양치하고 귤먹기

Envy free 문제 :

Envy free란 한정된 자원을 여러사람에게 분배할 때, 어떤 사람도 자신의 몫보다 다른 사람의 몫을 더 부러워하지 않는 상황을 의미한다. 즉, 개인 i의 효용 함수를 Ui, i가 소유한 재화 묶음을 Xi라 했을 때, Ui(Xi)>=Ui(Xj)가 임의의 i,j에 대해 성립한다는 것이다.

두 명의 개인을 A,B 두개의 사적 재화를 각각 X,Y라 하고 개인의 사적 재화 소유량을 아래 첨자를 붙여서 표기한다고 하자. 이때 교환이 자유로운 상황을 가정하고 에지워스 상자 도형을 그리면 다음과 같다. 에지워스 상자 도형에 사각형의 정 가운데 점은 Xa= Xb , Ya=Yb 이므로 envy free를 당연히 만족 시킨다. 이 점을 E라 하고, E를 초기 부존점으로 삼아 재화의 교환 비율을 바꿔가며 오퍼곡선을 그리면 다음과 같다. 이렇게 양 오퍼곡선이 교차하는 지점에서 왈라스 균형이 성립하는데, 이 점을 P라 하면 P는 그림과 같이 무차별 곡선이 서로 접하는 효율적인 자원 배분임을 알 수 있다.

이때 A 입장에서 B가 소유한 재화를 부러워 할 가능성이 있는지 평가해 보자. 일반적으로 널리 사용되는 선호를 가정할 경우, 무차별 곡선은 원점에 대해 볼록한 형태로 나타난다. 두 재화 중에 하나만 극단적으로 소비하는 것 보단, 골고루 소비하는 것을 보통 더 선호하는 것이다. 이때 A 입장에서 B가 소유한 재화가 주는 효용은, 다음과 같이 P점을 E점에 대하여 대칭시킨 P'점에서 A의 효용과 같다. 이 P'점은 P점을 지나가는 무차별 곡선 밑에 있음을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 A는 B를 부러워 하지 않는다. 반대로 B의 입장에서도 P점을 지나가는 무차별 곡선이 P'점보다 바깥에 있으므로 , B도 마찬가지이다

 따라서 E점을 초기 부존점으로 하여 발견한 왈라스 균형은, 효율적이면서 envy free를 만족시키는 자원 배분임을 알 수 있다.

린달 균형 : 개인 A,B가 있을 때 공공재 공급 비용 중 A가 부담하는 비율을 Oa, B가 부담하는 비율을 Ob(=1-Oa) 라 하자. Oa와 Ob를 계속 바꿔가며 원하는 공공재의 공급량을 물어 볼때, A,B가 각각 원하는 공공재의 공급량이 일치할 때의 (Oa,Ob,Q) 가 린달 균형이다. 모두가 진실되게 선호를 표출할 경우, OiP=MBi(q) 인 점을 선택하기때문에 MBa+ MBb=P가 성립해 사무엘슨 조건이 충족되고 공공재가 효율적으로 공급된다.

Kolm 삼각 도형 :

개인 A,B가 존재하고 사적재화와 공공재를 각각 X,Y , 초기 부존 자원이 Wa Wb가 존재한다고 하자. 또한 단순화를 위해 공공재 하나는 사적재화 하나를 투입해 만들 수 있다고 가정하면 다음과 같은 제약식이 성립할 것이다. Xa+Xb+Y = Wa+Wb

(초기 그림)이때 높이가 Wa+Wb인 정삼각형을 그린 후 X1 X2 Y를 각각 변에서의 수직 거리로 정의하면, 정삼각형의 성질에 의해 삼각형 내부 모든 점에서 X1+X2+Y = Wa+Wb가 성립함을 알 수 있다.

(오퍼 곡선)이때 초기 부존 점을 O라고 하고 공공재의 분담 비율을 바꿔 가며 효용을 극대화 하는 점들을 찾으면, 다음과 같이 A와 B의 오퍼 곡선이 나타난다. 이렇게 A와 B의 곡선이 교차하는 점에서 두 사람이 원하는 공공재의 양이 같은 것을 알 수 있다 . 또한 개인의 무차별 곡선은 예산선과 접하므로 서로의 무차별 곡선 끼리도 접한다. 따라서 린달 균형은 효율적임을 확인 가능.

그런데, A 입장에서는 린달 균형의 비용 분담 방식을 알고 있다면, 자신이 공공재에 대한 선호를 낮게 표출했을 때 공공재의 공급량은 줄어들지만 비용 부담 또한 줄어들게 되어 일부러 낮은 선호를 드러낼 유인이 존재한다. 

(오퍼곡선그림 2)

가령 A는 B가 표출하는 선호를 미리 알고 있고, 이를 주어진 것으로 받아들여 자신의 효용을 극대화한다고 하자. 이때 A는 다음과 같이 선호를 거짓 표출하여 자신의 무차별곡선이 B의 오퍼곡선과 접하는 P 점을 선택하려는 유인이 존재한다.

(내쉬균형그림)

이는 B도 마찬가지이므로, 양측 모두가 상대가 표출하는 선호를 알고 이를 이용해 효용을 극대화하려고 한다면, 최종적으로 다음과 같은 내쉬균형에 도달하게 된다. 그림과 같이 상대의 오퍼 곡선과 자신의 실제 무차별곡선이 접하므로, 상대의 행위에 대해 최적이고 선택을 바꿀 유인이 없어 내쉬 균형이 성립한다.

이때 공급되는 공공재의 양은 기존의 린달균형보다 적음, 거짓으로 표출한 무차별곡선끼리 접함, 실제 무차별 곡선은 상대의 오퍼곡선과 접하고 상대의 무차별곡선과 교차함. 따라서 효율적이지 않은 자원배분.

공유지의 비극 : 모든 사람이 자유롭게 이용할 수 있는 재산이 있을 때, 자원이 효율적으로 사용되지 않는 시장 실패를 의미한다. 가령 다음과 같이 누구나 이용할 수 있는 목초지가 있을 때, 목초지의 한계 비용과 사회적 한계 편익(MB), 사회적 평균 편익(SAB)이 다음과 같이 나타난다고 하자. 사회적 최적은 사람들이 A만큼 이용하는 것이지만 개별 주체 입장에서 볼때 여전히 평균 편익> 평균 비용이므로 이익이 발생하여 목초지를 더 사용, 따라서 B만큼 목초지가 사용되어 시장 실패.

목초지에 재산권이 확립되어 있다면 주체가 스스로 효율적으로 자원을 관리할 것이기 때문에 이러한 시장 실패 방지 가능. 가령 P1-P0만큼의 사용료를 받아 최적으로 이용 가능.

코즈 정리와 한계 :

협상 비용이 충분히 작고 재산권이 잘 정의되어있다면, 외부효과가 존재하더라도 정부의 개입 없이 당사자들 간에 협상을 통해 효율적인 자원 배분 가능.

가령 공장에서의 생산 행위로 오염물질이 발생하여 주변 농장주가 피해를 입는다 가정하자. 이때 공장의 생산량에 따른 공장의 한계 이윤과, 농장주의 한계 피해를 그림으로 표현하면 다음과 같다. 

먼저 공장의 권리가 우선 인정된다고 가정하자. 아무런 제재가 없는 한 공장주는 q1만큼 생산. 그러나 농장주는 생산을 q* 만큼 줄이는 대가로 최대 d+e+f만큼 지불할 용의가 있음, 공장의 경우 d 이상은 받으려고 할 것임. 따라서 이 사이의 금액을 보상하여 사회적 최적 달성 가능.

농장의 권리가 먼저 인정된다고 가정해도 동일한 결론에 도달한다.

비판 : 비용과 편익에 대한 정보를 당사자들 모두가 알아야 하지만 쉽지 않음, 거짓 보고할 유인도 존재 함. 또한 실제로는 당사자가 여러명이거나 협상 비용이 클 수 있다.

파레토 최적, 교환의 효율성 : 상대의 효용을 낮추지 않고 자신의 효용을 높이는게 불가능, 즉 모두의 효용을 높이는게 불가

애로우의 불가능성 정리 : 완비성 : 모든 대안에 대해 사회적 선호를 매길 수 있어야 함. 즉 x가 y보다 사회적으로 선호,or비선호or 무차별

이행성 : 임의의 세 대한 x y z 에 대해 x가 y보다 사회적으로 선호되고 y가 z보다 선호되면 x>y

보편성 : 개인들이 어떤 선호를 갖더라도 사회적 선호를 도출 가능해야 함.

파레토원칙 : x y에대해 모든 개인들이 x를 더 선호하면 사회적으로도 x가 더 선호

무관한 대안으로부터의 독립성 : 개인들의 선호가 바뀌었으나 x와 y에 대한 개인들의 선호는 유지되었으면 x와 y에 대한 사회적 선호도 동일하게 유지.

비독재성 : 사회적 선호가 다른 개인들의 선호와는 관계없이 특정 개인의 선호에만 의존하면 안됨.

셋 이상의 대안이 존재할 때 완비성 이행성 보편성 파레토 원칙 무관한 대안으로부터의 독립성을 모두 만족하는 사회 후생함수는 특정인이 독재자가 되는 사회후생함수 뿐이다. 따라서 전부를 만족하는 후생함수는 x

과반수투표제 : 투표의 역설, 이행성 만족 못함.

투표의 역설 : 과반수 투표제를 사용할 때, x가 y보다 선호 y가 z보다 선호 z가 y보다 선호, 이행성 만족 못함.

대안들을 1차원 직선 위에 표시하고 선호를 표시했을 때 극대점을 봉우리라고 함, 봉우리가 하나만 존재할 때 단봉선호.

대안들을 적절히 나열하여 모든 투표자들의 선호가 단봉 선호가 되도록 1차원상의 직선 위에 나타낼 수 있다면 투표의 역설이 발생하지 않는다.

이차원 평면에서 단봉선호 : 다음과 같이 등고선 형태의 무차별 곡선이 나타남, 

보다투표제 : 대안들에 대해 순위를 매긴 후 각 순위에 해당하는 점수를 합하여 계산하는 방식.

이때 개인이 선호를 거짓으로 표출할 가능성이 존재한다 가령 다음과 같이 abcd와 대안 xyzv 가 존재한다고 하고 선호가 다음과 같을 때, xyzv xyzv zyxv vzxy x가 12점으로 선정된다. 그런데 이러한 결과를 미리 예상한다면 D입장에서 z를 1순위 x를 4순위로 거짓표출하여 z가 당선되게 하려는 유인이 있음.

이는 무관한 대안으로부터의 독립성을 위반한다. 투표자 D의 선호는 전과 후 모두 Z를 X보다 선호함. 따라서 이들에 대한 선호는 변하지 않아야 하지만 거짓 선호 후 사회적 선호 관계가 바뀌는 것을 알 수 있음, 독립성 만족 x

점수투표제 : 보다 투표제와 마찬가지, x를 y보다 약간 선호하지만 진실되게 투표할 경우 y가 당선되는 상황일때, x에 점수를 몰아 줘 x가 당선되도록 유도 가능.

중위 투표자 정리 : 여러 대안들을 1차원 직선 위에 표시할 수 있고 투표자들이 모두 단봉선호 -> 과반수 투표제를 사용할 경우 중위 투표자가 가장 선호하는 대안이 선정됨. 가령 다음과 같이 5명의 사람들이 있고 투표자 1~5의 선호가 다음과 같다고 가정하자. 안건 x와 y를 놓고 투표를 한다면 1~3은 x에 4,5는 y에 투표를 함. y말고 어떤 안건을 가져오든 중위투표자가 가장 선호하는 대안이 선정됨. 

위와 같은 상황에서 1~3은 자신이 더 선호하는 대안 선정됨 , 거짓을 말할 유인 없음

4,5는 y를 더 선호하긴 하지만 무엇을 선택하든 결과는 안바뀜, 거짓을 말할 유인 없음.

호텔링원칙 : 중위투표자의 정리에 따라 대안들을 일직선 상에 나열하여 단봉선호로 나타낼 수 있을 때, 가장 가운데에 위치한 투표자가 선택하는 대안이 선정 됨. 진보적인 유권자들을 왼쪽, 보수를 오른쪽에 나열해 놓았을 때 븐포가 다음과 같다고 하자, 양당제 하에서 이를 알고 있는 정당은 최대한 중위투표자가 선호하는 대안에 가깝게 이동하는 것이 이득, 결과적으로 양 정당이 모두 중앙의 위치로 수렴하는 현상.

니스카넨 모형 : 공공사업을 시행할 때 관료들은 예산을 최대한 확보함으로서 업무상의 특권, 영향력 등을 획득하려 함.

가령 총 편익과 비용 곡선이 다음과 같을 때 z*만큼 공급하는 것이 순편익이 최대, 그러나 관료는 순편익이 -가 아니면서 예산이 극대화되는 점인 z를 고르려고 함. 또한 총 편익 곡선이 더 위쪽에 있는 것처럼 홍보하려 하는 경향이 있다고 주장하였다.

비판 : 관려들이 항상 예산만을 극대화하려 하진 않음, 정부에서도 총비용이 총 편익보다 작다고 모든 사업을 승인하지는 않음 그러나 관료들의 행동 양식이 일반 사기업과는 다르며 예산 확보이 노력을 기울인다는 사실을 반영한 모형이라는 의의가 있다.

미그엘 벨랑제 모형 : 관료들은 효용을 극대화하려 하는데, 이러한 효용은 예산의 크기와 업무상의 특권에서 나옴. 업무상의 특권은 순편익이 클수록 늘어남. 따라서 서비스 공급량과 예산상의 잉여를 나타내면 다음과 같고 관료들의 효용이 같은 무차별 곡선은 우하향함, 다음과 샅이 접하는 지점만큼 서비스 공급.

Zn만큼은 아니지만 일반 기업보다는 공급량이 높음을 알 수 있음.

비판 : 관료들의 행동을 모두 설명하지는 못함, 관료제를 경제학적으로 분석할 수 있음을 보여준다는 점에서 유용하다.

램지 가격 설정 : 여러 재화를 생산하는 기업이 있을 때 총수입=총비용 이어야 한다는 제약조건 하에서 사회적 후생이 최대가 되도록 가격을 설정하는 방식. 역탄력성 법칙의 일반적인 예

역탄력성 법칙 : 램지 가격 설정에서 재화가 서로 독립적이라는 특수한 경우의 예. 여러 독립적인 재화를 생산하는 기업이 있고 총수입으로 총 비용을 충당해야 한다는 제약이 주어질 때, 사회적 후생을 극대화 하도록 가격을 설정하려면 다음과 같은 관계식이 성립해야 한다는 법칙이다. 즉 재화의 마진율을 탄력성이 높을 수록 낮게, 탄력성이 낮을수록 높게 설정해야 사회적 후생이 극대화 된다. 이는 그림으로도 표현할 수 있는데 다음과 같이 수요곡선이 가팔라서 탄력성이 큰 경우에, 마진율을 높게 잡음으로써 발생하는 후생 손실이 큼을 확인할 수 있다. 

역탄력성 법칙을 이용하면 주어진 제약을 만족시키면서 사회적 후생을 극대화 하는 효율적인 가격 체계를 찾을 수 있지만, 공평성의 관점에서는 비판이 있을수 있다.

일반적으로 수요의 가격 탄력성이 높은 재화는 사치재적 성격이 큰 재화이고 낮은 재화는 필수재의 성격을 가지는 재화이다. 그런데 사치재의 가격을 상대적으로 낮게, 필수재는 높게 설정한다는 것은 공평성의 관점에사 불합리할 수 있다. 또한 사회적 총 후생은 극대화 되지만, 모든 소비자의 후생이 늘어나는 것은 아니므로 이해집단 사의의 갈등이 존재할 수 있음.

또한 여러 재화의 생산비용을 동시에 고려하기 때문에 어떤 재화의 수입을 다른 재화의 생산에 이용하는 일종의 교차 보조가 발생한다고 해석 가능,

또한 비용함수와 수요 함수의 추정이 불확실할 수 있음.

코즈의 이부요금 : 한계비용이 일정하고 고정비용이 f만큼 존재할 때, 가격을 한계비용만큼 설정하면 기업은 f만큼의 손실. 가격을 p1로 손실을 보지 않는 만큼 설정하면 기업의 손실은 없지만 사회적으로 자중 손실이 생김

따라서 소비자들에게 f/2만큼의 고정 비용을 납부하도록 하고, 가격은 한계비용만큼 설정해서 자중손실도 없애고 손실도 보지 않을 수 있음.

오이의 최적이부요금 : 총 요금 중 고정 수수료와 단위당 사용 요금 사이의 비중은 재화를 공급받으려는 소비자들의 고정수수료에 대한 탄력성에 의존함.

탄력성이 커서 고정비용이 클때 많은 소비자들이 공급을 안받으려 한다면 고정비용 낮게, 반대의 경우에는 크게. 역탄력성 법칙과 유사.

최적 이부요금에서는 고정 수수료와 단위당 요금이라는 두가지 변수를 이용하여 최적화하므로, 단위당 요금만을 이용하여 최적화 할 때보다 더 높은 후생수준이 달성 가능하다. 그러나 현실적으로 비용함수,수요함수,소비자들의 선호 등등을 정확히 추정하기에는 어려움이 있음.

비용-편익 분석 : 공공 사업의 편익과 비용은 여러 시간에 거쳐 발생하기 때문에 서로 다른 시점 간에 발생하는 비용/편익을 현재가치로 환산해서 비교해야 함, 이를 위해 적절힌 할인율을 설정해야 함.

이러한 할인율을 시장 이자율과 같이 설정한다면, 문제 발생

따라서 적절한 사회적 할인율을 산정해야 하는데 관점에 따라 서로 다르게 설정 될 수 있음 할인율이 높다면 초기 비용이 적은, 낮다면 높은 방식이 선택 될 가능성이 높다.

하버거 분석 :

X재는 자본 집약, Y재는 노동 집약

X재에 물품세가 부과 되었을 때 :

X재의 가격이 상승하고 수요는 감소함->X재의 생산이 줄고 X재의 생산에 사용되던 자본과 노동이 시장에 나옴->자본이 더 많이 풀리고 자본의 초과공급, 노동의 초과수요 -> 이는 자본의 상대 가격을 하락시킴-> 두 산업 모두 이전보다 자본집약적인 생산 방식. 그래프에서 K/L 기울기 상승, 계약곡선에서 무차별곡선끼리 접하는 지점에서 기울기 상승

계약 곡선 상의 이동.

재화에 대한 과세는 그 재화에 집중적으로 사용되는 생산요소 상대가격 하락

자본집약적 상품에 대한 수요 탄력성이 클수록 생산이 더 큰폭으로 감소하고 자본의 가격도 크게 하락

생산에 있어 노동과 자본의 대체가 어려울수록 자본의 가격 많이 하락

Y재의 자본에 요소세 부과 :

생산효과 : Y재의 가격이 상승하며 수요가 감소하고 생산량 감소함-> 생산에 사용되던 자본과 노동이 시장에 풀리는데 Y재가 X재에 비해 노동집약적이므로 노동의 초과공급 발생, 노동의 상대 가격이 하락함

E점에서 E'점으로의 이동, 계약곡선상의 이동.

요소대체효과 : 자본에 요소세가 부과되므로 요소세가 부과되지 않는 노동으로 대체하려 함-> 노동의 상대가격 상승

E'점에서 E''점으로의 이동

결과적으로 노동의 상대가격이 어떻게 변하는지는 두 효과의 상대적 크기가 무엇이 크냐에 달림, 알 수 없음

Y재 생산 기업은 이전보다 노동집약적, X재 생산 기업은 알 수 없음.

동일한 조세 수입 비례소득세 vs 선형누진소득세 :

여가는 L 소득은 Y 편의상 비근로소득은 0이라고 하자.

소득세가 부과되기 전의 균형을 E1, 선형누진소득세 부과 후의 균형을 E2라고 하자.

이때 비례세율을 바꿔가며 무차별 곡선이 접하는 점을 찾아 가격소비곡선을 그리면, 다음과 같이 E2 왼쪽을 지나는 형태의 곡선이 그려진다. 만약 가격소비곡선이 E2 오른쪽 점을 지난다고 가정하면 점 E2를 지나는 무차별곡선과 가격소비 곡선이 점 K에서 만나는데, 이때 점 K를 지나는 무차별곡선은 가격소비곡선과 접해야하므로 같은 점을 지나는 두개의 무차별 곡선이 존재해야 하는 모순이 발생하기 때문이다.

이후 초기 예산선과 평행하며 점 E2를 지나는 직선을 그리면 등세수선을 얻을 수 있고 가격 소비곡선과의 교점이 2개가 생기는데, 근로자가 선택하는 점은 더 효용수준이 더 높은 M일 것이다. 이는 조세 부담이 동일하도록 비례소득세가 부과되었을 때 노동자가 선택하는 점과 같다. 따라서 점 E2와 점 M을 비교해보면 동일한 조세 수입을 얻도록 서로 다른 세금 제도가 실행될 때, 선형 누진소득세 일때가 노동 공급이 더 적은 것을 알 수 있다. 

그러나 이는 모든 노동자가 동질적인 경우일때만 적용 된다. 여가가 정상재이며 고소득자와 저소득자 두 집단이 있는 경우를 상정해보자. 이때 비례소득세가 실행되다가 동일한 조세수입을 얻는 선형누진소득세가 실시된다면, 고소득자의 경우 누진세의 성질에 따라 이전보다 많은 세금을 납부하며 한계 세율도 더 높음. 더 많은 세금을 납부함으로서 소득효과에 의해 노동 공급은 증가, 한계세율이 증가하면서 대체효과에 의해 노동 공급은 감소함. 따라서 노동공급이 어떻게 될 지 알 수 없음.

저소득자의 경우, 부담하는 총 세액은 감소했으므로 노동 공급 감소, 소득이 면세점 이상이라면 한계 세율 증가에 따른 대체효과로 노동공급 감소. 따라서 노동공급은 감소.

그러나 면세점 이하라면 한계세율의 감소에 따른 대체효과로 노동공급 증가, 이때 최종적인 증감 여부는 알 수 없음.

따라서 고소득자와 저소득자가 존재하는 모형을 고려할 경우 노동시간의 증감 여부는 불확실함. 또한 현실에서는 과세 후의 임금이 변화할 수 있는 등, 모형을 현실에 적용하기 위해선 보다 정교한 일반균형분석이 필요하다.

램지 조세 : 정부가 목표로 하는 조세 수입을 충족하면서 사회후생을 극대화할 때 조세의 형태이다. 램지 법칙에 따르면 모든 재화에 대해 보상수요량이 동일한 비율로 감소하도록 조세를 부과할 때, 사회 후생이 극대화된다. 좀 더 구체적인 예시로는 모든 재화가 독립적일때, 세율 ti가 보상수요의 가격탄력성 ei에 반비례해야 한다.

램지 법칙에 따를 경우 모든 재화에 동일한 세율을 적용하는 것은 바람직하지 않다. 재화의 보상 수요 가격탄력성이 클수록, 좀 더 낮은 세율을 적용해야 초과부담이 줄어들기 때문.

특수한 경우에는 단일 세율의 조세가 바람직 할 수 있음.

노동공급이 완전비탄력적인 경우가 한 예이다. 노동의 탄력성이 0이므로 역탄력성 법칙을 적용하면 모든 조세가 노동에 부과될 때 최적, 이는 실질적으로 모든 물품에 동일한 세율을 매기는 것과 같다.

이질적소비자 존재 : 소득의 한계가치 고려해야 함

최적소득세율 : 정부가 임금률의 사회전체적인 분포를 알고 개인들의 효용함수와 평등성과 효율성에 대한 구성원들의 선호를 알때, 사회적으로 최적인 소득세의 형태에 관한 연구이다. 선형소득세를 가정할 경우, 구성원들이 공평한 소득분배에 더 높은 가치를 부과할수록,소득의 대체탄력성이 클수록,정부가 목표로하는 조세수입이 클수록 한계세율도 높아짐.

비선형소득세의 형태일 경우, 소득이 일정수준을 넘어가면 한계 세율이 감소하는 형태로 나타남 이는 공평성과 효율성을 모두 고려하기 때문.

결혼중립적 조세 : 결혼이 두 개인의 조세부담에 변화를 주어서는 안됨

누진소득세의 경우 일반적으로 수평적 공평성과 동시에 만족시키기 어려움, 현실에서는 결혼에 대한 유인을 주기 위해 부부가 유리한 방법을 스스로 선택하는 방식을 고려할 수 있다.

오오츠의 분권화정리 : 지역 공공재의 생산을 어느 단계의 정부가 담당하든 비용이 동일하다면, 각 지방정부가 스스로 판단하여 해당 지역에 적정한 수준의 지역 공공재를 공급하는 것이 중앙정부가 공급하는 것보다 더 효율적임

가령 두 지방정부 A,B가 있고 지역 주민들이 공공재로 얻는 한계 편익을 다음과 같이 각각 시그마 MRSa MRSb 로 나타내자. 공공재 공급의 한계비용이 일정할 때,

각 지방정부가 공급할 시 ga gb 만큼 공급,

중앙 정부가 공급할 경우 각 지역주민들의 평균적인 MRS의 합 만큼을 두 지역에 공급

색칠한 넓이 만큼의 손실이 발생함을 알 수 있다

콜렛 헤이그 조세 : 모든 물품에 동일한 세율을 적용하면 초과부담이 발생한다. 이는 여가에 대해서는 여전히 세금이 부과되지 않았기 때문에 여가의 상대가격이 낮아져서 대체효과에 의해 여가의 소비가 증가하고, 초과부담이 발생하기 때문이다. 이를 해결하기 위한 조세가 콜렛 헤이그 조세이다. 콜렛 헤이그 조세는 여가에는 직접 조세를 매기기 어려운 점을 반영하여 여가와 대체관계에 있는 상품들 (레저용품 등)에 더 높은 세율을 매길 경우, 여가에 조세를 매기는 것과 유사한 효과가 작용하여 초과부담이 줄어들 수 있다는 원리이다.

보조금 종류 : 조건부 보조금은 특정한 용도로 사용하는 것을 조건으로 제공하는 보조금, 무조건 보조금은 사용용도에 제한 없이 세입을 공유한다는 의미에서 제공

조건부 보조금은 대응보조금과 비대응보조금으로 나뉨

대응보조금은 지방정부가 특정 사업에 지출하는 비용의 일정부분을 조달하는 의미에서 제공하는 보조금, 지방정부 입장에서 공공사업의 한계비용이 낮아지는 효과.

비대응보조금은 지방정부가 특정 사업에 비용 일부를 조달하지 않더라도 그 사업에 지원금을 주는것

대응보조금은 보조금에 상한선이 존재하는지에 따라 폐쇄형/개방형 대응보조금으로 나눠진다.

폐쇄형은 지방정부에 지급하는 보조금에 상한선 존재, 개방형은 상한선 없음.

무조건 보조금 vs 개방형 보조금 :

무조건 보조금이 주어질 경우 예산선의 기울기는 동일한 채 바깥쪽으로 이동, 개방형 보조금은 가격보조와 같은 효과로 기울기를 더 완만하게 변화시킴. 그래프로 표현하면 다음과 같이 보조금 지급 후의 무차별 곡선이 더욱 바깥쪽에 있고, 두 예산선과 접하는 형태이다.

두 균형을 비교하면 E2는 사용재,공공재 모두 늘어남 E3은 공공재의 공급량은 늘고 사용재의 증감은 대체효과와 소득효과의 상대적인 크기에 의해 결정, 알 수 없음.

같은 효용수준을 누리게끔 서로 다른 보조금이 주어진 상황을 그래프로 표현하면 다음과 같다. 초기의 예산선은 AB,대응보조금 시행 시 예산선은 AC 무조건보조금은 FG 이다.

같은 무차별 곡선이 두 예산선이 접하는데 공공재의 공급량은 E2, 즉 개방형 대응 보조금의 경우에 더 큰것을 알 수 있음.

공공재의 공급은 개방형 대응보조금일때가 더욱 큰 것을 알 수 있음. 또한 두 경우 주민들은 같은 효용 수준을 누리지만 그래프에서 E6-h 의 길이만큼의 초과부담이 발생하는 것을 알 수 있음. 이는 상대가격을 변화시켜 대체효과가 생겨 시장이 왜곡되기 때문이다.

지니계수 : 로렌츠 곡선에서 a/a+b 의 비율

달튼의 평등지수 : 공리주의적 사회후생 함수를 가정한 후, 달성 가능한 사회후생의 극대값에 대한 실제 사회후생의 비율.

소득의 합이 일정하다면 모든 구성원의 소득이 동일할 때 사회후생이 극대화되므로 시그마U(ui) /n곱하기 U(평균소득)

0부터1사이의 값을 갖고 1에 가까울수록 평등.

앳킨슨 지수 : 사회후생함수를 명시적으로 고려한 지수로 사회 구성원들의 불평등에 대한 태도를 반영하는 매개변수를 도입한 지수이다. e는 불평등을 회피하려는 정도로 평등을 더 좋아할수록 커짐, 0에서 무한대의 값

앳킨슨 지수는 0에 가까울수록 평등.

구체적인 식은 다음과 같다. u는 평균 소득 yi는 i번째 계층에 속하는 사람의 소득, fi는 i번째 소득 계층에 속하는 사람들의 비율

이는 또한 모든 사람의 소득이 동일하면서 현재 사회후생을 유지할 수 있는 소득인 균등분배소득을 yede 라 할때 1- yede/u 와 같다. 가령 앳킨슨지수가 0.1이라면, 이는 현재 총 소득의 90%만큼을 모든 사람들에게 동일하게 분배함으로서 동일한 사회 후생을 얻을 수 있다는 의미이다.

서로다른 e값을 사용하여 지수를 계산할 수 있음, 불평등에 대한 구성원들의 태도 반영 가능.

그러나 어떤 e값을 사용하느냐에 따라 결과가 달라진다는 것은 가치 판단에 영향을 받음.