칼럼)함수의 불연속을 보여주는 세련된 방법
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바로 "평균변화율과 극한을 이용하여 미분계수처럼 보이게 만들기"....입니다
이건 제가 스스로 문제를 만들다가 올해 1월 초 즈음에 생각해낸 방법인데요.
혹시 다른 사설 N제나 모의고사에 이미 나왔었어도 이상하지 않다고 생각합니다.
더군다나 앞으로 평가원도 써먹을 가능성이 있는 소재라고 생각합니다.
제가 1월달 우진 공모에 보내봤다가 광탈한 문항인데요....한번 같이 봅시다.
네. (가) 조건을 한 번 잘 살펴볼까요?
생긴 건 미분계수처럼 생겼는데 뭔가 좀 이상합니다.
그렇죠. f(x)-f(-1)이어야 하는데 빼기가 아니라 더하기네요.
f(3)과 f'(3)이 0이고 그 값이랑 같다고 하는 거 보니
미분 계수의 꼬라지를 하고 있는 (가)조건의 극한식은
분자도 0으로 수렴하고 있으니, 분자 역시 0으로 수렴해야 함을 알 수 있습니다.
따라서 x->-1+일 때 f(x)의 극한값은 함숫값과 부호만 다르다는 것을 알 수 있겠죠.
그리고 그(가) 조건의 극한식의 값은 0이라고 했으니
절댓값 f(x)가 -1일 때 미분계수가 0이 됨을 알 수 있겠네요.
(다)에서 f(x)는 오직 x=-1에서만 불연속한다고 했고, 여기서 극값을 가진다고 했으므로
f(x)의 개형은 총 두 가지의 그림으로 그려질 수 있습니다.
요게 1번 개형
요게 2번 개형
그것이 목적이 아닌지라....궁금하시면 혼자서 풀어보시면 되겠습니다.
이 문제는 오류가 있기 때문에 푸시다가 "음?"이라는 소리가 나올 수도 있지만
그럼에도 불구하고 답을 내시기엔 그래도 충분할 겁니다.
이렇듯 극한값과 함수값이 언제나 같지 않다는 사실과,
특별한 상황 속에서 평균변화율의 극한값과 미분계수 라는 개념을 통해,
함수의 불연속을 아름다운 형태의 조건으로 제시할 수 있답니다.
어떤가요?
어쩌면 수능 문제 푸는데 쓸모가 없을 수도 있지만
그래도 조금 사설틱(?)한 문제를 통해 우리가 알고 있다고 자부하던 개념에 대해서
정말 제대로 이해했는지에 대해 성찰해 볼 수 있는 기회였을 거에요!
다음번에도 기회가 있다면 종종 생각해볼 거리들을 들고 와 수학칼럼을 가볍게 써보도록 하겠습니다.
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P.S)
지오지브라 다루는게 서툴러서 그런지 그림이 조금 보기 불편하더라도 양해 바랍니다 히히
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전 허접이에요
|f(x)| = |(x + 3)(x - 3)²||f(-4)| = 49
|f(-1)| = 32
|f(5)| = 32
여기서 f(-4) f(-1) f(5) 모두 양수여야 답이 나옴
따라서 f(-4) + f(-1) + f(5) = 113
악마랑 거래하심? 모든 수능 수학 문제는 다 맞추시는 것 같네....