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지인선 [1050147] · MS 2021 (수정됨) · 쪽지

2023-03-10 14:50:42
조회수 28,459

[수학 칼럼] 불연속함수와 연속함수의 곱

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00062365078

안녕하세요? 지인선입니다.




오늘은 함수의 연속, 미분 단원과 관련된 5가지 문제를 풀어보며, 불연속함수와 연속함수의 곱함수에 대한 논의를 해보고자 합니다. 



특히, 오개념이 있을 수도 있는 파트여서, 꼭 제대로 알아야 하는 파트입니다.



목차는 다음과 같습니다.



1. 불연속점의 분류와 불연속함수와 연속함수의 곱: 연속성

2. 불연속함수와 연속함수의 곱: 미분가능성





1. 불연속점의 분류와 불연속함수와 연속함수의 곱: 연속성


우선 다음 문장이 참인지 아닌지 판단해볼까요?



'x=a에서 불연속인 함수 f(x)와 x=a에서 연속인 함수 g(x)에 대하여, h(x)=f(x)g(x)가 x=a에서 연속이려면 g(a)=0이다.'



이 문장은 참입니다. 아마 자주 공부하셔서 아는 내용일 겁니다.


그래도, 관련 문제 하나를 풀면서 기억을 상기시켜봅시다.




1) 2016학년도 6월 모의평가 A형 29번


지금 |x^2-2x|의 극댓값이 1이고, x=0과 x=2에서 극소이므로 f(t)는 t=0, t=1에서 불연속입니다.


이 불연속점을 없애주기 위해, g(x)는 g(0)=g(1)=0이 되어야 하고, g(x)=x(x-1)입니다.


8년 전에는 이런 문제가 29번이었네요... ㅠ 고생이 많으십니다 여러분





자 그럼 다음 문장은 참일까요?


'x=a에서 불연속인 함수 f(x)와 x=a에서 연속인 함수 g(x)에 대하여, g(a)=0이면 h(x)=f(x)g(x)가 x=a에서 연속이다.'



이 문장은, 앞의 문장에 역을 취해준 것입니다. 차이점이 보이시죠?


답은 거짓입니다.




이를 이해하기 위해선, 저희는 '불연속'이라는 말을 자세히 들여다볼 필요가 있습니다.



함수 f(x)가 x=a에서 연속이다라고 함은, 다음을 만족한다는 뜻입니다.


딱 한 표현이지만, 주의하셔야 합니다. 


극한은 많은 조건을 내포하고 있기 때문입니다.


저 한 줄 조건은 다음과 같은 많은 뜻을 의미합니다.



1) x=a에서 f(x)의 좌극한이 존재하고


2) x=a에서 f(x)의 우극한이 존재하며


3) 좌극한과 우극한 값이 서로 같아서 극한값이 존재하고


4) 극한값이 함숫값과도 같아야 한다.



이 4가지 조건 중 어느 하나라도 만족을 못한다면 x=a에서 연속이 아닙니다.



유식해지는 기분을 느끼게 해드리기 위해, 수학과에서 배운 고오급진 용어를 사용해서 다시 정리를 해드리면

(없는 용어가 아니라, https://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B6%88%EC%97%B0%EC%86%8D%EC%A0%90%EC%9D%98_%EB%B6%84%EB%A5%98

에서 정의된 표현 그대로 사용했습니다.)




1)또는 2)를 만족시키지 못한다면 -> 제 2종 발산형 불연속점(point of infinite discontinuity) 



3)을 만족시키지 못하면 -> 제 1종 점프 불연속점(point of jump discontinuity)




4)를 만족시키지 못하면 -> 제 1종 제거 가능 불연속점(point of removable discontinuity)





입니다. (1종과 2종의 구분은 좌극한값, 우극한값 자체가 존재하는지 여부입니다.)



여기서, 앞의 문장


'x=a에서 불연속인 함수 f(x)와 x=a에서 연속인 함수 g(x)에 대하여, g(a)=0이면 h(x)=f(x)g(x)가 x=a에서 연속이다.'


가 거짓인 이유를 알 수 있습니다. 



만약 f(x)가 제 2종 발산형 불연속점을 갖는다면, 예를 들어


이라고 했을 때, x=0에서 제 2종 발산형 불연속점이죠?


g(0)=0을 만족시키는 함수 g(x)=x를 곱한다고 해도


이므로, x=0에서 제 1종 점프 불연속입니다. 그러면 저희는 어떻게 해야 할까요?


간단합니다. g(x)=x^2과 같이, 0으로 가는 힘이 더 센 녀석을 만들어주면 됩니다.


만약 g(x)=x^2이라면



이므로, x=0에서 연속이지만 미분불가능하게 되네요.


다음 주제를 다루기 전에 한 술 더 뜹시다. f(x)g(x)가 x=0에서 미분가능하게 하려면 어떻게 해야 할까요?


g(x)=x^2이었다면, x>0에서 f(x)g(x)=x, x<0에서 f(x)g(x)=2x^2이므로, x=0에서의 미분계수가 같지 않네요.


이 때에도, 0으로 가는 힘이 더 센 녀석을 만들어주면 됩니다.


g(x)=x^3이라면


은 미분가능합니다. 



여기까지 잘 따라오셨다면 좋은데, 혹여 이런 식으로 성급하게 결론 내리시지 말기를 바랍니다.



'아하 x=a에서 연속이나 미분가능성을 따질 때, 1/(x-a) 같은 녀석이 있다면, 연속을 만들려면 (x-a)^2, 미분가능하게 하려면 (x-a)^3을 곱해야 하는구나!'



바로 반례를 드리겠습니다. 2018년 11월 고2 모의고사 나형 29번입니다.



2) 2018년 11월 고2 모의고사 나형 29번


여기서는, f(x)가 (x-4)^2을 인수로 가지기만 하면 됩니다. 이유는, 추후 설명해드리죠.


우선 답은 입니다.



2. 불연속함수와 연속함수의 곱: 미분가능성


이 주제와 관련하여 가장 큰 영향력을 가진 수능 기출문제를 봅시다.


3) 2020학년도 수능 나형 20번



ㄱ 선지는, 저희가 맨 처음에 다룬 


'x=a에서 불연속인 함수 f(x)와 x=a에서 연속인 함수 g(x)에 대하여, h(x)=f(x)g(x)가 x=a에서 연속이려면 g(a)=0이다.'


으로 바로 나옵니다.


ㄴ 선지를 풀 때 주목해야 하는 것은, f(x)는 x=2에서 연속인데 미분가능하지 않다는 것입니다.


물론 x<2와 x>2로 나눠서 도함수 구해서 푸는 것이 ebs 해설의 정석인데요.



첨부해서 보여드리면


계산이 힘들다기보다는, 음... 뭔가 중요한 통찰을 없애버리는 풀이긴 해요.



저는 다르게 풀고 싶습니다. '미분계수의 정의 그 자체'를 이용해서요. (중요)



제 풀이는 다음과 같습니다.


p(x)는 다항식이므로, p(x)=(x-2)Q(x)+R로 나타낼 수 있습니다.


그렇다면, 


입니다. 그 전에, 함수 h(x)가 x=2에서 미분가능하다는게 무슨 뜻이죠?



가 존재한다는 것입니다. 그렇다면, 저희는 쉽게


가 x=2에서 미분가능하다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면, 저 h(x)자리에 그대로 (x-2)Q(x)f(x)를 집어넣으시면, 분모의 x-2가 사리지기 때문입니다.


따라서, p(x)f(x)가 x=2에서 미분가능하려면, (x-2)Q(x)f(x)가 이미 x=2에서 미분가능하므로, Rf(x)또한 x=2에서 미분가능해야 합니다.


이게 가능하려면 R=0이 되어야 하죠? 따라서 p(2)=0입니다.



이런 식으로 '미분계수의 정의 그 자체'를 이용하는 것이 앞으로도 다른 문제에서 큰 도움이 됩니다.



그래야 통찰이 생깁니다. 



이런 식으로 풀지 않고, x<2와 x>2로 나눠서 일일히 도함수를 구해서 푼 다음에, 그렇게 푸는 것이 복잡하니까


2020학년도 수능 나형 20번이 나온 이후에 사후적으로


'아하 f(x)가 x=a에서 연속이지만 미분가능하지 않을 때, 다항함수 g(x)에 대해서 f(x)g(x)가 x=a에서 연속이려면 g(a)=0이어야 하는구나!'


라고 중간과정 설명없이 암기식으로 가버리면 추후 다른 식으로 포장해서 나올 때, 대처할 수 있는 능력이 없어져버려요.





ㄷ 선지는 ㄴ을 잘 풀었다면 간단합니다. f(x)^2은 다음과 같이 생겼습니다.



x=0에서 제1종 점프 불연속점이고, x=2에서 연속이지만 미분가능하지 않네요.


p(x)가 x=0에서 미분가능하려면, x^2을 인수로 가져야 하는 것이 맞습니다.


만약 p(x)가 x인수를 오직 하나만 가진다면, 즉


이라면, 미분계수의 정의 그 자체에 의해

의 극한값이 존재해야 미분가능입니다. 하지만, g(0)은 0이 아닌데, f(x)^2의 좌극한과 우극한이 다르므로 극한이 존재하지 않죠.


따라서, p(x)는 x^2인수로 갖는 것이 맞는데, (x-2)는 하나만 가져도 됩니다. ㄴ선지에서 봤던 논리 그대로 쓰면 됩니다.




20번에서 얻어갈 수 있는 Take away는 다음과 같습니다.



다항함수 p(x)에 대하여


1) f(x)가 x=a에서 제1종 점프불연속이라면->


p(x)f(x)가 x=a에서 연속이려면: p(x)는 x-a 인수로 가짐


p(x)f(x)가 x=a에서 미분가능하려면: p(x)는 (x-a)^2을 인수로 가짐



2) f(x)가 x=a에서 연속이지만, 미분가능하지 않을 때->


p(x)f(x)가 x=a에서 미분가능하려면: p(x)는 x-a인수로 가짐



제가 1)과 2)로 분리했지만, 사실 서로 매우 관련 깊은 내용입니다. 결국 (x-a)인수 하나씩 차이가 나죠?


왜냐하면, x=a에서 제1종 불연속점인 함수에 (x-a)를 곱하면, x=a에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수가 되기 때문이죠.


예를 들어, 


라 할 때, x-2를 곱하면 


입니다. 그림으로 나타내면



이죠. 


한 마디로,  x=a에서 제 1종 점프 불연속을 갖는 함수에 x-a를 곱하면, x=a에서 연속이지만 미분가능하지 않은 함수가 됩니다.


그래서, 1)에서 (x-a)인수가 하나 더 필요한 것이죠.




6. 2024학년도 수능 대비 지인선 N제 9회 14번



이 문제를 가져온 이유는, 제가 소개한 여러 불연속점 중에 다루지 않았던 불연속점을 포함하고 있기 때문입니다.


바로, 제1종 제거가능 불연속점이죠.


왜 제거가능인지 그림으로 설명해드리면, 



이 함수에서, x=0에서의 함숫값만 동떨어져서, 불연속이 된 것인데


만약 함숫값 f(0) 만 잘 조정해서, f(0)=2를 만들어준다면 바로 연속함수가 되죠.


이렇게, 함숫값만 조정해줘도 연속을 만들어줄 수 있어서, 제1종 제거가능 불연속점이라고 부릅니다.



다시, 지인선 N제 9회 14번 문제를 보면


두 점에서 불연속이려면 f(x)=p(x-1)^2(x-3)이 되어야 합니다. 그에 따른 g(x)의 개형은 다음과 같죠.

(ㄱ은 그래서 참입니다.)



ㄴ은 결국, g(x)자체를 잘 옮겨서, g(x)g(x-p)가 x=3에서 미분가능하도록 할 수 있냐는 것입니다.


미분가능하면 적어도 연속이어야 하므로, p=0또는 p=2가 되어 불연속 곱하기 불연속이 연속이 되는 경우가 있는지

(이것도 중요함)


그리고 p=3이어서 g(x-p)가 x=3 근처에서 함숫값이 0인 연속함수가 되는 경우를 따져야 하죠.


p=0이나 p=2가 되어, 불연속점이 일치하는 경우에도 g(x)g(x-p)는 미분불가능하고(직접 확인해보시는게 좋은 연습이 될 겁니다.)


p=3이어서 연속을 만들어줘도, g(x)가 x=3에서는 제1종 점프 불연속점이어서 x-3 인수 하나만으로는 부족합니다.


따라서, ㄴ은 참입니다.



ㄷ은 주의해야 합니다. 왜냐하면, x=1은 제 1종 제거가능 불연속점이기 때문이죠.


예를 들어, 다음과 같은 제 1종 불연속점을 갖는 함수가 있다 해봅시다.


이 함수에 (x-2)를 곱해봅시다.



이 함수를 그리면


그냥 x(x-2)라는 이차함수, 즉 미분가능한 함수가 됩니다.


제 1종 제거가능 불연속점의 특별한 점입니다.


얘는 인수를 하나만 곱해줘도 연속인 동시에 미분가능이 됩니다.


따라서, ㄷ에서 p=1이라면, g(x)g(x-p)는 x=1에서 미분가능하게 됩니다. 따라서 ㄷ은 거짓이죠.



여기서 얻을 수 있는 Take away는 다음과 같습니다.


3) x=a에서 제1종 제거가능 불연속점을 갖는 함수 f(x)의 경우->


(x-a)를 인수로 갖는 다항함수를 곱하면 연속인 동시에 미분가능한 함수가 된다.



이쯤에서 다시 이 문제로 돌아가 봅시다.



우선 g(x)는 x=4에서 제 2종 발산형 불연속점을 갖습니다.


여기에 (x-4)를 하나 곱하면 


더 간단히 나타내면 

입니다. 즉, 제 2종 발산형 불연속점에 x-4를 곱하니, 제 1종 제거가능 불연속점이 되었습니다.


따라서 이 경우에는 (x-4)^2만을 가져도 되는 것입니다.



앞서봤던 예시인


의 경우에는, x인수를 하나 곱하면 (g(x)=x)


 

이므로, 제1종 점프 불연속점이 된 것이랑 차이가 있죠.


따라서 이때에는 세제곱 인수가 필요했던 것이었죠.




이 칼럼에서 여러분이 얻어가시면 좋을 내용을 2줄 요약하면


1) 불연속점의 분류에 따른, 곱함수의 연속성(미분가능성)을 위한 인수의 개수


2) 연속함수의 미분가능성을 따지기 위한 '미분계수의 정의'를 이용한 논리



입니다.


감사합니다.




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