아 투척 마지막 ㅋㅋ

Question

원 (x-2)^2+(y-2)^2=4와 직선y=mx가 두점 P,Q에서 만날때 
선분 PQ의 중점M의 자취의 길이를 구하라는 ㅇㅖ쁨 ㅋㅋ

Monkey.D.Ruffy · Accepted Answer

ㄴㄴㄴ 얘쁨?

ictteru_ · Answer

주어진 두 식을 연립하면

(x - 2)² + (mx - 2)² = 4     (m > 0, ∵ 서로 다른 두 교점)

(1 + m²)x² - 4(1 + m)x + 4 = 0

P(α, mα), Q(β, mβ)

그리고 그 중점을 M(X, Y)이라 하면

X = (α + β)/2 = 2(1 + m)/(1 + m²)

Y = m(α + β)/2 = 2m(1 + m)/(1 + m²)


한편, X  = 2(1 + m)/(1 + m²) 에서

(1 + m²)X = 2m + 2

Xm² - 2m + X - 2 = 0

m = (1 ± √(1 - X(X - 2)))/X


그리고 Y = mX 에서

Y = 1 ± √(1 - X(X - 2)) = 1 ± √(2 - (X - 1)²)

(X - 1)² + (Y - 1)² = 2

여기서 무연근 조건을 가하면서 식을 정리해야 하지만

귀찮으니까 그냥 직관적으로 풀자면;;

자취의 경계가 (2, 0), (0, 2) 이고

(2, 2)도 지나야 하므로

원 (X - 1)² + (Y - 1)² = 2의 절반이 자취~!

그래서 답은 (√2)π

아 투척 마지막 ㅋㅋ

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