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M oㅇmin [1211935] · MS 2023 (수정됨) · 쪽지

2023-02-02 12:50:23
조회수 50,900

칼럼1) 알아두면 쓸데있는 다항함수 적분공식 총정리

게시글 주소: https://dev.orbi.kr/00061780620

 제 첫 번째 칼럼 주제는 다항함수 적분공식 총정리입니다. 

적분공식들은 계산을 훨씬 가볍게 해주고, 빠르게 점검할 수 있어서 검토용으로 쓰기에도 좋습니다.


 사실 다항함수 적분 공식은 엄청나게 많습니다. 하지만 그걸 다 알 필요는 전혀 없습니다. 실전에서 쓸만한 공식 몇 가지만 체크하고 넘어가면 됩니다. 


이미 아는 게 나왔다면 '아 맞아 이런게 있지~' 생각하며 복습차 확인해주시고, 처음 보는게 나온다면 '이런게 있구나 알아둬야겠네' 생각하며 읽어가시면 됩니다.






1. 이차함수

너무 유명한 공식이죠. 인지해야 할 점이 딱 두 개 있습니다. 

 

1) 둘러싸인 넓이는 오직 x좌표 차이에만 관련이 있다! 


2) 색칠한 넓이가 반띵이 되는 곳은 이차함수의 축이 아니라 알파와 베타의 중점 부분입니다. 당연한 내용인데, 가끔씩 실수가 나오기도 하므로 유의하세요.



한편, 공식은 아니지만 알아두면 정말 많이 쓰는 이차함수 넓이 관계가 두 가지 있습니다.

1) 위 경우처럼 길이비가 각각 2:1일 때 초록 부분과 파란 부분의 넓이가 같습니다. 이는 해당 적분 구간의 적분값이 0임을 의미하기도 합니다. (초록과 파란 부분의 넓이는 같은데 부호가 반대니까요.) 

이는 삼차함수의 2:1 관계와 관련이 있습니다. (이 말은 이해가 안 되시면 그냥 넘어가셔도 좋아요.)

2) 위와 같이 초록색 적분구간이 이차함수의 축에서 시작할 때, 길이비가 그림처럼 1:루트3으로 만들어진다면 초록 부분과 파란 부분의 넓이가 같습니다. 이는 삼차함수의 1:루트3 관계와 관련이 있습니다.


두 경우 모두 이차함수의 최고차항 계수와 관계 없이 성립합니다. 





2. 삼차함수


두 가지가 있습니다. 첫 번째는 매우 유명한 상황이죠. 직선 대신 이차함수인 경우에도 똑같이 성립합니다. (삼차함수와 이차함수가 알파에서 한 번 만나고 베타에서 접하는 경우라면 말이죠.)

이와 연관지어 생각해볼 만한 관계가 있는데요, 

위 그림처럼 X좌표 길이 비가 1:3이 될 때, 초록 부분 넓이와 파란 부분 넓이가 같습니다. 사차함수의 3:1 관계와 관련이 있습니다. 



두 번째가 굉장히 유용한 공식인데 의외로 잘 알려지지 않았습니다. 변곡점을 지나는 직선과, 삼차함수로 둘러쌓인 한 쪽 넓이가 다음과 같습니다. 두 쪽은 거기에 2까지 곱해주면 되겠죠. 양쪽 부분이 넓이가 같을테니까요. 





3. 사차함수


역시 두 가지입니다. 솔직히 말해 이 두 공식은 요즘 평가원에선 보실 일이 없을거고(과거에는 나온 적이 있긴 합니다.) 사설이나 내신에 유용할 듯 하네요. 넣을까 말까 고민을 했으나 아는 사람은 다 안다는 공식이라 넣었습니다. 

경험상 '둘 중에 뭐가 1/30이었지??!' 하면서 맨날 헷갈리는데, 공통접선 놈이 1/30이라고 확실히 알아둡시다. 






4. y=xn 꼴


 


앞선 3개에 비하면 거의 안쓰이고, 솔직히 몰라도 됩니다만 그래도 소개해드려봅니다.


                                                 

                 초록 넓이 : 노란 넓이 = n : 1

 (각 직선들은 축에 평행하게 그려져야 하고, 최고차항 계수가 1이 아니어도 성립합니다.)


모든 n차 다항함수에 대해서 성립하지만, 사실상 수능에서는 이차함수의 경우에만 유용합니다. 삼차부터는 저도 써본 적이 없어요.

일차함수 넓이 구할 때 적분하지 않잖아요? 비슷한 느낌으로 이 공식을 알면 이차함수의 경우에는 많은 경우에 적분을 할 필요가 없어요. 모든 이차함수는 곡면아래 넓이를 저런 식으로 도출해 낼 수 있기 때문이죠. 


이차함수의 경우 위 상황에서 초록부분과 노란 부분의 넓이비는 2:1이며, 이를 다음과 같이 인식할 수도 있습니다. 


          표시한 전체 직사각형의 넓이 x 1/3 = 곡면 아래넓이



 예를 들어보겠습니다.

 위 경우에서 1에서 2까지 이차함수의 적분값을 구하는 상황입니다. 첫 번째로 할 일은


표시한 부분의 직사각형을 보며, 직사각형의 넓이가 2이기 때문에 곡면 아래 넓이는 1/3 배인 2/3임을 구하는 겁니다. 


그래서 색칠한 빨간 부분의 넓이는 2/3이고, 적분값은 노란 영역의 넓이인 1까지 더해줘야 하므로 답은 5/3입니다.


이와 같이 접근하면, 이차함수 적분 문제에서 적분 구간이 축을 포함하는 상황은 전부 빠르게 처리할 수 있습니다. 최고차항 계수가 1이 아닐 때도 당연히 성립합니다. 다만, 이차함수의 적분 구간이 축을 포함하지 않는다면, 대체로 그냥 적분하시는게 더 빠를 겁니다.


한편, 다음과 같은 오해를 하여 삼차함수에서 이를 쓰려고 하시는 분들도 가끔 있습니다.

                                  "이 경우엔 3:1 ?"


은 절대 아닙니다. y=xn 꼴에서만 사용할 수 있는데, 위 상황은 그런 꼴이 아니기 때문입니다.

그런데 y=x3꼴의 적분을 묻는 경우는 거의 없잖아요? 그래서 앞서 말했듯이 삼차 이상부터는 거의 쓸 일이 없습니다.





제가 준비한 공식은 여기까지입니다. 소개드린 공식 외의 것들은 좀 과한 느낌이 있습니다. 

한편 공식이 전부 '몇 분의 (b-a)의 몇 승' 느낌으로 생겼는데요, '몇 분의'에 해당하는 부분은 암기구요 '몇 승'은 쉽게 기억하실 수 있습니다. n차함수에 대해 n+1이 지수 자리로 가기 때문이죠.


칼럼은 여기까지입니다. 감사합니다 

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