누가누가 잘찍나(수학 ver.)
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다음 중 연속함수가 아닌 것은?(2개)
1. f:R-{0} -> R; f(x)=1/x
2. g:[0, 2pi) -> R^2; g(t) = (cos t, sin t)
3. h:{(x, y) | x^2+y^2=1} -> [0, 2pi); h는 g의 역함수(h(g(x))=x)
4. a:N -> R; a(n) = 2^(1-n)
5. I:R -> Rd; I(x) = x, Rd는 이산 위상 하에서의 실수 전체의 집합
연의 합격 기념으로 만들어봤습니다
아쉽게도 설의는 불합...
따로 명시되어있지 않은 모든 집합은 R^n의 보통 위상, 또는 그 부분위상을 취합니다
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2 4 ?
근데 2는 함수 맞나요수직선에서 좌표평면으로 가는 함수죠
f(x)=x^2같은 함수는 수직선에서 수직선으로 가는 거고요
아 저 그림은 함수의 그래프가 아닙니다!
그래프를 그리려면 3차원에 그려야 해요
그런 건 전혀 생각 못했네요2,5
식들이 뭔뜻인지 1도모르겠음ㅇㅅㅇ
일단 1번은 연속함수로 알고 있으니 나머지중에 찍어보자면3,5?
정답입니다역시 난 천재야
이런사람하고 동기...?
5는왜 불연속인가용
대학숙학어려워
해설 올렸어요
답 3, 5
해설:
1. 정의역 내의 모든 점에서 엡실론-델타 조건을 만족시키므로 연속.
2. 각 좌표의 함수가 연속이므로 연속.
3. (1, 0)근처에서 x값이 2pi->0으로 갑자기 변하기 때문에 불연속. 연속함수의 역함수가 연속이 아님을 보여주는 반례.
4,5. 5번부터 볼 때, 실수 전체에서 정의된 함수 f의 치역이 {0, 1}이라면, f는 절대로 연속함수일 수 없음(0에서 1로 갑자기 값이 변해야 하므로). 이산 위상 하에서의 R은 {0, 1}이나 {0, 1, 2, 3, ...}처럼, 모든 값들이 떨어져 있으므로 R에서 Rd로 가는 함수는 상수함수가 아니라면 연속일 수 없음.
비슷하게 4번을 보면 문제의 조건 하에서 N은 이산 위상을 띄는데, 연속적인 R에서 이산적인 Rd로 가는 함수가 항상 불연속인 것과 반대되게 이산적인 N 위에서 정의된 ‘모든’ 함수는 연속임
참고로 3~5번의 설명은 그리 엄밀하지 않습니다