극좌표(polar coordinate)를 이용한 치환적분
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2차원에서 어떠한 점의 위치를 설명하려면
어떻게 해야할까요?
적당한 기준을 세운다면 우리는
점의 위치를 설명할 수 있을지 모릅니다.
대표적인 방법이 데카르트 좌표계, 바로
우리가 흔히 접하는 직교 좌표계입니다.
원점과 x축, y축을 설정함으로써 우리는
그림 상의 점 A, B와 같이 특정한 점의 위치를
깔끔하게 설명해낼 수 있습니다.
그런데 직교 좌표계 외에도 이렇게
기준을 잡아 평면 상의 점의 위치를 기술할 수 있는
대표적인 방법이 하나 더 있습니다.
바로 극 좌표계입니다.
원점을 O라 할 때 각 AOD의 크기를 alpha,
각 AOB의 크기를 beta라 한다면 우리는
방금 봤던 두 점 A, B의 좌표를 각각
다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
r은 원점으로부터 각 점까지의 거리를,
@는 시초선으로부터 동경까지 시계반대방향으로
잰 각의 크기를 뜻합니다.
이 r과 @값에 초점을 두고 다시 직교 좌표계에서
점을 나타내어 보면
이렇게 나타낼 수 있을 것임을
생각할 수 있습니다.
즉, 반지름의 길이가 r인 원 위의 점으로
주어진 점을 바라보고 일반각 하나를 잡아
직교 좌표계의 점을 생각해볼 수 있다는 것이죠!
극 좌표계를 이용하면 2변수 함수의 적분을
다음과 같이 작성할 수 있습니다.
이제 1변수 함수를 다룰 때의 치환적분법을 다음과 같이 생각해보고
아직 제가 서술하기엔 어려운
transformation from the uv-plane (polar coordinate)
to xy-plane (Cartesian coordinate) 와
the Jacobian of the given transformation 에 관한
이해를 갖추면
극 좌표계를 이용한 치환적분을
일반화할 수 있습니다!
이제 이를 이용해 확률과통계에서 학습하는
정규분포를 따르는 연속확률변수의 확률밀도함수를
적분해봅시다!
이를 표준정규분포 N(0, 1^2)을 따르도록 해주면
확률밀도함수 g(x)를 얻을 수 있습니다.
현 교육과정 상 확통에서 표준정규분포를 따르는 연속확률변수의
확률밀도함수에 관한 위 성질은 배우는데 증명을 하지 않아
앞서 다루었던 다변수 함수에서의 치환적분을
적용해 해결해보고자 한다면
영상 속 과정을 따라 I값을 구한 후
루트 pi로 나누어주시면 됩니다.
현재 2022 개정 교육과정 상 공통수학2에
선형대수학의 기초인 행렬이 들어왔으니
2028 개정 교육과정 즈음엔 극 좌표계와
복소 평면도 들어와 학생들께서
2차원 평면에 대한 보다 다각적인 이해와
나아가 치환적분의 느낌을 다변수 함수에도
적용해보실 수 있을 그러한 기회가 있었으면 좋겠습니다!!
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확률밀도함수 적분이 이렇게 되는거군요!!엄청 신기해요
답글로 해당 게시글 링크 남겨드리려 했는데 벌써 확인해주셨네요!! 댓글로 설명하는 것보다 글 하나 남기는 것이 더 편할 것 같아 얼른 남겨봤습니다, 행복한 오후 보내세요~~
항상 도움되는 글 감사드려요 선생님
누구나 그럴테지만 수험생 분들께 무언가를 설명해드리거나 학습과 관련된 말을 건네드리고 도움이 되었다, 감사하다라는 말을 들을 때마다 참 행복하네요 ㅎㅎ 선생님께서도 꾸준히 수학에 관심 갖고 관련 글들 작성해주셔서 감사드립니다. 올해는 저도 기하를 열심히 공부해볼 계획이니 모르는 것 있으면 여쭤보겠습니다!
적분이 수렴하는지부터 따져야되지않나
안따져도됐었나 기억이안나네
엄밀히는 수렴 여부부터 확인하는 것이 맞긴 한데 가우스 적분의 경우 루트 pi로 수렴하는 것이 널리 알려져 있다 보니까 본문에서는 생략 했습니다, 형님 말씀대로입니다