[10분 논리학] 누구나 이해할 수 있는 양화논리

https://1000wordphilosophy.com/2021/09/28/critical-thinking/

https://1000wordphilosophy.com/2019/06/15/the-sleeping-beauty-problem/

https://1000wordphilosophy.com/2021/11/17/reason-is-the-slave-to-the-passions/

https://1000wordphilosophy.com/2022/07/03/quantificational-or-predicate-logic/

잠자는 미녀 문제(Sleeping Beauty Problem)는 인식론과 확률론의 철학적 퍼즐로서, 다음과 같은 실험 상황을 제시한다: 일요일 밤에 미녀는 잠이 들고, 실험자는 공정한 동전을 던진다. 동전이 앞면(Heads)이 나오면, 미녀는 월요일에 한 번 깨어난 후 수요일까지 다시 잠들어 있다가 실험이 종료된다. 동전이 뒷면(Tails)이 나오면, 미녀는 월요일과 화요일에 각각 깨어나며, 월요일에 깨어난 후에는 기억을 지우는 약을 투여받아 그날 깨어났던 것을 잊게 된다. 이 상황에서 미녀가 깨어났을 때, 동전이 앞면이 나왔다는 명제(H)에 대해 어떤 신뢰도(credence)를 가져야 할지가 문제된다. 신뢰도는 0에서 1 사이의 값으로, 1은 해당 명제가 확실히 참임을, 0은 확실히 거짓임을, 0.5는 중립적인 입장을 나타낸다. 이 문제에 대한 해답은 두 가지 입장으로 나뉘는데, '반분주의자'(halfer)는 미녀가 H에 대해 1/2의 신뢰도를 가져야 한다고 주장하고, '삼분주의자'(thirder)는 1/3의 신뢰도를 가져야 한다고 주장한다. 반분주의자의 논거는 반영 원리(Reflection Principle)와 주된 원리(Principal Principle)에 기반한다. 반영 원리는 새로운 정보를 얻지 않는 한 미래에 가질 신뢰도를 현재에도 가져야 한다는 것이며, 주된 원리는 신뢰도가 실제 세계의 확률과 일치해야 한다는 것이다. 따라서 미녀는 깨어나기 전에도 H에 대해 1/2의 신뢰도를 가졌고, 깨어난 후에도 새로운 정보를 얻지 않았으므로 그 신뢰도를 유지해야 한다는 것이다. 반면 삼분주의자는 무차별 원리(Principle of Indifference)를 적용하여, 미녀가 깨어날 수 있는 세 가지 가능성—동전이 앞면이고 월요일에 깨어남, 동전이 뒷면이고 월요일에 깨어남, 동전이 뒷면이고 화요일에 깨어남—이 균등하므로 각각에 1/3의 신뢰도를 부여해야 한다고 주장한다. 추가로 삼분주의자는 미녀가 깨어났다는 사실 자체가 새로운 정보이며, 이는 동전이 뒷면일 때 깨어날 확률이 더 높으므로 H의 신뢰도를 1/3로 낮춰야 한다고 설명한다. 이 주장을 강화하기 위해 동전이 뒷면일 때 미녀를 100번 깨우는 변형 실험을 제시하면, 미녀가 깨어났을 때 동전이 뒷면일 가능성이 훨씬 높아지므로 신뢰도를 조정해야 함을 직감할 수 있다. 이러한 논쟁은 신뢰도를 언제, 어떻게 갱신해야 하는지, 그리고 어떤 정보가 새로운 증거로 간주되어야 하는지에 대한 근본적인 인식론적 질문을 제기하며, 철학적 확률과 과학 철학 등 다양한 분야에서 중요한 함의를 지닌다. 대부분의 철학자들은 삼분주의자의 입장이 옳다고 생각하지만, 그에 대한 최선의 논거에 대해서는 여전히 합의가 없다.

<틀린 선택지>
1. 미녀는 깨어났을 때 새로운 정보를 얻었으므로, '반영 원리'에 따라 H에 대한 신뢰도를 1/3으로 조정해야 한다고 반분주의자는 주장한다.
2. '반분주의자'는 무차별 원리를 적용하여 세 가지 가능성에 각각 1/3의 신뢰도를 부여해야 한다고 주장한다.
3. 대부분의 철학자들은 반분주의자의 입장이 옳다고 생각하지만, 최선의 논거에 대해서는 여전히 합의가 없다.
4. 동전이 앞면일 경우 미녀는 월요일과 화요일에 깨어나며, 기억을 지우는 약을 투여받지 않는다.
5. 삼분주의자의 논거는 '주된 원리'와 '반영 원리'에 기반하며, 신뢰도를 1/2로 유지해야 한다고 주장한다.
<힌트>
1. 반분주의자는 깨어난 후 새로운 정보를 얻지 않았으므로 H에 대한 신뢰도를 1/2로 유지해야 한다고 주장한다. 신뢰도를 1/3으로 조정해야 한다고 주장한 것은 삼분주의자다.
2. 무차별 원리를 적용하여 세 가지 가능성에 각각 1/3의 신뢰도를 부여해야 한다고 주장한 것은 삼분주의자며, 반분주의자는 이 원리를 사용하지 않는다.
3. 대부분의 철학자들은 삼분주의자의 입장이 옳다고 생각한다고 지문에 나와 있으며, 반분주의자의 입장을 지지하는 것이 아니다.
4. 동전이 앞면일 경우 미녀는 월요일에 한 번만 깨어나며, 수요일까지 다시 잠든다. 앞면일 때 월요일과 화요일에 깨어나는 것은 뒷면일 때의 상황이다.
5. 삼분주의자의 논거는 무차별 원리와 깨어났다는 사실이 새로운 정보라는 점에 기반하며, 신뢰도를 1/3으로 조정해야 한다고 주장한다. 신뢰도를 1/2로 유지해야 한다고 주장한 것은 반분주의자다.

<틀린 선택지>
- 잠자는 미녀 문제에서, 동전이 뒷면이 나왔을 때 미녀는 화요일에만 깨어난다.
- 잠자는 미녀 문제는 미녀가 잠든 동안 어떤 꿈을 꾸는지에 대한 문제이다.
- 반분주의자들은 미녀가 월요일과 화요일에 깨어날 확률이 동일하다고 본다.
- 삼분주의자들은 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 1/3이라고 주장한다.
- 대부분의 철학자들은 잠자는 미녀 문제에 대한 해답으로 반분주의자의 입장을 지지한다.

<힌트>
- 지문에서 동전이 뒷면이 나왔을 때 미녀는 월요일과 화요일 각각 깨어난다고 명시되어 있다.
- 잠자는 미녀 문제는 미녀가 특정 명제에 대해 가져야 할 신뢰도를 다루는 문제이지, 꿈의 내용과는 무관하다.
- 반분주의자들은 미녀가 깨어났을 때 동전이 앞면일 확률이 1/2라고 주장하지만, 월요일과 화요일에 깨어날 확률에 대해서는 언급하지 않는다.
- 삼분주의자들은 동전의 앞면과 뒷면이 나올 확률이 각각 1/2임을 인정하며, 미녀가 깨어났을 때 동전이 앞면일 확률이 1/3이라고 주장한다.
- 지문에 따르면 대부분의 철학자들은 삼분주의자의 입장이 옳다고 생각한다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

-"반영 원리(Reflection Principle)"는 새로운 정보를 얻지 않는 한 미래에 가질 신뢰도를 현재에도 유지해야 한다는 원리로, 이는 마치 어제 본 일기예보가 여전히 유효하다면 오늘도 우산을 가져갈 결정을 바꾸지 않는 것과 같다.

-"주된 원리(Principal Principle)"는 주어진 정보가 실제 확률과 일치해야 한다는 신뢰도의 지침으로, 예를 들어 안정적인 주사위라면 특정 숫자가 나올 확률을 1/6로 정하는 것과 유사하다; 이는 실제 세계의 확률에 따라 신뢰도를 조정하는 기준이 된다.

-"무차별 원리(Principle of Indifference)"는 특정한 정보가 없다면 가능한 결과들에 대해 동일한 신뢰도를 부여해야 한다는 개념으로, 예를 들어 공정한 주사위를 굴릴 때 어떤 면이 위로 나올지 알 수 없을 때 각 면에 대해 똑같이 믿는 것이다; 이는 균등한 가능성 앞에서 결정하는 방법을 제시한다.

양화 논리(quantificational logic) 또는 술어 논리(predicate logic)는 명제 논리(sentential logic)보다 다소 복잡하지만 여전히 비교적 기초적인 논리 체계이다. 명제 논리에서 원자문장(atomic formula)은 더 이상 분해될 수 없는 단순한 명제 문자로 구성된다. 반면 양화 논리에서는 원자문장이 주어와 술어로 구성되어 더 복잡한 구조를 가진다. 여기서 주어는 소문자로, 술어는 대문자로 표기하며, 예를 들어 "소크라테스는 인간이다"는 H(s)로 나타낸다. 또한 양화 논리에서도 부정(¬), 연결(∧), 선택(∨), 조건(→), 이중 조건(↔)과 같은 명제 논리의 논리 상수들은 그대로 사용된다. 변수(variable)는 x, y 등의 기호로 표현되며, 미지의 또는 지정되지 않은 항목을 나타낸다. 이러한 변수들은 자유 변수(free variable)인데, 이는 양화사(quantifier)에 의해 묶여야(bind) 비로소 문장이 된다. 양화사는 존재 양화사(∃x)와 전체 양화사(∀x)가 있으며, 각각 "어떤 x가 존재한다"와 "모든 x에 대하여"로 해석된다. 예를 들어 ∃x[H(x)]는 "어떤 x는 인간이다"를, ∀y[H(y)]는 "모든 y는 인간이다"를 의미한다. 양화사는 원자문장뿐만 아니라 분자문장에도 적용될 수 있으며, 다중 양화사를 사용할 때는 그 순서에 주의해야 한다. 양화 논리에서 증명을 하기 위해서는 대상(domain)을 지정해야 하는데, 이는 공식에서 사용되는 모든 개체들을 포함한다. 예를 들어 대상이 전 우주일 경우, ∃x[H(x)]는 참이지만 ∀x[H(x)]는 거짓이 된다. 또한 특정한 대상, 예를 들어 세 명의 학급 친구들로 이루어진 경우, 그들 모두가 학생이라면 ∀x[S(x)]로 모든 이가 학생임을 나타낼 수 있다. 양화 논리에서는 전체 일반화(universal generalization)와 개체화(instantiation)를 통해 논리를 전개할 수 있는데, 전자의 경우 모든 개체에 대한 진술로부터 특정 개체에 대한 진술을 유도하고, 후자의 경우 그 반대로 실시한다. 예를 들어 "모든 인간은 필멸자이다"라는 ∀x[H(x) → M(x)]와 "소크라테스는 인간이다"라는 H(s)로부터 "소크라테스는 필멸자이다"라는 M(s)을 이끌어낼 수 있다. 이러한 양화 논리를 통해 더 복잡한 문장과 논증을 형식화할 수 있지만, 술어 자체를 양화하거나 확률적 또는 필연적 진술을 형식화하는 등 더 복잡한 논의는 추후에 다루어야 할 것이다.

<틀린 선택지>
- 양화 논리에서 부정문은 새로운 양화사를 도입하지 않고도 자유 변수를 그대로 사용할 수 있다.
- 양화 논리에서는 변수 대신 상수를 사용하므로 모든 항들은 지정된 개체들을 나타낸다.
- 대상 영역이 우주 전체일 때, 존재 양화사로 표현된 공식은 거짓이 된다.
- 명제 논리에서는 모든 공식들이 주어와 술어로 구성되어 있다.
- 다중 양화사를 사용할 때는 양화사의 순서가 의미에 영향을 미치지 않는다.
<힌트>
- 양화 논리에서 자유 변수는 양화사에 의해 반드시 묶여야 문장이 되며, 부정문에서도 새로운 자유 변수가 도입되지 않는다.
- 양화 논리에서는 변수(variable)를 사용하여 미지의 또는 지정되지 않은 항목을 나타내며, 상수는 특정 개체를 나타낼 때 사용한다.
- 대상 영역이 우주 전체라면, 존재 양화사로 표현된 공식은 참이 되고, 전체 양화사로 표현된 공식이 거짓이 된다.
- 명제 논리에서는 공식이 주어와 술어로 구성되지 않고, 더 이상 분해할 수 없는 단순한 명제 문자로 구성된다.
- 다중 양화사를 사용할 때는 양화사의 순서가 의미에 큰 영향을 주므로 주의를 기울여야 한다.

<틀린 선택지>
- 명제 논리와 달리 양화 논리에서는 주어와 술어로 구성된 원자문장을 사용하지 않으며, 단순한 명제 문자만을 사용한다.
- 양화 논리에서 변수는 양화사에 의해 묶이지 않아도 문장이 될 수 있으며, 자유 변수는 항상 특정한 대상을 지칭한다.
- 양화 논리에서 전체 일반화는 특정 개체에 대한 진술로부터 모든 개체에 대한 진술을 유도하는 것을 의미하며, 개체화는 그 반대의 경우를 의미한다.
- 양화 논리의 핵심적인 차이점은 명제 논리와 달리 진리값이 상대적이며, 문맥과 해석에 따라 달라질 수 있다는 것이다.
- 양화 논리는 술어 자체를 양화하거나 확률적 또는 필연적 진술을 형식화하는 등 복잡한 논의를 포괄적으로 다룰 수 있다.

<힌트>
- 첫 번째 문장은 명제 논리와 양화 논리의 원자문장 구성 방식을 다르게 설명하고 있다. 지문에서는 양화 논리가 명제 논리보다 복잡하고, 원자문장이 주어와 술어로 구성된다고 설명하고 있다.
- 두 번째 문장에서 양화 논리에서 변수는 양화사에 의해 묶여야 문장이 될 수 있다는 점, 자유 변수는 특정한 대상을 지칭하는 것이 아니라 미지의 또는 지정되지 않은 항목을 나타낸다는 점을 혼동하고 있다.
- 세 번째 문장에서 전체 일반화와 개체화의 개념을 정반대로 설명하고 있다. 지문에서는 전체 일반화는 모든 개체에 대한 진술로부터 특정 개체에 대한 진술을 유도하는 것이라고 명확히 설명하고 있다.
- 네 번째 문장에서는 양화 논리의 진리값이 상대적이라는 틀린 정보를 제시하고 있다. 지문에서는 양화 논리의 진리값이 상대적이라는 내용을 언급하지 않았다.
- 다섯 번째 문장에서는 양화 논리가 술어 자체를 양화하거나 확률적 또는 필연적 진술을 형식화하는 것을 포괄적으로 다룰 수 있다고 설명하고 있는데, 이는 사실이 아니다. 지문에서는 이러한 복잡한 논의는 추후에 다루어야 할 것이라고 언급하고 있다.

<이 글에서 얻어갈 개념 3가지>

-"양화사(Quantifier)"는 논리적 표현에서 변수에 구속을 부여하여 문장을 형성하는 요소로, 존재 양화사(∃x)는 "어떤 x가 존재한다"는 의미, 전체 양화사(∀x)는 "모든 x에 대하여"라는 의미를 전달하여, 이를 통해 "모든 학생이 공부한다"는 사회적 법칙처럼 전체를 포괄하거나 존재를 주장하는 문장을 구성할 수 있다.

-"자유 변수와 구속 변수(Free and Bound Variables)"는 변수가 양화사에 의해 묶이지 않은 상태와 묶인 상태를 구분하는 개념으로, 비유하자면 자유 변수가 어떤 집단에서 혼자인 상태라면, 구속 변수는 그룹 안에 속해 책임이나 규칙을 따르는 상태를 나타낸다.

-"대상(domain)"은 양화 논리에서 논의의 기반이 되는 모든 개체들의 집합으로, 이는 논리적 증명을 수행하기 위한 근거이자 문장의 진위를 결정짓는 범위로 작용하며, 이를 통해 전 우주냐 특정 공동체냐에 따라 논리 명제의 참과 거짓이 달라질 수 있는 것처럼, 분석의 스코프가 되는 배경이다.

논증은 하나의 결론과 이를 지지하는 최소한의 전제들로 구성되며, 여기서 결론은 논증이 설득하려는 핵심 주장이고 전제들은 그 결론을 믿을 만한 이유들을 제공한다. 철학에서 '타당(validity)'이란 특별한 의미를 갖는데, 이는 전제들이 참이라면 결론도 반드시 참이 되는 논증의 구조적 성질을 말한다. 예를 들어, "모든 말은 포유류이다. 세바스찬은 말이다. 따라서 세바스찬은 포유류이다."라는 논증은 전제들이 참일 경우 결론이 참이 될 수밖에 없으므로 타당하다. 그러나 전제들이 참인데도 결론이 거짓일 수 있는 논증은 부당(invalid)하다. 논증의 강력함(strength)은 전제들이 참이라면 결론이 아마도 참일 것이라는 정도를 나타내며, 이는 전제들이 결론을 확률적으로 지지하는 경우에 해당한다. 예컨대, "누군가 루브르에 얼룩말을 풀어놓았다. 모나리자에 얼룩말 이빨 자국이 남았다. 따라서 모나리자는 얼룩말에 의해 손상되었다."라는 논증은 실제 세계의 지식을 고려할 때 전제들이 참이라면 결론이 아마도 참일 것이므로 강력하다. 건전(soundness)한 논증은 타당하며 모든 전제가 참인 경우로, 이러한 논증의 결론은 항상 참이다. 예를 들어, "만약 어떤 것이 물을 포함한다면 수소를 포함한다. 바다는 물을 포함한다. 따라서 바다는 수소를 포함한다."라는 논증은 타당하고 전제들이 모두 참이므로 건전하다. 한편, 논증이 강력하고 전제들이 모두 참이면 이는 설득력(cogency)이 있다고 하며, 이러한 논증의 결론은 아마도 참일 것이다. 논증에 이의를 제기하려면 그 논증이 부당하거나 약하거나 전제 중 하나 이상이 거짓임을 보이면 된다. 중요한 점은 타당성과 강력함은 전제와 결론 사이의 관계에 관한 것이며, 전제나 결론의 실제 진위 여부와는 별개이다. 그러므로 논증은 전제들이 결론을 어떻게 지지하는지에 따라 평가되며, 이는 설득력 있는 논증을 통해 청중이 결론을 받아들이도록 유도하는 데 있어서 핵심적이다. 결국 논증은 사람들이 어떤 문제에 대해 믿는 바를 이유와 함께 제시하는 것이며, 이는 일상생활에서 다양한 이슈에 대해 이루어진다. 따라서 논증의 구조와 그 타당성, 강력함, 건전성, 설득력을 이해하는 것은 효과적인 의사소통과 합리적 설득에 필수적이다.

<틀린 선택지>
- 철학에서 타당성은 결론이 참이면 전제들도 반드시 참이어야 하는 논증의 구조적 성질을 의미하며, 이는 전제와 결론 사이의 역방향 관계를 강조하여 논증의 신뢰성을 평가한다.
- 논증이 강력하고 전제들이 모두 참인 경우 이를 건전한(sound) 논증이라 하며, 이러한 논증의 결론은 필연적으로 항상 참이 되어 논증의 타당성을 보장한다.
- 논증이 강력하면 전제들이 참일 때 결론도 반드시 참이 되어, 강력함은 타당성과 동일한 논증의 구조적 성질을 의미하며, 둘 사이에 차이가 없다.
- 논증이 타당하고 전제들이 모두 참이어도 결론은 가능성이 낮지만 거짓일 수 있으며, 이러한 경우 논증의 설득력이 떨어지고 청중은 결론을 받아들이지 않을 수 있다.
- 논증의 구조보다는 전제들의 실제 진위 여부가 논증의 타당성과 강력함을 결정하며, 따라서 논증 구조는 설득에 큰 영향이 없고 이해할 필요가 없다.
<힌트>
- 지문에서는 타당성이 전제들이 참이라면 결론이 반드시 참이 되는 논증의 구조적 성질을 의미한다고 설명하고 있으며, 결론에서 전제로 가는 역방향 관계를 의미하지 않는다.
- 건전한 논증은 타당하고 모든 전제가 참인 경우이며, 강력함이 아니라 타당성이 필요하며, 강력하고 전제들이 참이면 설득력 있는(cogent) 논증이다.
- 강력함은 전제들이 참이면 결론이 아마도 참일 것이라는 정도를 나타내며, 타당성과는 구별되며, 타당성은 전제들이 참이면 결론이 반드시 참이 되는 것이다.
- 타당하고 전제들이 모두 참인 건전한 논증의 결론은 항상 참이며, 결론이 거짓일 수 없으므로, 이 선택지는 지문 내용과 모순된다.
- 지문에서는 타당성과 강력함은 전제와 결론 사이의 관계에 관한 것이며, 논증 구조를 이해하는 것이 효과적인 설득에 필수적이라고 한다.

<틀린 선택지>
- 논증의 타당성은 전제와 결론의 실제 진위 여부와 밀접하게 연관되어 있으며, 전제가 참이더라도 결론이 거짓일 수 있는 논증은 타당하다고 볼 수 없다.
- 논증에서 전제는 결론을 뒷받침하는 역할을 하지만, 결론이 참이라면 전제가 거짓일 수도 있다.
- 논증의 강력함은 전제들이 결론을 얼마나 논리적으로 필연적인 방식으로 지지하는지를 의미하며, 전제가 참이라면 결론도 필연적으로 참이 되는 논증은 강력하다고 할 수 있다.
-  건전한 논증은 타당성과는 무관하게 전제들이 모두 참인 논증을 의미하며, 전제들이 실제로 참이기만 하면 결론의 진위 여부와는 상관없이 건전한 논증으로 간주된다.
- 논증의 설득력은 전제와 결론의 관계보다는 주로 논증을 구성하는 방식, 예를 들어 사용된 어휘, 문장 구조, 비유 등에 의해 좌우되며, 동일한 내용의 논증이라도 표현 방식에 따라 설득력이 달라질 수 있다.

<힌트>
- 논증의 타당성은 전제가 참이라고 가정했을 때 결론이 따라오는지 여부만을 따지지, 전제나 결론의 실제 진위 여부는 고려하지 않는다.
- 논증에서 전제는 결론을 뒷받침하는 근거가 되므로, 결론이 참이더라도 전제가 거짓이라면 논증 자체가 성립하지 않는다.
- 논증의 강력함은 전제들이 결론을 얼마나 개연적으로 지지하는지를 의미하며, 전제가 참이더라도 결론이 거짓일 가능성이 있다면 강력한 논증이라고 할 수 없다.
- 건전한 논증은 타당성을 전제로 하며, 전제들이 모두 참인 논증만을 의미한다. 타당성이 결여된 논증은 전제들이 참이더라도 결론의 진위를 보장할 수 없으므로 건전한 논증이라고 할 수 없다.
- 논증의 설득력은 전제들이 결론을 얼마나 잘 뒷받침하는지, 즉 논증의 강력함과 전제의 진실성에 의해 좌우된다. 표현 방식은 논증의 설득력에 영향을 줄 수 있지만,  논증 자체의 설득력은 전제와 결론의 관계에 의해 결정된다.

이 글에서 얻어갈 개념 3가지:

- "타당성(validity)"은 논증의 전제들이 모두 참일 때 결론도 참이 되는지 여부를 결정짓는 논리적 구조의 성질로, 예를 들어, 모든 포유류는 척추동물이다, 그리고 고양이는 포유류이다, 따라서 고양이는 척추동물이라는 논증이 타당하다.

- "건전성(soundness)"은 논증이 타당하고 모든 전제가 참인 경우로, 이러한 논증의 결론은 항상 참이다; 즉, '모든 인간은 필멸이다, 소크라테스는 인간이다, 따라서 소크라테스는 필멸이다'라는 논증은 건전하다.

- "설득력(cogency)"은 강력하면서 모든 전제가 참인 논증이 갖는 성질로, 결론이 아마도 참일 것이라는 높은 신뢰성을 제공하며, "대부분의 새는 날 수 있다, 펭귄은 새이다, 따라서 펭귄은 날 수 있을 것이다"라는 논증은 전제가 모두 참이 아니라는 점에서 설득력이 부족하다.