함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서도 연속일 것입니다. f(x)도 연속함수이니 그럼 다음이 성립합니다. 이제 저 극한을 해석해줘야하는데 우선 (분모)->0일 때 t=-3, t=6일 때가 아니면 수렴하니 (분자)->0이어야 겠습니다. 그럼 g(-3)=0임을 알 수 있습니다. (근데 g(x) 정의된 것 보면 당연하긴 하죠) 이제 극한이 부정형이고 분자에 루트와 -가 있으니 유리화를 해봅시다. 한결 편한 형태가 되었네요. 이때 x->-3인 상황이므로 g(x)는 x 0인데 (분자)->0이 아니면 발산하니 f(-3)=0일 것입니다. (f(x)는 연속함수) 이때 f(x)가 최고차항의 계수가 1인 이차함수이니 다음과 같이 식을 작성할 수 있습니다. 그럼 이 형태를 다시 집어넣어 정리해주면 분모가 0이 아닐 때 다음으로 수렴할 것입니다. 또 좌극한도 마찬가지로 생각해주면 그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다. 이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다. 따라서 극한이 존재하지 않을 때의 t값이 -3과 6이라는 것은 다음을 의미합니다. 동시에 이외에는 방정식 g(x)=0의 근이 없음을 의미합니다. g(-3)=0은 자명하고 우리가 얻은 것은 g(6)=0입니다. 그럼 이때 a는 양수이기에 f(6-b)=0임을 알 수 있습니다. 그럼 6-b=-3 or 6-b=k 이므로 b=9 or b=6-k 입니다. 그런데 만약 b=6-k라면 f(x-b)=f(x+k-6)=(x+k-3)(x-6). 이때 방정식 g(x)=0은 x =0에서 3-k, 6을 근올 갖습니다. -3과 3-k가 일치하거나 6과 k가 일치할 때는 k=6인 상황이므로 b=0이 되어 b>3 조건에 모순입니다. k와 3-k가 일치할 때는 k=3/2인 상황이므로 방정식 g(x)=0이 x>=0에서 3/2를 근으로 가져 모순입니다. k와 -3이 일치하고 3-k와 6이 일치할 때, k=-3일 때는 상황이 성립하며 b=9입니다. 따라서 b=9 확정입니다. (b=6-k일 때 가능한 조합이며, b=9일 때와 같은 상황이니) 그럼 다시 돌아와 f(x-b)=f(x-9)=(x-6)(x-k-9) 입니다. 이때 방정식 g(x)=0은 x =0에서 6, k+9를 근으로 갖습니다. -3과 k+9가 일치하거나 k와 6이 일치할 때는 각각 -12, 15라는 근이 생기므로 안되고 -3과 k가 일치하고 6과 k+9가 일치하는, 즉 k=-3일 때가 적절하겠습니다. 이제 f(x) 결정됩니다. g(x) 연속 조건으로부터 처음 얻었던 정보에 b=9를 활용해주면 f(0)=9이고 f(-9)=36이므로 a=3/4가 될 것입니다. 이제 답 구해주면 끝입니다.

금테 책참 ㄷㄷ 멋져요!

오류가 있네요. 문제의 극한식의 -3에서의 좌극한과 우극한 모두g(t)=\=0일 때, |k+3|/2|g(t)|입니다. 따라서 f(x)를 확정하기 위해선 b>3이라는 조건을 활용해야 합니다.

그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다. 이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다 만약 여기서 k=-3이라고 하면 g(t)=0이라 하더라도 무조건 발산하는게 아닌 0/0꼴이 나오니까 다시 극한식 계산을 해야하는 것 아닌가요? k=-3일 때와 k≠-3인 경우를 나눠서 계산하다가 실패했는데 제 생각에 어디가 잘못됐는지 알려주실 수 있나요ㅜㅜ

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책참 [1020565] · MS 2020 (수정됨) · 쪽지

2023-04-06 20:10:54
조회수 10,926
5

2023학년도 6월 22번 논리적 풀이

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00062618854

함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 x=0에서도 연속일 것입니다. f(x)도 연속함수이니 그럼 다음이 성립합니다.

$XGxpbV97eFx0byAwK31nKHgpPcwTLcYTZygwKVxcziwoeCthKWYoeC1i0DMoeCszxBopPWFmKC1iKVxcM2YoMMgO$

이제 저 극한을 해석해줘야하는데 우선 (분모)->0일 때 t=-3, t=6일 때가 아니면 수렴하니 (분자)->0이어야 겠습니다. 그럼 g(-3)=0임을 알 수 있습니다. (근데 g(x) 정의된 것 보면 당연하긴 하죠)

이제 극한이 부정형이고 분자에 루트와 -가 있으니 유리화를 해봅시다.

$XGxpbV97eFx0byAtM31cZnJhY3tcc3FydHtcdmVydCBnKHgpIMULK1tnKHQpXV4yfS3IG3THGyB9eyh4KzMpXjJ9XFw91FNb31TSVF3fMzJ9K9Ez6gCI3z3UPfIAuyDmALwo30x9KV4y8gETXjL/AI3/AI33AI3QRd9l32Vc$

한결 편한 형태가 되었네요. 이때 x->-3인 상황이므로 g(x)는 x<0의 형태를 가져와야합니다.

$XGxpbV97eFx0byAtM30gXGZyYWN7XHZlcnQgKHgrMylmKHgpIMUQfXvFEV4yW1xzcXJ0xyVnySArW2codCldXjJ9K8gbdMcbXX1cXA==$

자 그럼 ㅣabㅣ=ㅣaㅣ*ㅣbㅣ임을 활용해주면

$XGxpbV97eFx0byAtM30gXGZyYWN7XHZlcnQgeCszxglcdGltZXMgxg1mKHgpxgt9eyh4KzMpXjJbXHNxcnTHNmfJICtbZyh0KV1eMn0ryBt0xxtdfVxc$

가 되겠습니다. ㅣx+3ㅣ을 편하게 생각하기 위해 이제 우극한, 좌극한 따로 생각해봅시다.

$XGxpbV97eFx0byAtMyt9IFxmcmFjeyggeCszKSBcdGltZXMgXHZlcnQgZih4KcYLfXsoxB9eMltcc3FydHvGIGfJICtbZyh0KV1eMn0ryBt0xxtdfVxcPdZ02GffZddl$

이때 (분모)->0인데 (분자)->0이 아니면 발산하니 f(-3)=0일 것입니다. (f(x)는 연속함수)

이때 f(x)가 최고차항의 계수가 1인 이차함수이니 다음과 같이 식을 작성할 수 있습니다.

$Zih4KT0oeCszKSh4LWspXHNwYWNlIMcHKGvripTHDOyDgeyImCk=$

그럼 이 형태를 다시 집어넣어 정리해주면

$XGxpbV97eFx0byAtMyt9IFxmcmFjeyBcdmVydCAoeCszKSh4LWspxhF9e8USW1xzcXJ0e8YkZyh4xx4rW2codCldXjJ9K8gbdMcbXX1cXD3da3grM8cKxxAta99033TddMVT32rfat9q7wDeymTfXtJefVxc$

분모가 0이 아닐 때 다음으로 수렴할 것입니다.

$PVxmcmFje1x2ZXJ0IGsrMyDFCn17MsYJIGcodCnHFA==$

또 좌극한도 마찬가지로 생각해주면

$XGxpbV97eFx0byAtMy19IFxmcmFje1x2ZXJ0IHgrM8YJXHRpbWVzIMYNZih4KcYLfXsoeCszKV4yW1xzcXJ0xzZnySArW2codCldXjJ9K8gbdMcbXX1cXAoKPS3WfyjEeynfd99333fUd8dqxV4oeC1rznDfbt9u2W54KzPHCscQLWvfd993yHfXdsVV32zfbM9sPQoK12zRZt9g0mDEX+wCk2vpAS59ezLHCsouIH0=$

그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다.

이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다.

따라서 극한이 존재하지 않을 때의 t값이 -3과 6이라는 것은 다음을 의미합니다.

$ZygtMyk9Zyg2KT0w$

동시에 이외에는 방정식 g(x)=0의 근이 없음을 의미합니다.

g(-3)=0은 자명하고 우리가 얻은 것은 g(6)=0입니다. 그럼

$Zyg2KT0oNithKWYoNi1iKT0w$

이때 a는 양수이기에 f(6-b)=0임을 알 수 있습니다. 그럼 6-b=-3 or 6-b=k 이므로 b=9 or b=6-k 입니다.

그런데 만약 b=6-k라면 f(x-b)=f(x+k-6)=(x+k-3)(x-6).

이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 3-k, 6을 근올 갖습니다.

-3과 3-k가 일치하거나 6과 k가 일치할 때는 k=6인 상황이므로 b=0이 되어 b>3 조건에 모순입니다.

k와 3-k가 일치할 때는 k=3/2인 상황이므로 방정식 g(x)=0이 x>=0에서 3/2를 근으로 가져 모순입니다.

k와 -3이 일치하고 3-k와 6이 일치할 때, k=-3일 때는 상황이 성립하며 b=9입니다.

따라서 b=9 확정입니다. (b=6-k일 때 가능한 조합이며, b=9일 때와 같은 상황이니)

그럼 다시 돌아와 f(x-b)=f(x-9)=(x-6)(x-k-9) 입니다.

이때 방정식 g(x)=0은 x<0에서 -3, k를 근으로 갖고 x>=0에서 6, k+9를 근으로 갖습니다.

-3과 k+9가 일치하거나 k와 6이 일치할 때는 각각 -12, 15라는 근이 생기므로 안되고

-3과 k가 일치하고 6과 k+9가 일치하는, 즉 k=-3일 때가 적절하겠습니다.

이제 f(x) 결정됩니다.

g(x) 연속 조건으로부터 처음 얻었던 정보에 b=9를 활용해주면

f(0)=9이고 f(-9)=36이므로 a=3/4가 될 것입니다.

$Zyh4KT0oeCszKV4zIFxzcGFjZSAoeDwwKSBcXCBvcsQGyCNcZnJhY3szfXs0fSkoeC02KV4yyjIgXGdlIDAp$

이제 답 구해주면 끝입니다.

$Zyg0KT0oNCtcZnJhY3szfXs0fSkoNC02KV4yPTE5$

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푸른 하늘과 이상 · 1187425 · 23/04/06 20:25 · MS 2022

금테 책참 ㄷㄷ 멋져요!

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책참 · 1020565 · 23/04/06 21:28 · MS 2020

감사합니다! 입시 커뮤니티에서 팔로워를 300명이나 모으다니... 수능 수학 말고 경제학을 좀 공부해야할텐데 ㅜㅜ 가까운 미래에 '내가 생각하는 경제학에 대하여' 같은 글로 돌아올 생각을 해야겠네요

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푸른 하늘과 이상 · 1187425 · 23/04/06 21:52 · MS 2022

오 멋지네요 기대하겠습니다!

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책참 · 1020565 · 23/04/06 22:09 · MS 2020

감사합니다, 이상 님도 오늘 남은 2시간 가량과 내일 하루 파이팅입니다!

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호불호매스 · 1148712 · 23/04/06 23:28 · MS 2022

오류가 있네요. 문제의 극한식의 -3에서의 좌극한과 우극한 모두g(t)=\=0일 때, |k+3|/2|g(t)|입니다. 따라서 f(x)를 확정하기 위해선 b>3이라는 조건을 활용해야 합니다.

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책참 · 1020565 · 23/04/07 00:11 · MS 2020 (수정됨)

감사합니다, 수정했습니다. 중간에 ㅣx+3ㅣ 절댓값 푸는 과정에서 -를 한 번 빼먹었었네요. 풀이 쓰다보니 b>3 조건은 k 후보값 찾는 논리로 자연스레 쓰인 것 같은데 확인해주시면 감사드리겠습니다.

ebs 해설 확인해보고 왔는데 k를 b에 대해 표현하면 b>3 조건으로 x>=0에서 g(x)의 함숫값이 0이 될 때가 6으로 유일함을 보일 수 있군요!

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hswjwuw · 1274170 · 25/01/14 13:15 · MS 2023

그럼 g(t)가 0이 아니면 극한이 수렴함을 알 수 있습니다.
이어서 극한이 존재하지 않는 상황은 g(t)=0인 상황과도 같음을 알 수 있습니다

만약 여기서 k=-3이라고 하면 g(t)=0이라 하더라도 무조건 발산하는게 아닌 0/0꼴이 나오니까 다시 극한식 계산을 해야하는 것 아닌가요? k=-3일 때와 k≠-3인 경우를 나눠서 계산하다가 실패했는데 제 생각에 어디가 잘못됐는지 알려주실 수 있나요ㅜㅜ

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