수학 문제를 분석한다는 것
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안녕하세요. 언제나 올바른 교육을 추구합니다.
2024학년도 수능 8번 문제를 가지고 말씀드리려고 합니다. 꼭 문제를 풀고 읽어 보시길 바랍니다.
풀이 4가지를 보겠습니다.
질문 1 : < 풀이 1 >은 답을 구할 수 있는 방법 중에 가장 바람직하지 않은 방법이라고 할 수 있습니다. 그 이유는 무엇일까요?
질문 2 : < 풀이 2 >는 f(x)를 구해서 문제를 해결한다고 가정을 할 때, 가장 안정적이고 해결하는 시간을 줄일 수 있는 방법이라고 할 수 있습니다. 그 이유는 무엇일까요?
질문 3 : < 풀이 3 >은 < 풀이 1 >과 다르게 식의 변형 과정에 일관성이 있습니다. 그 이유는 무엇일까요?
질문 4 : < 풀이 4 >와 같은 방법을 찾는 것은 <문제를 해결하는 시간>을 줄이고, 문제의 해결 과정을 간명하게 할 수 있는 중요한 방법입니다. 그런데 학생이 이와 같이 해결할 수 있게 하려면 어떻게 배워야할까요?
질문 5 : < 풀이 1/2/3/4 >의 점수를 서술형으로 1~10점까지 줄 수 있다면 몇 점 씩 주고 싶은가요?
댓글 달아주세요.
[더 생각해보기]
1탄 [글의 시작 - 묻는 것에 따라 어떻게 계획하고 행동을 할 것인가 생각하자]
2탄 [해설지가 뭐 이래...? 해설이 아니라 계산지 아닌가....? (feat. 수능 13번)]
3탄 [수능 5번, 맞힌 문제로 공부하기]
4탄 [추측과 정당화, 수능 12번 (부모의 마음을 가진 평가원)]
5탄 [강사 중 제대로 푸는 것을 본적이 없는 문제]
6탄 [수학 문제 풀 때 계획(생각)을 왜 안해?(수능 10번)]
7탄 [원래 실전개념 같은 것은 없어요.]
8탄 [수학 공부를 제대로 하는 방법.]
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1번은 x-1 이 0 이 될 수 있어서 그런가
자연스럽게 보자마자 생각나서 푼 식 3번..제가 이전에 올린 글을 참고하여 보시면... 찾을 수 있을...거라 생각합니다! ㅎㅎ
답변1: f(x) 구해서 대칭성 이용해 적분한 것인데 무엇이 문제?
답변2: 미지수를 4개나 잡고 시작하는데 어떻게 가장 안정적이고 해결하는 시간을 줄일 수 있는지?
답변3: 인수분해를 하려면 인수를 하나씩 확인해서 조작하는 것이 편하다고 생각하는데, 저런 식으로 각을 볼 수 있는 것이 더 어렵지 않은지?
답변4: 첫 번째 문장에 동의하지 않음. 저렇게 하려면 다항함수를 맞이했을 때 미지수 하나씩 활용하여 식을 작성하는 습관을 들여라?
답변5: 8점, 왜 f(x)가 삼차함수이고 ㄱ이 x에 대한 항등식인지를 고려할 때 실수 전체의 집합에서의 f(x)식을 확정지을 수 있는지에 관한 서술이 부족함. x->1 극한을 조사하여 f(1)값으로 생각할 수 있음을 언급했다면 더 좋았을 것
10점, 흠 잡을 데가 없음
8점, 풀이 1과 마찬가지의 이유
10점, 흠 잡을 데가 없음
정성들여 작성해 주셔서 감사합니다. 답변에 대한 의견은 댓글이 10명 정도 달리면 남기도록 하겠습니다.
글을 읽으며 생각을 하나씩 작성해보았는데 질문5에 대해 생각하다보니 아...! 싶었습니다 ㅋㅋㅋㅋ 내신 서술형 문항을 대비할 때는 결국 흠 잡을 곳 없도록 만드는 것이 점수를 잃지 않는 팁이라면 팁인데 풀이1, 풀이3은 '논리적으로 완벽한가?'라는 질문에 공격 당할 수 있는 부분들이 보이네요
좋은 글 덕분에 생각 하나 배우고 갑니다, 감사드립니다!!
[더 생각해보기]
1. 240906
논리적인 풀이를 작성한다면 f'(x)를 구하고 증감표를 작성하여 x=-1에서 부호가 +에서 -로 바뀌고 x=3에서 -에서 +로 바뀌므로 f'(-1)=f'(3)임을 이용해 a, b값 결정 가능 --> 이후 f(-1)의 값을 구해주기
2. 241108 변형
논리적인 풀이를 작성한다면 (x-1)f(x)=3(x-1)(x^2+x+1)에서 x가 1이 아닐 때 f(x)=3(x^2+x+1)이고 f(x)가 다항함수이므로 x=1에서의 함숫값과 극한값이 일치함을 이용 --> 항등식의 양변을 x-1로 나누고 x->1일 때의 극한을 구해주면 그 값이 곧 함수 3(x^2+x+1)의 x=1에서의 함숫값과 일치함을 보일 수 있음
따라서 실수 전체의 집합에서 f(x)=3(x^2+x+1)이고 구간 [-2, 2]에서의 적분값을 구할 때 정적분의 성질에 의해 3x^2, 3x, 3을 각각 적분하는 것과 같음 --> 미적분학의 기본 정리 적용하는 계산 과정을 서술하고 3x의 적분값이 0이 됨을, 3x^2와 3의 적분값은 직접 구해주면 끝
ㄴ 대칭성을 적용하고 싶다면 기함수와 우함수에 대한 적분 성질이 "알려져 있다"라고 말할 수 있을 듯... 엄밀한 증명은 미적분에서 치환적분법을 학습해야 일반화 가능하기 때문
[더 생각해보기]의 1번은 힌트를 드리자면... a와 b를 구하지 않고 풀 수 있다면....?
f'(x)=3(x+1)(x-3)이고 f(0)=1이기에 미적분학의 기본 정리를 적용하여 a, b값을 구함 없이 답을 낼 수 있겠으나 안정적인 풀이 (내신 서술형 답안 작성을 기준으로 생각했었습니다) 를 지향한다면 직접 두 값을 구해주어 f(x) 결정하는 것이 깔끔하다 생각했습니다!
1. 제일 먼저는 왜 (x-1)로 묶었을까요?
공통인수를 묶을 수 있을 때 묶으면 식을 단순하게 정리할 수 있다고 생각합니다, 수학(상) 인수분해에서 가장 먼저 학습하는 사고 과정이라고도 생각합니다. 따라서 좌변이 (x-1)f(x)로 정리될 수 있는데 좌변도 (x-1)을 인수로 잡아 분해할 수 있으니 식을 보자마자 우변을 3x(x^3-1) 로 바라본 후 3x(x-1)(x^2+x+1)로 생각하는 과정이 자연스럽다고 봅니다.
이후 실수 방지를 위해 연산을 한 번에 한 단계씩 접근한다는 생각으로 양변을 x-1로 나누어주면 x가 1이 아닐 때 f(x)=3x(x^2+x+1)라는 식을 얻을 수 있고 이후 원활한 적분을 위해 분배 법칙에 따라 f(x)=3x^3+3x^2+3x로 식을 잡아주는 것이 자연스럽다 생각했습니다!
1번이 부족한 이유는 적분구간에 x=1이 포함되어 있어서인가요??
저는 아래와 같이 생각합니다,
f(x)가 다항함수이기 때문에 x가 1이 아닐 때 극한 x->1을 양변에 (x-1)f(x)/(x-1)=(3x^4-3x)/(x-1) 취해주면 f(1)과 x=1일 때 함수 3x(x^2+x+1)의 함숫값이 일치함을 논리적으로 보일 수 있어
이 부분 언급하여 실수 전체의 집합에서 f(x) 식이 3x(x^2+x+1)임을 보이면 문제 없습니다, 다만 대칭성을 적용할 때 왜 x^3, x와 같은 항이 지워지는지에 대한 서술이 있어야 (내신 서술형 문항 답안 작성하는 상황이라 가정하면) 풀이가 더 완전해진다고 생각합니다!
아닙니다. 첫번째는 변형을 하는 이유가 있어야합니다. 그리고 인수분해하고 나서 다시 전개하고...
인수분해 해야한다면 왜 (x-1)f(x)로 주지 않았을까요?
인수분해 할 줄 아는 것과
인수분해를 할줄 아는 것에 대해 평가하는 것은
전혀 다른 이야기 입니다.
문제에서 요구하는 학습 성취기준에 인수분해 할 줄 아는지를 평가하려고 할까요?
참고로 (x-1)로 인수분해 한 후에 나눌때는 삼차함수임으로 그냥 나누면 됩니다.
답변 1: 개인적으로 학생들이 <풀이3>으로 가기 위해 <풀이1>처럼 가는 것이 논리적이라고 생각합니당. 저는 <풀이1>도 바람직하다고 봅니다..!
답변 2: 우변에는 4차와 1차만 있고, 좌변에는 간단히 f(x)와 xf(x)밖에 없기 때문에 답을 향하는 가장 안정적인 방법이라고 생각합니다
답변 3: 답변 1처럼 생각하기 때문에 저는 잘 모르겠습니당 ㅎ
답변 4: 구하려는 값을 본 후 구하려는 값에 집중하는 방법이 좋다고 생각합니다!
답변 5: 9점, 10점, 9점(1과 동일), 10점
더 생각해보기 : 24.9월.6번-> 구하는 값에 집중해서 -1과 3이 극값이라는 것을 이용해 비율관계로 극댓값을 k로 둔 채 f(x)= (x-5)(x+1)^2+k , f(0)=1을 이용해 k를 구한다?!
풀이 1을 하면서 이상하다고 느낄만한 부분이 없었나요...? 인수 분해하고 다시 전개하고...
3x를 인수로 뽑아내는 과정이 어색해보일 수 있을거 같습니당! 저는 개인적으로 학생들이 우변의 식을 보고서 바로 <풀이 3>처럼 인수분해가 되겠다고 생각하긴 어렵지않을까 싶은 생각에 풀이1이 자연스럽다고 생각했습니다!
모든 인수를 뽑아낼 이유가 있었을까요?
풀이 1과 풀이 3은 목표가 2등급 정도의 학생에게는 칭찬해줄 수 있는 풀이이긴 합니다. 하지만 공부를 하는 사람으로써 본인이 식을 변형하며 왜 그렇게 변형하고 있는지에 대해 이유를 알아야합니다.
좋은 말씀이십니다!
선생님 혹시 20240906에서 a,b를 구하지 않는 풀이라는 것이 이게 맞나요?
f(1)=a+b+2 -> a+b를 통째로 구하자.
f'(x)=3(x+1)(x-3)=3x^2+2ax+b에 x=1/2 대입하면 a+b 값이 나오고 답이 나온다.