기하 공간도형 자작문제!
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304인가요?
일단 S1,S2,S3 중심을 C1,C2,C3라 하고 모두 연결하면 한 삼각형이 나오는데 변의 길이는 각각 3,4,5라 직각삼각형이고 넓이는 6이죠. 이 직각삼각형을 포함하는 평면을 delta라 할게요.
그러면 세 평면에 모두 접하는 alpha를 생각해 보면 C1,C2,C3에서 평면 alpha에 내린 수선의 발을 H1,H2,H3로 두면 변의 길이는 각각 2sqrt2 , 2sqrt 3, 2 sqrt 6이네요. 넓이는 sqrt 23이고요.
그런데 평면 alpha와 평면 delta, 평면 delta와 평면 beta가 이루는 각의 크기는 같죠. delta랑 alpha의 관계랑 delta랑 beta의 관계가 완벽히 같으니까...
그러면 alpha와 delta가 이루는 각의 크기의 2배가
theta이고
삼각형 C1C2C3와 삼각형 H1H2H3는 수선의 발로 내린 관계니까 정사영 관계겠네요.각도는 0.5theta인 상황이고요.
그러면
cos (0.5theta) = sqrt(23/36)
sin (0.5theta) = sqrt(13/36) (theta는 두 평면이 이루는 각이므로 180도를 넘을 수 없음)
tan (0.5theta) = sqrt(13/23) = Z
tan (theta) = 2Z/(1-Z²) = 2sqrt(13/23)/(10/23) = (sqrt 299)/5
p=5 , q=299이니까 p+q=304
쓰다보니까 theta가 예각인 걸 깜빡했네요
그래도 sin의 값은 안 변하니...
theta값까지 구해보면 약 73.87도...
정답입니다! 의도했던 풀이가 정사영으로 푸는거였는데 그대로 풀어주셨네요
기하에는 좋아요를 안누를수가 없죠
고마워용