수학문제 투척

0도12의 배수임?

네 0은 모든자연수의 배수 but 0안나옴

삼차함수 개형 그리고

증가/감소하는데 착안해서

구간 (0, 100]에서 y = 12, 24, 36, ..., 96과 교점 몇 개인지 헤아리기엔

x값도 자연수가 나와야 하기 때문에

문과생들은 풀기 힘들지 않을까요;;

그렇게 풀면 안되죠 그럼 n에 100을 대입해야 하는데 그럼 y값 한없이 커짐 ㄷㄷ 그걸 언제 푸실려고 ㄷㄷㄷ

이문제는 지극히 10가나+수1마인드로 푸는겁니다

걍 물어볼 수도 있죠 ㅠㅠ;;

아 그래프로 푸는거구나...

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100이하인데 ㄷㄷ

글로 표현되잇으니까... 몇 제곱인지 잘모르겟네요..ㅋㅋㅋ 귀찬..패스

33..?

오 정답 ㄷㄷ

뿌잉>_<

이런 문제는 생각하기 귀찮으면 '12의 배수'에 착안해서 12로 나눈 나머지로 12가지로 분류해서 일일이 대입하면 답이 나옵니다. 물론 시간이 좀 걸리죠

여기서 약간 생각을 더해보면 주어진 식이 인수분해가 된다는 걸 발견하게 되고, 그러면 계산이 좀 더 간단하게 되죠.
또, 연속한 k개의 정수의 곱은 k! 의 배수이다 라는 사실을 이용하면 더 간단히 풀릴 수도 있습니다.

a_n = 2n³ + n² - n ; n에 관한 3차식

a_n+1 - a_n = b_n ; n에 관한 2차식

b_n+1 - b_n = c_n ; n에 관한 1차식


{a_n} : 2, 18, 60, 140 , 270, 462, ...

{b_n} : 16, 42, 80, 130, 192, ...

{c_n} : 26, 38, 50, 62, ...

c_n은 공차가 12로 예쁘네요.

하지만 숫자가 너무 커지니까

a_n, b_n, c_n을 12로 나눈 나머지를 다시 A_n, B_n, C_n 이라 정의한다면,

{A_n} : 2, 6, 0, 8, 6, 6, 8, 0, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 0, 8, 6, ...

{B_n} :　4, 6, 8,10, 0, 2, 4, 6, 8,10, 0, 2, 4, 6, 8,10, 0, 2, 4, 6, 8, 0, ...

{C_n} : 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...


B_n 에서 4, 6, 8, 10, 0, 2를 주기로 더하고 있는데,

A_n 에서는 2, 6, 0, 8, 6, 6, 8, 0, 6, 2, 0, 0 의 12개 항을 주기로

한 주기에 해당하는게 4개이므로

답은 4 * 8 + 1 = 33

인수분해하면 n(n+1)(2n-1) 이고 12=2^2 * 3 이므로

3의 배수가 되는 경우를 구하면 n = 3m, 3m+2
또, 2n-1은 항상 홀수이므로 n(n+1)이 4의 배수가 되는 경우를 구하면 n= 4L, 4L+3

두 가지의 교집합을 구하면 n = 12k, 12k+3, 12k+8, 12k+11 의 4가지 해가 나옵니다

아마 이렇게 풀라는 것이 출제자의 의도 같네요.

와 아벨 선생님께서 이렇게까지 답변해주시다니 감사합니다 ㅎ_ㅎ;

수험생 때는 저렇게 정수를 나머지별로 분류해서 풀기가 그렇게 귀찮아서

가능하면 수열 형태로 나열해서만 풀었었는데

그 버릇도 고쳐야 겠습니다.. +_+!

암튼 A_n 에서 2, 6, 0, 8, 6, 6, 8, 0, 6, 2, 0, 0 요게 주기라는 것이

12k, 12k+3, 12k+8, 12k+11와 정확히 일치하네요 ^^;

이건 어떤 방식으로 푼거죠..?

어질어질 @_@

어떻게 푸나요??ㅠㅠ