4번 풀이
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문제
풀이
루마니아 수학 저널에 실린 문제로 기억합니다.
적당한 정수 a, b, c가 존재하여 n = a² + b² - c³이 성립하는 정수 n을 좋은 정수라고 하자.
첫 번째 식에 의해 임의의 홀수는 좋은 정수이다.
두 번째 식에 의해 임의의 2 × 홀수는 좋은 정수이다.
세 번째 식에 의해 임의의 4 × 홀수는 좋은 정수이다.
네 번째 식에 의해 임의의 8 × (좋은 정수)는 좋은 정수이다.
이제 임의의 정수 n이 n = 2^a × b와 같이 인수분해된다고 가정해보자. 여기서 a는 0 이상의 정수이며 b는 (음수일 수도 있는) 홀수이다.
먼저 a = 0인 경우를 살펴보자. n = b = 홀수이므로 위의 논의에 의해 n은 좋은 정수이다.
a = 1, 2, 3인 경우도 마찬가지로 위의 논의에 의해 n은 좋은 정수이다.
이제 a가 4 이상인 경우를 살펴보자. a를 3으로 나눈 몫과 나머지를 각각 x, y라고 하면 a = 3x+y이고 n = 8^x × 2^y × b이다. 이때 y는 0 이상 2 이하이므로 2^y × b는 위의 논의에 의해 좋은 정수이다.
또한 x는 자연수이므로 좋은 정수에 8을 x번 곱한 것 역시 좋은 정수이다.
따라서 임의의 정수가 좋은 정수임이 증명되었다.
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여백이 많아서 다행이군요..
이런건 표절 아닌가요? 수학은 아닌가?
적당한 정수 부터 나오는 풀이는 제가 직접 쓴겁니다. 단순히 문제를 가져오는건 표절이 아니죠.. 제가 만들었다고 한 적도 없고 이걸로 돈을 번 것도 아닙니다.
아..저늘 펑가원이 루마니아 문제 가져다 쓴 걸로 착각했어요^^
문제에는 보통 저작권이 잘 안 걸리고 풀이에는 저작권이 걸린다고 알아요
그래서 보통 저런 종류의 약간 경시 스타일의 문제들은 문제는 고대로 가지고 오고 풀이는 강사들이 직접 풀거나 조금 고쳐서 문제집으로 출판하는 경우가 많습니다
아...그렇군요^^
적당한 정수? 좋은 정수는 뭔 뜻인가요 대충 어떤 정수라는 뜻 같은데
좋은 정수는 편의상 제가 용어를 정의한 것이고, 적당한 정수는 말 그대로 어떤 정수가 존재하여 조건을 만족시킨다는 뜻입니다.