우리는 수학1 교과 수업을 통해 로그가 어떤 것이며, 이를 단순히 계산적인 측면에서 어떻게 처리할 것인지에 대해 집중적으로 배우며 연습하지만 그게 어떤 의미를 가지는 것이며 궁극적으로는 어떻게 활용될 지에 대해서는 생각해본 적이 많지 않다. 지난 탐구에서 완충용액의 원리를 설명하는 Handerson Hasselbalch Equation에 로그가 포함되어 있는 것을 보며 로그라는 수학적 도구가 가지는 실용적 측면에 대하여 그 본질을 탐구해보고 싶은 생각이 들었다.

2. 탐구 내용

① 교과 내용 정리

로그란 어떤 수를 나타내기 위해 고정된 밑을 몇번 곱하여야 하는지를 알려주는 수학적 도구이다. 2를 5번 제곱한 값이 무엇인가?에 대한 답은 지수방정식으로 표현될 수 있는 반면 32는 2를 몇번 곱한 것인가?하는 질문은 로그를 활용해 표현할 수 있다. 이러한 예시에서 우리는 로그와 지수가 역함수의 관계에 있다는 것을 알 수 있다.

로그는 밑과 진수로서 표현되는데, 밑은 1이 아닌 양수여야하며 진수는 항상 양수여야 한다는 조건이 존재한다. 또한 우리는 주로 계산적인 관점에서 로그의 밑과 진수를 어떻게 처리하는지에 대해 주로 배우며 이를 정리하면 아래와 같다.

이처럼 교과 내용을 다시 한번 스스로 정리해보는 것은, 세특에 기재되어야 할 중요한 요소는 아니지만, 해당 탐구가 교과내용의 완전한 이해에서 비롯된 것이며 교과 내용과 큰 관련성을 가진다는 것을 강조하기 위함이다.

② 심화 내용 탐구

로그의 활용적 측면에 대해 복잡하게 파고들기 전에 로그를 취하는 것을 가장 직관적으로 설명해보자. 로그는 큰 수를 간단한 수로 변환 시킨다는 것이 우리에게 가장 와닿는 로그의 본질적 특성이며 이것이 로그 활용의 기본이 된다.

A~D라는 4명의 사람이 각각 100만원, 1억원, 10억원, 12억원이라는 돈을 가지고 있다고 가정해 보자.

✔️ A : 100 만원

✔️ B : 1 억원

✔️ C : 10 억원

✔️ D : 12 억원

이들이 가진 돈을 하나의 그래프로 표현하고 그 관계에 대해 설명할 수 있을까? 이 과정에서 우리가 당장에 직면하는 문제점은 이처럼 큰 차이를 가지는 수들을 하나의 눈금체계(하나의 축)로 표현하기가 쉽지 않다는 것이다. 그럼에도 축을 지나치게 늘려 어떻게든 하나의 그래프상에 아래와 같이 나타내었다고 하자.

우리가 표나 그래프와 같은 도구를 활용하는 것은 수로 표현되는 데이터를 보다 시각적으로 나타내어 그 관계를 이해하기 쉽게 하기 위해서다. 위 그래프는 그러한 목적에 부합하는가? 이러한 관점에서 두가지 문제를 제기할 수 있다.

문제 ①

100만원(A)과 12억(D)이라는 큰 차이를 가지는 수를 하나의 축 하에 표현하기 위해 축을 지나치게 늘렸고 그 결과 비교적 작은 값인 A와 B는 그래프 상에서 시각적으로 정확히 표현되기가 어렵다.

문제 ②

A와 B는 절대적 금액의 값 차이가 9900만원인 반면 C와 D의 차이는 그 2배 이상인 2억에 해당한다. 이러한 차이는 그래프 상에서 막대의 높이 차이로 그대로 반영되어 나타나는데, 그렇다면 우리는 D는 C보다 훨씬 부자인 반면, A와 B는 재산의 차이가 비교적 적은 것이라 할 수 있는가?

현실적인 관점에서 100만원 하던 주식이 1억원이 된다면 우리는 이를 '대박'이라 표현할 것이다. 분명 이는 10억원이 12억원이 되는 것보다 체감적으로 더 크게 느껴지는 것이지만 절대 값으로 표현된 선형 그래프는 이를 잘 표현하지 못한다.

로그 활용의 실용적 도구
: Log scale

앞서 살펴본 문제의 본질적 원인은, 우리가 비율적 차이보다는 절댓값의 차이로 그래프를 표현하였기 때문이다.

하지만 앞선 예시와 같이 우리의 생활 중에는 절댓값의 차이보다 비율적인 변화가 더 중요한 상황들이 더러 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해 우리는 축을 지나치게 늘리는 대신, y축에 밑이 10인 상용로그를 취하는 방식을 취할 수 있다.

y축에 상용로그를 취한 이 그래프는 이전 그래프와 어떤 차이가 있는가? 우선 절대적으로 큰 차이를 가지는 값들을 하나의 축 상에서 적당한 값으로서 나타낼 수 있다. 이는 로그를 취함으로서 큰 값들을 간단한 작은 값들로 변환하였기에 가능한 것이다.

또한, 해당 그래프는 A와 B의 재산 차이가 C와 D의 재산 차이보다 비율적으로 더 크다는 것을 명확히 보여준다. 즉, 로그를 취하는 것은 절대적 값의 차이를 비율적 차이로 전환시키는 것이며 이는 그래프를 통한 보다 직관적 이해를 가능하게 한다.

앞선 그래프 표현 방식을 Linear scale(선형스케일)이라 하며 이는 우리에게 보다 친숙한 방식이다. 반면 축에 log를 취하여 표현하는 방식을 Log scale이라 하는데 이는 값들 사이의 비율적 관계를 명확하게 나타낸다.

Log scale은 x축과 y축 중 하나에만 로그를 취하여 그래프로 표현하는 semi-log graph, 혹은 x축과 y축 모두에 로그를 취해 표현하는 log-log graph 로 활용되며 이러한 그래프 방식은 자연 과학, 공학 등 여러 과학 분야에서 광범위하게 활용되고 있다.