예비고1 분들, 곱셈공식 외우지 마세요

먼저 2024년 1월 7일 기준

각 학년, 학기 때 무엇을 배웠고 배울 것인지를

문제집 '쎈'의 목차를 참고해 정리해보겠습니다!

특히 초등학교, 중학교 때 무엇을 배웠는지 확인해보시고

잘 기억이 나지 않는 내용이 있다면 검색해서

복습해두시기 바랍니다.

15개정에 따라 학습하신 2018년에 고등학교 입학한

학생들부터 올해 2024년에 고등학교 입학할 학생들은

물론 22개정에 따라 학습하실 내년 2025년에 고등학교

입학할 학생들도 수학(상), 수학(하)나 공통수학1, 공통수학2나

내용 크게 다르지 않으니 살펴보시고 

복습, 예습하시면 좋겠습니다.

1. 초등학교

[1학년 1학기]

1. 9까지의 수

2. 여러 가지 모양

3. 덧셈과 뺄셈

4. 비교하기

5. 50까지의 수

[1학년 2학기]

1. 100까지의 수
2. 덧셈과 뺄셈(1)
3. 여러 가지 모양
4. 덧셈과 뺄셈(2)
5. 시계 보기와 규칙 찾기
6. 덧셈과 뺄셈(3)

[2학년 1학기]

1. 세 자리 수

2. 여러 가지 도형

3. 덧셈과 뺄셈

4. 길이 재기

5. 분류하기

6. 곱셈

[2학년 2학기]

1. 네 자리 수
2. 곱셈구구
3. 길이 재기
4. 시각과 시간
5. 표와 그래프
6. 규칙 찾기

[3학년 1학기]

1. 덧셈과 뺄셈
2. 평면도형
3. 나눗셈
4. 곱셈
5. 길이와 시간
6. 분수와 소수

[3학년 2학기]

1. 곱셈

2. 나눗셈

3. 원

4. 분수

5. 들이와 무게

6. 표와 그림그래프

[4학년 1학기]

1. 큰 수

2. 각도

3. 곱셈과 나눗셈

4. 평면도형의 이동

5. 막대그래프

6. 규칙 찾기

[4학년 2학기]

1. 분수의 덧셈과 뺄셈

2. 삼각형

3. 소수의 덧셈과 뺄셈

4. 사각형

5. 꺾은선그래프

6. 다각형

[5학년 1학기]

1. 자연수의 혼합 계산
2. 약수와 배수
3. 규칙과 대응
4. 약분과 통분
5. 분수의 덧셈과 뺄셈
6. 다각형의 둘레와 넓이

[5학년 2학기]

1. 수의 범위와 어림하기
2. 분수의 곱셈
3. 합동과 대칭
4. 소수의 곱셈
5. 직육면체
6. 평균과 가능성

[6학년 1학기]

1. 분수의 나눗셈
2. 각기둥과 각뿔
3. 소수의 나눗셈
4. 비와 비율
5. 여러 가지 그래프
6. 직육면체의 부피와 겉넓이

[6학년 2학기]

1. 분수의 나눗셈

2. 소수의 나눗셈

3. 공간과 입체

4. 비례식과 비례배분

5. 원의 둘레와 넓이

6. 원기둥, 원뿔, 구

2. 중학교

[1학년 1학기]

I. 소인수분해

01 소인수분해                           

02 최대공약수와 최소공배수       

II. 정수와 유리수

03 정수와 유리수                     

04 유리수의 계산                    

III. 방정식

05 문자와 식                           

06 일차방정식의 풀이               

07 일차방정식의 활용                

IV. 그래프와 비례

08 좌표평면과 그래프               

09 정비례와 반비례 

[1학년 2학기]

Ⅰ. 기본 도형
01 기본 도형                                
02 위치 관계                              
03 평행선                                  
04 작도와 합동                            

Ⅱ. 평면도형
05 다각형                                  
06 원과 부채꼴                           

Ⅲ. 입체도형
07 다면체                                
08 회전체                                
09 입체도형의 겉넓이와 부피         

Ⅳ. 통계
10 자료의 정리                          
11 자료의 해석   

[2학년 1학기]

I. 수와 식

01 유리수와 소수                       

02 단항식의 계산                     

03 다항식의 계산                     

II. 부등식

04 일차부등식                         

05 일차부등식의 활용                 

III. 방정식

06 연립일차방정식                     

07 연립일차방정식의 풀이          

08 연립일차방정식의 활용           

IV. 함수

09 일차함수와 그래프 ⑴              

10 일차함수와 그래프 ⑵              

11 일차함수와 일차방정식의 관계 

[2학년 2학기]

I. 삼각형의 성질

01 삼각형의 성질 ⑴                               

02 삼각형의 성질 ⑵                             

II. 사각형의 성질

03 평행사변형                                     

04 여러 가지 사각형                             

III. 도형의 닮음

05 도형의 닮음                                    

06 평행선 사이의 선분의 길이의 비        

07 삼각형의 무게중심                          

08 닮음의 활용                                   

IV. 피타고라스 정리

09 피타고라스 정리                              

Ⅴ. 확률

10 경우의 수                                      

11 확률    

[3학년 1학기]

I. 제곱근과 실수

01 제곱근의 뜻과 성질                            

02 무리수와 실수                                  

03 근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈       

04 근호를 포함한 식의 덧셈과 뺄셈          

II. 다항식의 곱셈과 인수분해

05 다항식의 곱셈                                  

06 다항식의 인수분해                            

07 인수분해 공식의 활용                       

III. 이차방정식

08 이차방정식의 풀이 ⑴                        

09 이차방정식의 풀이 ⑵                        

10 이차방정식의 활용                           

IV. 이차함수

11 이차함수의 그래프 ⑴                        

12 이차함수의 그래프 ⑵     

[3학년 2학기]

I. 삼각비
01 삼각비
02 삼각비의 활용

II. 원의 성질
03 원과 직선
04 원주각
05 원주각의 활용

III. 통계
06 대푯값과 산포도
07 상관관계

3. 고등학교

[수학(상)]

Ⅰ. 다항식

 01 다항식의 연산              

 02 나머지정리와 인수분해  

Ⅱ. 방정식

 03 복소수                      

 04 이차방정식                 

 05 이차방정식과 이차함수  

 06 여러 가지 방정식          

Ⅲ. 부등식

 07 일차부등식                 

 08 이차부등식                 

Ⅳ. 도형의 방정식

 09 평면좌표                   

 10 직선의 방정식             

 11 원의 방정식                

 12 도형의 이동 

[수학(하)]

Ⅰ. 집합과 명제

 01 집합의 뜻과 표현      

 02 집합의 연산            

 03 명제                     

Ⅱ. 함수

 04 함수                      

 05 유리식과 유리함수    

 06 무리식과 무리함수   

Ⅲ. 순열과 조합

 07 순열과 조합  

[수학I]

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

01 지수    

02 로그   

03 지수함수  

04 로그함수   

Ⅱ. 삼각함수

05 삼각함수   

06 삼각함수의 그래프   

07 삼각함수의 활용   

Ⅲ. 수열

08 등차수열과 등비수열   

09 수열의 합   

10 수학적 귀납법 

[수학II]

Ⅰ. 함수의 극한과 연속

01 함수의 극한  

02 함수의 연속

Ⅱ. 다항함수의 미분법

03 미분계수와 도함수 

04 도함수의 활용(1) 

05 도함수의 활용(2) 

06 도함수의 활용(3) 

Ⅲ. 다항함수의 적분법

07 부정적분 

08 정적분 

09 정적분의 활용 

[확률과통계]

Ⅰ. 순열과 조합

 01 여러 가지 순열

 02 중복조합과 이항정리

Ⅱ. 확률

 03 확률의 뜻과 활용

 04 조건부확률

Ⅲ. 통계

 05 확률변수와 확률분포

 06 이항분포와 정규분포

 07 통계적 추정

[미적분]

Ⅰ. 수열의 극한

 01 수열의 극한    

 02 급수      

Ⅱ. 여러 가지 함수의 미분

 03 지수함수와 로그함수의 미분   

 04 삼각함수의 미분   

Ⅲ. 미분법

 05 여러 가지 미분법   

 06 도함수의 활용 ⑴    

 07 도함수의 활용 ⑵    

Ⅳ. 적분법

 08 여러 가지 적분법   

 09 정적분   

 10 정적분의 활용  

[기하]

Ⅰ. 이차곡선
 01 이차곡선                    
 02 이차곡선과 직선   

Ⅱ. 벡터
 03 벡터의 연산                
 04 평면벡터의 성분과 내적 

Ⅲ. 공간도형
 05 공간도형                    
 06 공간좌표 

이제 수학(상)을 중심으로 흐름을 살펴봅시다.

중학교 1학년 1학기 III-05에서 '문자와 식'을 학습한 후

2학년 1학기 I-03에서 다항식을 처음 접합니다.

이후 II, III, IV에서 부등식, 방정식, 함수를 배우고

3학년 1학기 II에서 다항식을 다시 다룹니다.

그리고 수학(상) 첫 단원에서 다항식을 다시 다룹니다.

다항식의 정의가 무엇일까요? 위키백과에 따르면

'항들로 이루어진 식' 정도입니다.

항의 정의가 무엇일까요? 위키백과에 따르면

'수 또는 대상' 정도입니다.

예를 들어 다음과 같은 것들은 모두 다항식입니다.

이후 우리는 다항식을 보다 깔끔하게 작성하는 방법으로

두 가지, 내림차순과 오름차순을 공부합니다.

내림차순은 마치 하향식 의사결정 과정과 같습니다.

2023년 6월 대통령실의 수능 킬러 문항 배제 지시가

밝혀진 후로 기존과 다르게 22번에 과하게 쉬운 난이도의

문항이 배치된 2024학년도 9월 시험지가

직관적인 예시가 됩니다.

오름차순은 마치 상향식 의사결정 과정과 같습니다.

어떤 정당에서 당원 등에 투표권을 부여해

당내경선을 진행하고, 그렇게 결정된 공직선거후보자가

본 선거에 출마하여 국민의 지지를 받고 

당선되는 과정이 예시가 될 수 있겠습니다.

예를 들어 이러한 다항식을 x에 대해 내림차순으로 작성하면

위와 같고, y에 대해 오름차순으로 정리하면

위와 같습니다. 보통 다항식을 다룰 때는

내림차순을 적용합니다.

참고로 2개 이상의 문자에 관한 식에서

한 문자에 관해 정리할 때에는 

다른 문자는 상수 취급합니다.

이는 후에 다변수 함수의 미적분을 공부할 때

기본으로 다룰 수 있어야 할 사고 과정 중 하나입니다.

서로 같은 문자끼리 차수가 일치하는 항들을

'동류항'이라 하며 다항식의 덧셈과 뺄셈은

동류항끼리 합니다.

이런 식으로요! 이때

덧셈, 뺄셈에서 성립하는 교환법칙, 결합법칙과

곱셈에서 성립하는 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이

다음과 같습니다.

이 중 곱셈에서의 분배 법칙을 적용해

앞으로 우리는 다항식에서의 곱셈을 전개를 통해

해결할 수 있을 것입니다.

수학에서 같은 정보라도 간단하게 표현하는 것이

문제 풀이에 도움이 되거나 아름답기 때문에

앞으로 우리는 동류항끼리 함께 작성해두는 것과

다항식의 경우 내림차순을 적용하는 것을

암묵적 규칙으로 해둡시다!

이제 우리는 '곱셈 공식'을 접합니다.

근데 이거 외워야지 외워야지 해서 외우기 시작하면

수학적 사고력 그대로 굳는다 느꼈습니다. (경험담)

분배 법칙에 따라 전개 하나씩 하셔서

30번씩은 직접 전개해보시기 바랍니다.

그러다 보면 어차피 같은 계산이라 손에 익어

조금씩 식을 작성해내는 속력이 빨라지는 것을

확인하실 수 있으십니다.

30번씩 해봤는데 그대로라면 30번씩 더 하시면 됩니다.

그렇게 충분히 빨라지면 어느 순간

머릿속으로 해당 과정이 자연스레 지나갈 것입니다.

그럼 외워진 것입니다.

물론 머리 좋으시면 몇 번 써보고 외우셔도 괜찮은데

여유만 있다면 수학은 모든 것을 직접 증명해보고

유도해보고 고민해보며 공부해가는 것이

사고력 향상에 큰 도움 된다고 느꼈습니다.

나머지 곱셈공식 혹은 곱셈 공식의 변형 따위는

위에서 익숙하게 만드신 것들을 가지고 직접 증명해보시면 됩니다.

마찬가지로 익숙해질 때까지 반복하여 일일이 전개해보시되

앞서 공부한 기본적인 곱셈 공식으로부터 유도되는 과정 자체를

충분히 관심 갖고 지켜보셨으면 좋겠습니다.

결국 아무리 변형하고 변형해도 중심은 원리에 있습니다.

나눗셈은 이 영상 한 번 보고 오세요!

p.s. 과외 진행한 내용을 시간순으로 요약하고자 

작성하기 시작한 글이기에 내용 간 연결이 자연스럽지 못하거나 

수학(상)에서 학습하지 않는 내용들이 일부 섞여있습니다.

이해 바랍니다.

1. 수학은 '거인의 어깨'를 학생 때 체험해볼 수 있는

가장 직관적인 과목이라 생각합니다.

이전에 공부했던 것이 지금 공부하는 것에

어떻게 연결되었고, 지금 공부하는 것이

앞으로 공부할 것엔 어떻게 연결되는지

그 관계에 초점을 두어보시면 좋겠습니다.

2. 사실 내신 대비는 곱셈 공식 외워버리고

문제 한 2000개 풀고 유형 별로 정형화해서

기계가 문제 풀어내듯 훈련하시면

웬만해서는 1등급은 물론 전교1등 가능하다 생각합니다.

하지만 이는 수학적 사고력 향상을

돌아 돌아 이루는 길이라 생각하고

흥미를 떨어뜨리기 쉽다고 느꼈습니다.

그래서 시간이 오래 걸리더라도 하나 하나 증명해보시고,

유도해보시고, 문제가 안 풀리면 고민해보시고,

답지 보지 말고 끝까지 고민해보시고,

답을 맞추었다면 다른 풀이를 발견해보시기 바랍니다.

수학(상)에서 그 정도 정성을 보일 필요 없다 생각하지만

이것이 결국 대학수학능력시험을 준비할 때 필요한 태도이며

1학년 때부터 길러가서 나쁠 것 없다고 생각합니다.

저는 이 태도를 고등학교 3학년 때 알아서 1-2학년 때는

수학 공부의 재미를 느끼지 못했었습니다.

3. 사실 곱셈공식 중

이는 주로 고등학교 2학년 때 '확률과통계'에서 학습하는

'이항정리'입니다. 하지만 수학(상)에서 완전제곱식과

완전세제곱식을 공부했다면 자연스레 완전네제곱식,

완전다섯제곱식, ... 을 스스로 궁금해해보고

직접 계산하여 일반화해보는 것이 (다시 말해 공식 발견)

수학 공부의 흐름 상 자연스럽다고 생각합니다.

이항정리는 이미 일반화된 결과를 배우는 것이지만

직접 완전n제곱식 공식을 발견해가보는 과정에서

'파스칼의 삼각형'의 성질까지 이해해볼 수 있을 것이라고

생각합니다. 참고로 위의 표기는 수학(하)에서 '조합',

수학I에서 '합의 기호'를 배워야 이해할 수 있기 때문에

지금은 '저렇게 표기할 수 있구나' 하고 넘어가셔도 좋겠습니다.

참고로 x에 관한 다항식은 다음과 같이

일반적으로 나타낼 수 있습니다.

4. "삼각형을 특정짓기 위해서는 

서로 다른 3개 이상의 정보가 필요하다"라거나 

"n개의 미지수를 특정짓기 위해서는

(=값을 구하기 위해서는)

서로 다른 n개 이상의 정보가 필요하다"와 같은 문장은

통계학에서 degrees of freedom을 공부하여

논리적으로 이해할 수 있는 것으로 알고 있습니다만,

제 배움이 부족해서 현재로서 설명은 어렵습니다.

그냥 기억해두시기 바랍니다.

다시 말해 삼각형에 대해 논할 때 주어진 서로 다른 정보가

3개 미만이라면 삼각형에 대해 절대 정보들을 모두 알 수 없고

방정식에 대해 논할 때 주어진 서로 다른 정보가 n개 미만이라면

(n-1)개 이하의 미지수의 값은 결정할 수 있을지 몰라도

모든 미지수의 값을 알 수는 없다는 것을

기억해두시기 바랍니다.

이것을 따로 교육과정 내에서 엄밀하게 배워본 적은 없는 것으로

기억하는데, 수능 수학은 물론 중고등학교 내신 시험 대비할 때에도

꼭 필요하며 유용하게 사용되는 사고과정이라 생각합니다.

5. 사람마다 공부하는 방식이 다르긴 하지만

웬만하면 수학 문제 풀 때 책에 풀지 마시기 바랍니다.

책은 공간이 좁을 때가 많습니다.

그리고 한 번 풀면 다시 풀기 어려워집니다.

대신 공책 하나를 함께 갖고 다니시기 바랍니다.

어떤 문제를 풀 때에는 어떤 문제집의 몇 페이지 몇 번

문항인지 노트에 표시해두고 풀이과정을 작성할 때는

모든 문항을 서술형 답안 작성하듯이 작성하시기

바랍니다. 계산할 때 암산은 하지 마시기 바랍니다.

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 하나 하나 손으로 확인하시고

실수 없이 넘어가시기 바랍니다.

만약 손으로 계산하는 것이 어색하거나

실수가 나온다면 기탄수학 step C~K 구매하셔서

풀어보시기 바랍니다. 저도 계산 실수가 많은 편이었기에

고등학생 때 '알라미'라는 알람 앱을 이용해

매일 아침마다 두 자릿수 곱셈 문항을 3문제씩 풀고

알람을 끄고 하루를 시작했던 기억이 있습니다.

실제로 그렇게 4개월 정도 생활하니 잔 실수가 줄었고

수능 당일에도 큰 문제 없이 계산으로 상황이 꼬이는 일을

최소화할 수 있었다고 생각하고 있습니다.

p.s.2 이제 고등학교에 입학할 예비고1 분들께

어떤 말들이 도움이 될까 고민하다 든 생각들도

함께 적어본 글입니다.

학습에 적절히 활용하시기 바라며 결국 제 생각도

제 개인의 주관적인 의견이기 때문에 다른 분들 말씀 참고해보시고

학습 방향, 방법 고민해가셨으면 좋겠습니다.

겨울방학, 오늘 하루 파이팅하세요! 응원합니다