3모 수학 후기

전체적인 난이도는 그냥 평범했다고 생각합니다.

퀄리티는 역시 서울교육청 답게 꽤나 좋은 퀄리티를 보여줍니다. 

4점 문항들에 대한 간단평

9. 

삼차함수의 극점 사이의 거리에 따른 극값의 차이를 알고 있다면 보자마자 답을 낼 수 있다. 

10. 

S_9=27이 곧 a_5=3임을 바로 파악했다면

절대로 (가) 식 두 항 부호가 같을 수 없음을 알 수 있었을 것이다. 

공차 4를 구했다면 a_10=a_5+4*5=23으로 빠르게 구할 수 있다.

11. 

'아는' 삼각형부터 천천히 구하면 된다. 

여기서 안다는 것은 삼각형의 구성요소(세 변과 세각)이 모두 결정되있는 삼각형을 말한다. 

문제 상황에서는 PBC를 알기 때문에 PBC의 변을 시작으로 나머지 삼각형에 대한 정보를 얻을 수 있다. 

기회가 된다면 삼각형을 안다는 것에 대해 조금 자세히 써보도록 하겠다. 

12. 

식만 잘 세웠다면 어렵지 않다.

13. 

합성함수에 대한 기본이 충실하다면 크게 어렵진 않았을 것이다. 

a에 대해 케이스를 분류해주고, f(x)=0의 근이 어디 있어야 5/2pi라는 숫자가 등장할 수 있는지 따져보면 된다.

조금 생각해보면 문제에서 주어진 범위의 삼각방정식에서 근의 합이 정수가 아닌 것은 꽤나 '특수'한 조건이다. 

14. 

정말 충실하게 미분하고 충실하게 대입하면 해결할 수 있었다. 

마지막 계산이 좀 지저분하긴 하다. 

15. 

a_4+a_5=68을 알아내면서 시작. 

이후 a_4와 a_5 모두 짝수이거나 홀수일 수 밖에는 없는데

이때 둘 다 짝수가 된다면 a_1에서 a_5까지 모든 항이 짝수가 되야 한다. 

이는 모순이므로 a_4와 a_5는 모두 홀수.

이후는 정방형으로 가든 역방향으로 가든 큰 차이는 없는 것 같다. 

사실 a_4와 a_5의 짝/홀 논리를 발견하지 못했다고 해도 조금 더 케이스 나눠서 우직하게 계산하면 되긴 한다.

수열에서 짝/홀이나 배수의 논리에 대해서는 조금 더 분석해볼 가치가 있어보인다.

20.

적분 값 계산은 평행이동한 함수를 이용하면 빠르게 처리할 수 있다. 

21.   

미지수 두개를 잡고 연립방정식을 풀면 된다. 

두 방정식에서 한 항이 같으므로 두 방정식을 나누어야 빠르게 풀 수 있었을 것이다. 

22. 

주어진 극한식의 값이 존재하려면 1) 극점, 2) 첨점이여야 한다는 사실을 파악하면 거의 끝이다. 

불연속점이 두개밖에 없다는 점에서 대칭형 W모양 개형을 생각했다면 매우 빨리 풀 수 있었을 것이다. 

극값 간의 차를 알아내는것은 역시 적당히 평행이동하여 생각하는 것이 빠르다. 

[미적분]

28.

a>0 이면,

BnBn+1의 길이를 구할때, 피타고라스 정리를 사용하지 말고 어차피 밑변의 길이에 비해 1은 무시할 수 있으므로 그냥 밑변의 길이로 생각해도 된다. 

Sn 역시 같은 방식으로 뒤에 더해진 1은 무시하고 계산하는 것이 빠르다. 

a<0 이면,

이번에는 a^n에 대한 항은 무시할 수 있다. 

이 경우 BnBn은 그냥 1로, Sn도 그냥 1로 생각할 수 있다. 

무시할 수 있는 것이 무엇인지 생각하고 빨리 날려버리는 센스가 있다면 빠르게 해결할 수 있다. 

29.

수직선을 그리고 생각하면 상황의 이해가 조금 더 이해가 빨리 될 수 있다. 

핵심은 2n<sqrt(4n^2+1)<2n+1이라는 것이다. 

쌍곡선 근사를 적절히 써주는 것이 포인트

*쌍곡선 근사 : sqrt(x^2+ax+b)~x+a/2로 근사하는 것

(유도 과정이 쌍곡선과 관련있어 필자는 그냥 쌍곡선 근사라고 부른다.)

30.

그래프만 잘 그렸다면 너무 허무하게 끝난다. 

그래프도 복잡해보이지만 몇번만 그려보면 규칙성이 드러난다. 

af(x/a)는 f(x)를 x축 방향으로 a배, y축 방향으로 a배 잡아 늘린 함수라는 것을 기억하자.