그렇지만 (불연속)x(연속)은 연속이 되기 위한 아주 특별한 조건이 있어서, 그 조건만 체크하면 되죠?

많이들 알고 계시듯 그 조건은 바로, "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0" 입니다.

그렇지만 이 조건은 사실 필요조건이기는 하지만 충분조건은 아니에요.

즉, (불연속)x(연속)에서 연속함수가 0임에도 불구하고, 곱함수 전체가 불연속일 수 있다는 거죠.

1. (불연속) x (연속) = (연속), "불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값 = 0"

우선은 혹시라도 저처럼 공부를 늦게 시작하신 분들을 위해, 이 내용부터 짚으며 시작해봅시다!

우선 (불연속) x (연속)의 간단한 예시를 살펴볼까요?

이렇게, 불연속함수 f(x)에 어떤 함수를 곱하냐에 따라, (불연속) x (연속)이 연속이 되기도 하고, 불연속이 되기도 하죠?

그런데,f(x)가 불연속인 x=1에 대해

곱함수가 연속인 위에서는 g(1) = 0이고
곱함수가 불연속인 아래서는 h(1) =/=0 임을 확인할 수 있어요.

눈치빠른 분들은 이미 아셨겠지만, (불연속) x (연속)이 연속이 되기 위해서는

불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값이 0이어야 해요.

가령, 불연속함수의 서로 다른 좌극한과 우극한에

연속함수의 같은 값을 곱해서

곱셈 결과가 같아지려면

곱하는 값이 무조건 0이어야 하지 않을까요?

수식으로 표현하자면,

이처럼, x=(알파)에서 불연속인 함수에 연속함수 g(x)를 곱해서 연속이 되려면,

연속함수의 함수값이 0이 되어야 함을 알 수 있어요.

그래서, 가령

이런 문제를 만나면

f(x)는 x=1에서만 불연속, 나머지에서는 무조건 연속
g(x)는 모든 실수 x에서 연속이므로

f(x)g(x)가 x=1에서만 연속이 되면 되고,
이때 (불연속)x(연속)이므로

g(1)=0

=1+k

-> k=-1

이렇게 결론을 낼 수 있어요.

수능이나 내신에 아주 자주 나오는 성질이니, 잘 기억해두세요!

2. (불연속) x (연속), 연속함수 = 0 이어도 불연속이라고?

이제 오늘의 메인 주제입니다!

위에서 말씀드린 내용까지는 모두들 알고 계실 거에요.

그렇지만, (불연속)x(연속)에서
불연속함수의 불연속점에서 연속함수의 함수값=0임에도 곱함수가 불연속일 수도 있어요.

그게 어떻게 가능하냐고요?

바로 이렇게요.

어떻게 된 일일까요?

분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수에서는

연속함수 = 0 임에도 불구하고

곱함수의 극한값이 존재하지 않을 수 있기 때문이에요.

바로 위의 예시가 딱 이 경우죠.

분모가 0으로 수렴해서 전체가 무한대로 발산하는 불연속함수 f(x)에 대해,

불연속함수 f(x)의 불연속점 x = 1에서 연속함수 g(x)가 g(1) = 0임에도 불구하고

곱함수의 분모에 여전히 (x-1)이 남아있어서, 곱함수가 무한대로 발산해버리는 것이죠.

그렇다면, 곱함수가 발산하지만 않으면 연속이 될까요?

이 예시에서는, 연속함수 g(x)에 (x-1)을 하나 더 곱해줬어요.

그러면 곱함수 f(x)g(x)가 x=1에서 1로 수렴하네요.

그러나, 극한값과 함수값이 달라서 여전히 불연속이 되었습니다.

(x-1)을 한 번 더 곱해보면 어떨까요?

드디어 연속이 되었네요.

눈치채신 분들도 있겠지만, 극한값 = 0이 되어야만 연속이 돼요.

왜 그럴까요?

이렇게 결론낼 수 있겠어요.

따라서, (불연속) x (연속) = (연속) 이려면,

단순히 "불연속함수의 불연속점에서 연속함수 = 0" 뿐 아니라

"곱함수의 극한값 = 0" 이 되어야 하고,

그러기 위해서는

"0을 만드는 인수를 곱함수의 분자가 분모보다 더 가져야" 하겠죠?

마지막으로, 이 개념을 활용해서 아주 빨리 풀 수 있는 문제를 살펴보고 마치겠습니다.

2021학년도 고3 7월 모의고사 12번입니다!

쉽죠?

이상입니다!