군요.

이걸 일반화시켜서 일반해 구하는 공식이 있고, 고등학생이 이해도 가능합니다만
교육과정내의 내용은 아니니 패스합니다.

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고민해결 · 272751 · 11/01/31 22:55

감사합니다~~~~~

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과고생 · 342008 · 11/02/01 11:17 · MS 2010

교과내용 외라도 강력한거 하나 가르쳐 드릴게요

a(n+2)=a(n+1)+2a(n) 이거를

a(n+2)=x^2 , a(n+1)=x, a(n)=2 로보면

준식은 x^2 - x - 2 = 0 이 되죠?

이때읜 근은 2 와 -1 이잖아요

그럼 a(n) = p x (2^n) + q x ((-1)^n) 의 형태입니다

그러면 a(1)과 a(2) 를 아니까 p과q에대한 식이 2개얻어지니

미지수 2개 식2개 이므로 p,q를 구할 수 있군요

일반적으로

i x a(n+2) + j x a(n+1) + k x a(n) = 0 과 같은 형태는

이차방정식으로 봐서

i x^2 + j x + k = 0 으로 바꾸고 그 근을 찾으면 근을 α,β라하면

α , β 가 중근일 경우 a(n) = (pn+q) x α^n 형태고

α , β 가 서로다른 근(복소수) 이면 a(n) = p x α^n + q x β^n 형태가 됩니다.

증명은 i x a(n+2) + j x a(n+1) + k x a(n) = 0 식을

(a(n+2) - α a(n+1)) = β (a(n+1) - α a(n)) 으로 바꿀 수 있으므로

이걸 a(n+1) - α a(n) = b(n) 이라하면

b(n+1) = β b(n) 이 되고

이걸 등비수열의 점화식이니까 일반항 구하고 a(n) 으로 바꾸면

제가 위에 쓴 답이 나옵니다

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과고생 · 342008 · 11/02/01 11:18 · MS 2010

아후 진짜 힘드네요 이건 추천 줘야하는거 아닌가요 ㅋㅋㅋ

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과고생 · 342008 · 11/02/01 11:18 · MS 2010

점화식 궁금한거 있으시면 저한테 많이 물어보세요

점화식 파트를 특히 좋아하는 사람이라서요 ㅎㅎ

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과고생 · 342008 · 11/02/02 01:15 · MS 2010

에 비추는 뭐지? ㅠㅠ

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데니크레인 · 343287 · 11/02/03 09:50 · MS 2010

전 추천했지만 남들이 비추한 이유를 생각해보면 아마도 교과과정외의 수학적 개념을 이용해서 푸는 방법은 안좋게 생각했기 때문이라고 생각합니다. 즉 따로 풀이법을 배워야 한다는 거지요... 님이 쓰신 풀이를 특성화 방정식이라고 하나요.. 아무튼 교과서,기출,기본서에 있는 개념,풀이만 가지고 풀어내는게 가장좋고 깔끔한 풀이라고 할 수 있겠네요... 어차피 평가원은 교과서,기출에 없는 개념으로 문제를 내지는 않으니까요

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과고생 · 342008 · 11/02/03 10:31 · MS 2010

교과과정외의 수학적 개념을 이용해서 푸는게 당연히 안좋을 수 있습니다

또 교육과정내의 개념으로도 충분히 풀 수 있는문제들로만 구성되어 있는것도 맞고요

하지만 제 생각은 좀 다른게,,

교과과정 외의 지식을 알고있다면 검산할 때 다른 방법으로 풀수 있는 장점이 있다는것과 같습니다

똑같은 방법 하나로 검산을 하거나 자기가 푼 방법을 그냥 다시한번 훑어보는건

제가 생각하기엔 그런 방법은 검산이라 하기보단 그저 감상에 불과해 질 때가 적지않게 있다고 봅니다

따라서 똑같은 문제라도 다르게 풀수있는, 하지만 교과과정외의 방법이라도 알고있다면 다른시각에서 문제를

다시 접근해 볼수있고 더욱 정확한 문제풀이를 할 수 있다는거죠

그런점에서 교과과정 외라도 호기심을 갖고 고등학교 지식범위내에서 그 풀이나 내용을 이해만 할수있다면

적어도 그런부분에서는 다른 수험생들과의 차별화를 가질 수 있다는 거죠

또 저런 심화과정들을 공부 하게되면서 수학에대한 자신감을 가질수 있고 수능 외에도 논술등 기타 방면으로서

다양한 사고능력을 기를 수 있는것도 도움이 될거라 생각합니다

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과고생 · 342008 · 11/02/03 10:35 · MS 2010

또 덧붙여서 궁금한게 있어서 질문을 한거면 적어도 최대한 가르쳐 주는것도 일종의 예의 아닐까요?
교과과정이 아니니 몰라도돼요 라고 하는거랑
교과과정 외의 과정이어도 그 논리전개 과정을 충분히 이해할 수 있는 방법이면
소개해 주는 것도 충분히 학습자 입장에서 도움이 된다고 생각합니다

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룰루랄랄라 · 264140 · 11/02/03 20:25 · MS 2008

교과과정 넘는거였군요 새삼제가 다니는학원의 위력을 느낍니다... 대치동학원이라서그런지 특성방정식 프린트보면서 졸라쉽게풀어댔었는데 어쩐지 애들한테

설명하면 거부하더라구요... 나만알고있어야지 저희학원애들은 이걸 pq권법이라하고다닌다는ㅋㅋㅋ

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강민경일루와 · 338005 · 11/02/07 16:19 · MS 2010

pq권법 돋..

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얼짱연대생 · 353293 · 11/02/04 14:30 · MS 2010

수능 범위 밖에걸 얇게알기보단 깊게생각해서 체화된다면 아는것이좋습니다 ..

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