물2 포물선 운동 정복

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물2에서 포물선운동 부분은 어려운 내용도 아니고 물2 선택자라면 중력끄기 정도는 기본으로 탑재되어 있지만, 만약 포물선에서 일관된 풀이로 풀지 않고 느낌대로 중력끄기를 남발하며 풀어왔다면 이번 글이 도움이 될 겁니다. 이번 글에서는 고난도로 평가받는 포물선 운동도 다룰 것이니 문제가 조금 어려울 수는 있어요. 하지만 여러분들의 풀이 방식(나는 과연 생각하면서 풀었을까?) 를 점검하는 데 큰 도움이 될 것이라 생각합니다.

중력끄기의 본질은 잘 아시겠지만 s = vt + (1/2)at² 를 각각 vt 벡터와 (1/2)at²벡터를 분할한 것입니다. 이 때, a = g인 상황에서는 마치 중력에 의한 변위와 v에 의한 변위를 따로따로 보기에 중력이 꺼진 운동처럼 보이죠. 이 벡터 분할은 a = g인 상황에서만 쓸 수 있는 것이 아니라, 어떤 a에 대해서도 벡터를 분할해 운동의 시각을 직관적으로 볼 수 있게 할 수 있습니다.

중력끄기의 장점은 물체의 운동 결과에서 변위관계를 매우 명확하게 알 수 있다는 점입니다. 하지만 중력끄기의 단점에 대해 생각해보신 적 있으신가요? 중력끄기의 단점은 바로 운동 과정이 생략되고 단적인 결과만 보여주고, 가속도의 본질인 속도의 변화량을 측정하기 어렵다는 점입니다.

일단 언제 중력끄기를 써야 하는지와 언제 쓰지 말아야 하는 지 판단 기준을 먼저 알려드리자면, 말 그대로 "시간이 같은 등가속도 운동에서 변위 관계"에 대한 정보가필요할 때, 중력끄기를 쓸 수 있습니다. 반대로, 조건에 시간에 대한 정보가 없거나 나중 속도 등을 물어본다면 오히려 중력끄기를 쓰는 게 돌아가는 풀이일 수도 있다는 거죠.

먼저 빗면에서의 운동에서 중력 끄기를 적용하는 법입니다. 쉬운 문제에서부터 적용해 볼게요.
22대비 6월 11번입니다.

빗면에서의 가속도가 절반이 되었으므로 빗면에서 (1/2)at²에 대한 부분이 절반이 되었다고 볼 수 있습니다.

중력끄기의 본질인 속도변위와 가속도변위를 이용해 속도가 만든 변위가 얼마나 되는 지 매우 직관적이고 정량적으로 빠르게 풀을 수 있습니다.

이번에는 중력끄기를 사용하면 안 되는 문제입니다.
23시행 7월 20번입니다.

저도 중력끄기를 남발하던 시절이있었는데, 해당 문항은 그런 저의 마인드를 바꾼 문제였습니다.
이 문제는 언뜻 보면 전형적인 중력끄기를 사용해 쉽게 푸는 문제처럼 보이지만, 중력 끄기를 쓰게 되는 순간 풀이의 가닥도 잡지 못하고 풀지 못하게 됩니다. 중력끄기를 썼을 뿐인데 왜 해당 문제를 풀 수 없을까요?
해당 문제에서 중력끄기를 사용하면 안되는 이유는, 서로 다른 시간에서의 운동 관계를 비교해야 하기 때문입니다.

s = vt + (1/2)at²공식에서, 시간은 매우 중요한 정보라는 것을 알 수 있습니다. 보통의 경우 같은 시간의 두 물체의 운동을 분석할 때 중력끄기를 사용해 왔는데, 시간이 다르고, 그 시간에 대한 정보가 없으면 변위만으로는 분석하기 매우 까다롭습니다.

따라서 해당 운동은 평균속도를 이용해 s위치에서의 속도를 구하고, 해당 속도를 기반으로 시간을 분할해 푸는 문제라고 정리할 수 있습니다. 이러한 "사고과정" 없이 단순히 익숙한 형태로써 중력끄기를 사용해왔다면, 또는 일단 풀려고 해보니 그냥 풀렸다라고 하신다면, 태도를 고칠 필요가 있습니다. 수학을 하나 과탐을 하나 제가 누군가에게 어떻게 푸는지 질문받을 때, 항상 일관된 질문으로 너는 어떤 사고과정으로 이런 식을 썼어? 이 식을 써서 얻는 거는 뭔데?라고 질문합니다. 풀이의 가닥을 잡고 확신을 가지고 푸는 것과, 무지성으로 중력끄기를 쓰거나 평균속도를 활용해 푸는 것과는 하늘과 땅 차이거든요.

21대비 6월 19번입니다.

빗면에서의 운동과 포물선 운동은 별개이기 때문에 항상 운동을 분할해 주어야 합니다. 그리고 여기에서도 "시간"에 대한 정보를 얻을 수 없으니, 꼭대기 속도를 v₁으로 두고 2as = v² - v₀²공식을 사용해 주어야 합니다. 그리고 포물선 운동에서 중력끄기로 각각의 변위를 구해준 뒤, t₂를 소거해주면 끝.

23대비 9월 20번입니다.

역시나 처음에 빗면과 포물선으로 운동을 분할하고, 평균속력을 이용해 시간을 구했습니다.
중간에 평균 속력이 같은데, A는 등가속도 운동이 아니므로 L을 이용해 비교했습니다.
또한 빗면에서의 가속도는 t초에 +(1/2)v 이고, 평상시에는 그의 4배이므로 t초에 +2v 임을 이용했습니다. 가속도의 본질을 이용해 식을 세우는 것도 중요한 것 같아요. 참고로 저는 물1에서부터 (t->v) 이런 식으로 가속도를 표현해 온 습관이 있었는데, 가속도를 분수꼴로 나타내는 것보다 저게 더 편한 것 같아요.

제 친구가 예전에 저한테 안 풀린다고 가져온 포물선 문제가 있었습니다. 봤을 때는 중력끄기를 남발해 놓고 조건을 어떻게 적용할 지 몰라서 풀이가 끊겨 있었죠. 23대비 수능 19번입니다.
해당 문항에서도 중력 끄기를 사용한다면 불편한 점이 한두 가지가 아닙니다. B의 나중 속력도 모르고, B의 포물선 운동 시작은 운동 개시 직전도 아니기 때문에 A와 B의 포물선 운동 시간이 같다고 단정할 수도 없습니다.

저는 항상 일관된 풀이를 좋아합니다. 해당 문제의 경우 저의 사고 과정은
1. A와 B의 포물선 운동이 별개(포물선 운동 시간이 다를 수 있음)여서 중력끄기를 쓰기 애매하다.
2. A의 높이에 대한 정보는 1.에 따라서 주어진 조건만으로 알 수 없다
->A는 수평 방향에 대한 정보만 알려주고 있는 것이다.
->전체 운동 시간을 t라 하고, vt = L+3d 라고 식을 세워둠. 이제 A는 볼 필요 없겠다. (중요)
3. B의 운동을 분석해보자. 일단 빗면과 포물선 운동을 분할하고 빗면에서 운동 시간은 모르고, 가속도와 변위는 아네? 2as = v² - v₀²을 사용해 빗면에서의 나중속력에 대한 정보를 하나 얻어낼 수 있겠네.
4. 빗면(최고점) B의 나중 속력을 미지수로 두고, 포물선에서 평균 속력으로 r지점 x축 방향 평균 속력을 이용해 y방향 나중 속력을 구하고, 2as = v² - v₀²공식을 사용하고 연립하면 빗면 최고점에서의 속력(미지수)를 v(주어진 변수)로 나타낼 수 있겠어.
5. 속도를 모두 구했으니 전체 운동의 x축 방향 평균속력으로 x축 방향 변위를 각각 구하고, L을 구하자.
6. (마무리 계산) 구해야 하는 것은 vt를 d에 대해 나타내는 식이므로 (평균속력 v) * t = d임을 이용하자.|
->평균속력을 빗면에서와 포물선에서로 분할해야겠다. 각각 t₁, t₂로 두고 vt = ?d 꼴로 정리하자.
7. L = 3d
(그림풀이)
해당 풀이가 제가 봐도 복잡해 보이긴 하지만, 실제 설명 없이 암산을 섞어가며 풀면 식이 정말 몇개 안되며, 마무리 계산은 아름답게도 루트가 사라지게 되네요. 시간에 대한 정보가 없을 때에는 2as = v² - v₀²를 이용해 풀어나가야 하지만, 상황이 조금만 복잡해져도 이 것을 캐치하는 것이 어려워지죠. 생각하면서 푼다는 것이 바로 이런 것을 캐치하는 것입니다.

마무리 계산에서 논리에 대한 설명을 첨언하자면, 알아야 하는 것은 vt를 d로 나타내야 하므로 시간에 대한 정보를 이용해야 하는데, B의 운동에서 x축 방향 평균 속력을 구할 때 등가속도 운동만 하는 것이 아니므로 x축 방향 평균 속력을 구하기 위해서 시간을 분할했다고 이해할 수 있습니다. 속도는 모두 아니 x축 방향 평균 속력은 반드시 구할 수 있고, 식이 복잡해도 연산하게 되는 원동력이 됩니다. 현우진 선생님께서 자주 언급하는 미지수 2개와 식 2개가 있으니 반드시 풀릴 것이다라는 논리의 연장선이죠. 풀릴 거라는 확신을 가진다면, 연산이 복잡해도 중간에 생각할 시간을 없애고 기계적으로 연산하게 되므로 풀이 속도가 엄청나게 단축됩니다. 다시 한번 강조하지만 이거 아주 중요합니다.

마지막 3문제는 모두 해당시험에서 가장 어려운 문제 3개였습니다. 그리고 모두 일관된 풀이로 풀리죠.
빗면에서와 포물선에서의 운동을 분할하고, 시간에 대한 정보가 없으니 2as = v² - v₀²공식을 사용하고, 포물선 운동과 빗면에서의 운동을 각각 분석해 답을 도출해낸다는 공통점이 있습니다. 고난도 문항에서 공통적으로 시간에 대한 정보를 주지 않는 것은 운동을 직관적으로 분석하기 어렵게 해서 풀이를 어렵게 하지만, 역으로 이 점을 알고 계신다면 어떠한 고난도 문항이라도 매우 일관적으로 풀린다는 사실을 알 수 있습니다. 여러분이 기출분석을 한다면 이런 것을 봐야 하는 겁니다.