수학 오개념 잡기 - 경우의 수와 확률

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제가 재수학원 때 수학 공부를 정말 많이 했었습니다. 정말 평생동안 미뤄놓은 수학 공부를 거읜 1,2년 안에 압축해서 벼락치기처럼 공부한다는 느낌이 강했는데요. 그 중에서 특히 제가 크게 깨달은 것은

내 머릿속에 오개념(수학과 물리 탐구)이 너무 많이 들어있구나! 였습니다.

여러분도 만약 계속 특정 영역이나 유형에서 틀리는 것을 반복한다면, 혹시 오개념이 잡히지 않았나 의심해보시기 바랍니다. 특히 제가 수학과 더불어 물리는 정말 못했는데요, 물리를 정말로 극단적으로 잘하는 친구를 우연히 만나서 교류를 하면서 큰 충격을 받은 바 있습니다. 그 친구 덕에 물리 오개념을 전부 다 바로잡고 나서야 성적이 오르더군요.

서론이 길었습니다. 내용 자체는 심플합니다. '경우의 수와 확률은 서로 다른 개념인데, 종종 둘을 같이 생각한다'는게 이번에 바로잡고 싶은 오해입니다.

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양궁 선수가 과녁 앞에 서 있고, 과녁을 향해 화살을 쐈습니다. 아주 쉬운 질문입니다. 경우의 수는 몇 가지입니까? 2가지 입니다. 과녁에 맞거나, 과녁에 맞추거나. 확률은 각각 얼마일까요? 아직 잘 모릅니다 입니다.

여기서 경우의 수와 확률을 서로 혼동하는 오개념이 잡힌 학생들은, 엥 확률은 50%씩 아닌가요? 왜? 경우의 수가 2가지잖아요. 그러니까 100%를 둘로 나누면 각각 50%! 라고 하면 평가원이 살짝 꼬아 내는 경우의 수와 확률 문제를 전부 틀려버리는 것입니다.

양궁 선수가 정말 실력이 좋아서 90%확률로 과녁을 맞출 수도 있습니다. 아니면 한국인이라서 과녁에 맞출 확률이 무려 100%일 수도 있습니다. 확률에 대해서는 아직 정보가 주어지지 않았기에, 잘 모릅니다가 정답입니다.

문제에서 볼 수 있듯이 경우의 수는, 말 그대로 결과로서 나올 수 있는 경우의 모든 가짓수입니다. 과녁에 맞추거나, 과녁을 빗나가거나. 물론 문제가 세분화되서 과녁에도 영역을 나눌 수 있습니다. 그럼 경우의 수가 늘어나는 것이죠.

이세돌이 알파고랑 바둑을 두었을 때 가능한 경우의 수는 딱 2가지 입니다. 승리하거나 패배하거나. 그렇다고 해서 승률이 반드시 50%라는 말이 아니라는 것을 쉽게 알 수 있겠죠?

물론 아주 특수한 경우 경우의 수와 확률이 '겹치는' 예외적인 조건이 발생하기도 합니다. 경우의 수가 2가지이고, 각각의 확률이 50%인 상황도 있잖아요? 예컨데 두 사람의 바둑 실력이 서로 '대등해서' 승률이 서로 각각 50%인 특수한 경우를 상상해볼 수 있습니다.

여기서 '대등한' 이라는 말에 주목했습니다. 항아리에 빨간 카드 2장, 파란 카드 2장, 검은 카드 2장 총 6장이 들어있다고 생각해봅시다. 경우의 수는 3가지, 빨간거 파란거 검은거가 뽑히는 경우입니다. 확률은? 100/3 = 33.3%로 확률도 서로 같습니다. 만약 검은 카드가 2장이 아니라 1장인 순간 경우의 수는 유지되지만, 확률은 어그러지기에 다시 계산해야 합니다.

일반적으로 확률과 경우의 수는 서로 연관되지 않습니다. 그런데 위처럼 특수하게, 서로 대등한 양을 가진다거나 대등한 실력을 가지는 경우에는 경우의 수에서 언급되는 숫자가 확률 계산에 동일하게 쓰이기도 합니다. 쉬운 문제들은 보통 이런 특수한 경우를 많이 가정하기에, 자칫 잘못하면 오개념이 잡히기 쉽습니다. 오개념이 잡혔으면? 조금만 꼬아낸 어려운 문제는 바로 틀리는 것이죠.

수학과 물리는 특히 오개념을 조심해야 합니다. 읽어주셔서 감사합니다!

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