참고) 230615를 눈풀하는 엄밀한 방법
게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00063649578
메인글 보고 급하게 한 번 다시 써 보겠습니다. 23학년도 6월 평가원 모의고사 15번 문제입니다.
이 문제를 간편하게, 그렇지만 엄밀하게 눈풀할 수 있는 방법이 있습니다.
수열의 생김새를 보면 a2는 a1에 1/(k+1)을 더하고, a3은 a2에 1/k를 뺌을 알 수 있습니다. 여기서 이것이 반복된다고 생각해 볼 수는 있습니다.
그렇지만 증명하지 않고 넘어가면 제대로 된 풀이가 아니죠.
왜 저렇게 되는지는 매우 간단합니다.
보조정리라 할 것까지도 없습니다. 그냥 통분해서 정리하면 보일 거예요.
그리고 같은 경우에서
이 성립함은 더 쉽게 알 수 있습니다.
그렇다면 이제 어떻게 할 건지 감이 오시나요?
수학적 귀납법과 비슷한 방법으로 
이라는 사실을 알 수 있습니다. (2k+1)이 수열의 주기의 배수가 된다는 것이죠.
그리고 여기서 구할 수 있는 k가 가능한 모든 k라는 걸 증명하겠습니다.
어렵지 않아요. 그냥 k와 k+1은 서로소임을 기억하면 됩니다.
그러면 저 점화식에서 (2k+2)번째 항이 1 다음으로 최초로 0이 되는 항임을 알 수 있습니다.
즉 (2k+1)이 이 수열의 주기라는 것이죠!
(4k+3), (6k+4), (8k+5)... 번째 항이 0이면서 그 항들만 0임을 알 수 있습니다.
제가 풀었을 때(현장은 아니었지만) 이 풀이를 바로 떠올렸습니다.
그렇다면 풀이는 이 정도로 축약할 수 있습니다.
1. 이 수열은 0 이하면 1/(k+1)을 더하고 양수에서 1/k을 빼는 수열이다.
2. 그런데 가능한 모든 경우에 대해 1/(k+1)을 더한 후에는 양수, 1/k을 뺀 수는 음수가 된다.(보조정리 참고)
3. 따라서 이 수열의 주기는 2k+1이다.
4. a_22가 0이므로 (2k+1)이 21의 약수이다.
5. 따라서 가능한 모든 k는 1, 3, 10이므로 합은 14이다.
떠올리기는 쉽지 않지만 생각만 한다면 1분 안에 푸는 것도 무리는 아닙니다.
유익하셨기를 바라면서 마치겠습니다! 좋아요와 댓글 환영합니다!
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
오르비문학 1화 0 0
오르비문학 1화
-
Test 0 0
Tetsteyey
-
수학 4등급만 받으면 2 0
쫀득하게 인서울 할 수 있는데
-
엘든링 왜 자꾸 멈추지 1 0
컴퓨터 좋은건데 씨발
-
목 졸라줘 5 1
켁켁켁 숨막혀 ㅜㅜ
-
시험지에 따라서 난이도가 가장 극단적으로 달라지는 번호같음....
-
개쉽게 풀리는데 이거 맞나
-
정시로 갑시다 8 0
내신반영을 노려서 내신 깡패 정시러
-
나왔어 12 0
다시감 근데 저게 왜 이륙햇냐
-
갑자기생각난썰 1 1
고1 2학기 학급회장선거때 후보가 2명이엇는데 그 친구들 둘이 합의하고 한명이...
-
그만하고 잘까 1 0
흐름이 끊겨버렷네
-
세기말 수능 1 1
2000학년도 대학수학능력시험
-
강은양t 0 0
현역 고3이고 작년까지 모고 3~4등급 나왔는데 지금부터 강은양t 들으려고 합니다....
-
2시열차 1 0
출발
-
지금 강민철 현강 다니고 있는데 저랑 너무 안맞는 느낌이 심하게 들어서...
-
뭘 해야하나요 0 0
이번에 고등학교 2학년 된 이공계 지망하는 지방 일반고학생입니다. 생기부를 제대로...
-
이게 오르비를 재밌게 오래하려면 10 4
수험생활을 지속해야 함
-
에ㅔㅔㅔㅔㅔㅔㄴ들리스레인ㄴㄴ 0 1
폴온마이헐트 코코로노 키즈니ㅣㅣㅣ
-
내 이상형 중단발에 속눈썹 1 0
-
우와 보추야동 많이떴다 2 2
보다자야지
-
심심한데 무물보 5 0
응애 나 아가학생
-
본인 물1 점수 꼬라지 0 1
3모 48점 (99) 5더프 47점인가였는데 시험이 어려웠어서 전국석차 30등쯤...
-
오후8시부터자다가깼더니 1 0
다시잠이안오네.. 비상..!!
-
생각나는구나
-
ㅇㄴ근데 0학점 패논패과목을 오ㅑㄹ케 빡세게시켜 0 0
그냥 좀 봐주면 안되나
-
-
시발점 한 다음 스블 0 0
고2이고대수 개념원리, 쎈, 고쟁이 했습니다개정 시발점 사놓은 게 있어서...
-
러셀 외부생 더프 성적표 0 0
문자로 발송되나요?? 아님 직접 찾으러 가야햐나요??
-
원래 사람은 별을 쫓아 달려갈 때 가장 빛나는 법이여설령 닿지 못할지라도적어도 내...
-
저걸 어케 함 진짜 와.. 원과목 중 생1만 수능공부로 안해봤는데 안하길잘한듯
-
시발 나 개폐급임 2 1
조별과제 하는족족 내것만 교수님 피드백 나오고 술처먹다 팀원들한테 자료 제출 개늦게하고 자퇴마렵다
-
딱 한 마디만 하고 자러감 9 3
미쿠 ㅈㄴ 예뻐어~~~~~~~~~~~~
-
중앙대 가기 59일차 3 1
안녕하세요 중앙대29학번 부산사나이 이동현입니다 음 오늘이 벌써 59일차군요...
-
이제 좀 자보실까 11 1
음음
-
리젠존나느리네 1 0
오르비망함?
-
너무멍청해짐 1 0
ㅜㅜㅜㅜㅜ
-
생윤 진짜 1도 모르는 쌩노베인데 누구 듣는 게 좋을가여
-
15살과 엄마 그 사이는 2 0
뭐라함 급함
-
대신 연세대 가겠다 선언
-
작년 10모 20번 0 0
이렇게 푸는거 맞나..?
-
-
위키하우 도움 ㅈㄴ 안되네 6 0
ㅗㅗㅗㅗㅗㅗ
-
새르비 할수록 4 0
헛소리가 늘어가는듯
-
아니 난 신라면 쳐돌이라 5 0
신라면만 먹는데….
-
-
내가사실은생명과학을좋아함 1 0
수능말고 그냥생명과학
-
. 11 1
-
님들 최애 과목 말해보셈 7 0
난 국어
-
님들 최애 라면 말해보셈 10 0
난 신라면
-
라면이랑 과자 안먹은지 6일차 2 0
후후
그래도 저런 의심해 보는 건 나쁘지 않죠특히 실전에서 시간 부족할 때는 가능성 높은 걸로 찍어서 맞추면 그만이니까요
전 저 때 반복 아니면 문제 왜 냄? 이라는 마인드로 풀었었던 기억이 ㅋㅋ
특수 케이스
무슨 중국인의나머지정리? 라는걸로 ㅈㄴ 일반적인 증명도 있다고 어디서 들엇는데
중국인의 나머지 정리는 어려운 건 아니고 재밌어요! 합동식 개념만 알면 봐도 좋을 거예요!기초 정수론인데 확장해서 추상대수학에서 쓰기도 한답니다!
정수론 재밌어했던 게 작년 6모나 수능 15번을 쉽게 푸는 데 도움을 준 것 같아요!
ㄱㅁ
뀨뀨대 ㄱㅁ저 문제 때문에 작년 6모 끝나고 정수론 도움된다고 약팔이한 기억이 있네요
결과적으로 수능 15번 보면 도움이 됐던...혜안이 대단하십니다 선배님
아!!!! p/k+1 - q/k 꼴에서 p=q=1 해보고, 음수니까 p에 2 넣고, 그럼 양수 되니까 q=2 넣고..를 반복해서 p=k+1,q=k일 때 an=0을 만족하는거군요 신기해요
현장에서 떠올리긴 힘들었을 수도 있다 생각하지만 저는 집모로 풀 때는 떠올려서 풀고 감탄했어요아마 정수론이 도움이 되긴 한 것 같습니다 ㅋㅋㅋㅋ
저는 조금 더 간단하게 생각했던 것 같습니다.
21의 약수를 떠올리며 케이스분류해서 1분안에 풀리더라구요!
떠올리기 어려워하는 경우도 있는 것 같더라고요저건 설명하려고 일반화한 거에 가까운데 풀 때는 한 10초 정도만에 풀긴 했죠
저 이거 작년부터 이해 못하고 있었는데 지금 이거 보고 이해함뇨 ㄱㅅ
그런데, 보조정리가 성립하려면 k가 n보다 커야만 하지 않나요?
k가 n 이상이어야 해요!
한 주기 내에서 볼 때를 기준으로 생각했더니 급하게 쓰느라 실수한 것 같네요...