미적분 오개념 테스트
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1. f가 증가함수이면 정의역의 모든 x에 대하여 f'(x) ≧ 0이다.
2. y = tan x는 연속함수가 아니다.
3. cot x는 1/(tan x)과 동일하다.
4. y = x^x는 연속함수이다.
5. 정의역이 실수 전체의 집합인 모든 연속함수에는 접선을 그릴 수 있는 점이 적어도 하나 존재한다.
6. 기함수의 부정적분은 우함수이다.
7. 미분가능한 함수 f와 어떤 실수 c에 대하여 f'(c) > 0이면 f는 c를 포함하는 어떤 열린구간에서 증가한다.
8. 정의역에서 도함수의 부호가 항상 양인 함수 f는 증가함수이다.
답 : 모두 거짓
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4번에서 불연속함수임을 증명할 때 입델을 쓰는거 말고는 다 고등학교 범위입니다.
1번은 미분가능 조건이 없어서 그렇고, 2번은 연속함수의 정의 자체가 정의역에서 연속이면 충분하기 때문입니다.
나머지도 이런 식이에요.
1. 미분가능하다는 얘기 없음,
2. ??
3. x = pi/2에서 정의되느냐 안되느냐에 따라 (그럼 2번은?)
4. 0+에서 1로, 0-에서 음수
5. 대우로 생각해주면, 접선그을수 있는 점이 단 한개도 없으면, 연속함수가 아니다. —단한개의 미분계수도 존재하지 않으려면 연속이 아니다?
6. 불연속인 기함수의 존재?
7. 이건 맞는거같은데
8. 도함수의 연속성이 정의되지 않아서?
2. 정의역에서 연속이므로 연속함수입니다.
4. 제가 의도한건 그림처럼 x<0일 때인데 그 설명도 가능은 한 것 같네요.
5. 바이어슈트라스 함수는 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분이 불가능합니다. (생각해보니 수직접선의 가능성을 배제할 수 없긴 한데, 대신 코흐의 눈송이를 들고 오면 수직접선도 못 그립니다.)
6. 1/x의 한 부정적분 : ln(x) + 1 (x>0), ln(-x) (x<0) - 우함수가 아니죠.
8. y = tan x, y = 1/x처럼 정의역이 끊어진 경우가 반례입니다. '정의역에서 f' > 0'이 아니라 '구간에서 f' > 0'이라고 해야됩니다.
7번 반례입니다. x = 0이면 아무리 작은 구간을 잡아도 항상 증가하는 구간과 감소하는 구간이 둘 다 존재합니다.
tan x 가 연속이라는게 이해가 안감. Pi/2에서 무한으로 수렴하는데 어떻게 연속함수라는거임
일단 무한대로 수렴한다는 표현은 없으며 pi/2의 좌우에서 양의 무한대 또는 음의 무한대로 발산하는겁니다.
하지만 그건 상관없죠. pi/2는 애초에 tan x의 정의역에 포함되어 있지 않습니다. 같은 맥락으로 1/x도 연속함수입니다.
연속함수의 정의 자체가 '정의역에서 연속'을 논하는 것이기 때문에 정의에 의해 연속함수가 됩니다. 실수 전체에서 연속이라는게 아니에요.
+ 개념에서 불연속이라 하는 것은 대부분 함수 그릴 때 x축을 그린 상태로 그리기 때문에함수의 그래프가 그려지지 않아서 불연속이라고 하는 겁니당
실제로 수학적으로는 불연속X
그 함수가 정의되지도 않은 점에서의 연속성을 논하는 것 자체가 의미가 없죠.
오우 신기하다. ㄱㅅㄱㅅ