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오오오오1 [1390319] · MS 2025 · 쪽지

2025-08-25 15:54:47
조회수 562

MAGNUS 고2 9월 모의고사 28번 심층분석

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00074437195

안녕하세요. 오오오오1입니다. 

이 글에서는 제가 최근에 공개한 MAGNUS 모의고사에서 가장 아름답다고 생각하는 문제인 28번 심층분석입니다.

우선 문제를 같이 봅시다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)를 x<0일 때에만 주어주고 모든 실수 x에 대하여

라고 하였습니다. 

이 조건이 의미하는 바는 

"실수 전체의 집합에서 함수 f(x)는 자기자신을 역함수로 갖는다"

가 되겠죠. 

그럼 여기서 실수 전체의 집합에서 역함수가 되기 위한 조건조건을 생각해봅시다. 


먼저 조각함수로 따지기 이전에 원래부터 자기자신을 역함수로 갖는 경우입니다. 

이 경우 함수 f(x)의 대칭점이 y=x 위에 있으면 조건을 만족시키게 됩니다.


두 번째 경우는 원래는 자기자신을 역함수로 갖지 않는 경우입니다. 

위 문제와 같은 상황이죠. 이러한 경우 좌표평면에서 생각할 필요가 있습니다. 

그럼 먼저 x값의 부호와 y값의 부호가 같은 1사분면과 3사분면을 봅시다.

점 A를 y=x에 대하여 대칭이동시킨 점을 A'이라 합시다. 

여기에서 눈여겨 봐야 할 점은 점 A에 따라 A'이 찍히는 위치입니다. 

함수 f(x)는 점A와 점A'을 모두 지나야 위의 조건을 만족시키기 때문에 점A와 점A'은 함수 f(x) 위의 점이겠죠. 

그리고 실수 전체의 집합에서 정의되었기 때문에 1사분면 혹은 3사분면 위에 있는 그래프는 필수적으로 원래부터 자기자신을 역함수로 갖는 함수가 됩니다. 

하지만 이 경우는 전제조건인 원래는 자기자신을 역함수로 갖지 않는 경우를 위배하게 되죠. 


여기에서 알 수 있는 사실은 원래는 자기자신을 역함수로 갖지 않는 함수를 활용하여 만들어진 조각함수가 자기자신을 역함수로 갖는다 할 때, 자기자신이 역함수가 아닌 부분은 1사분면과 3사분면에 들어갈 수 없다는 점입니다.


이제 2사분면과 4사분면을 생각해보면 2사분면에 찍힌 점을 y=x 대칭시키면 4사분면에 찍히고 4사분면에 찍힌 점을 y=x 대칭시키면 2사분면에 찍히게 됩니다. 

즉 x<0일 때와 x>0일 때의 사분면이 각각 2사분면, 4사분면이면 역함수조건을 만족시킬 필요조건을 충족한다는 것입니다. 


이제 위 문제를 봅시다. x<0에서 함수 f(x)는


를 만족시키므로 x<0에서 자기자신을 역함수로 갖지 않습니다. 

그렇기 때문에 함수 f(x)는 x<0에서 음수가 될 수가 없습니다. 

그래서 여기에서 얻을 수 있는 조건이 b가 0 이상이라는 것입니다.


또한 이 문제에서 중요한 아이디어가 있습니다. 

a>0인 경우 함수 f(x)는 x<0에서 모든 양수 y에 대응되지 않죠. 

그리고 여기에서 생길 수 있는 오해가 있습니다. 


"a>0이면 모든 y에 대응되는게 아니니 a는 음수겠군"


이게 엄청난 오해입니다. 

왜냐하면 함수 f(x)가 지수함수와 로그함수만으로 이루어졌다는 언급이 없기 때문에 지수함수가 커버치지 못 하는 부분은 y=x가 커버할 수 있기 때문이죠. 

이 문제의 경우 a<0이라면 f(a)=0을 만족시키려면 a=0이어야 하지만 이렇게 되면 f(x)는 함수가 아니게 됩니다. 

그러므로 a>0이어야 하고 x<0에서 나오지 않은 양수 y값은 모두 x>0에서 y=x가 커버해 주는 모양이라는 것을 알 수가 있습니다.

그러면 남은 것은 "어느 범위를 y=x가 차지하냐"입니다.

(나)조건에서 f(a-1)>a-1이라고 나와있죠. f(a)=0이므로 점근선에 의해 f(a-1)은 y=x의 위에 있거나 f(0)이라는 것을 알 수 있죠. 하지만 만약 y=x 위에 있다면 f(a-1)=a-1이므로 조건에 위배됩니다. 

그러므로 f(a-1)=f(0)이 되겠죠. 

그래서 여기에서 얻을 수 있는 조건이 a=1입니다. 

그리고 점근선은 x=0이어야 하기 때문에 b=0을 얻을 수가 있죠.  


위 문제를 제작하면서 제가 한 생각은 "역함수와 함수의 관계성을 지수로그를 활용하여 평가할 수 있는가?"입니다.

그리고 풀이과정을 보면 이를 성공적으로 해냈다는 것을 알 수 있죠. 

지수함수와 로그함수는 서로 역함수라는 성질은 수능에서도 많이 나오는 소재인 만큼 이 소재에 대한 중요성은 매일같이 증가합니다. 

그런 와중에 역함수 관계를 이렇게 파악하도록 만드는 문제가 28번으로 나오는 모의고사인 만큼 많이 풀어주시면 감사하겠습니다. 


그럼 이만 긴 글을 마치겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.


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오오오오1 [1390319]

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